优化任务群设计：实现高中数学高效教学的途径

摘 要：采用任务和问题结合的任务群教学更能体现学生的主体地位，对比高中数学两节课的实践案例发现，在高中数学课堂中开展任务群教学时，设计的任务应具有针对性与梯度性，设计的问题数量不宜过多，要关注学生思维衔接是否自然。

关键词：任务群；高效课堂；自然；高中数学

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）32-0128-05

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学思想和方法解决问题；在问题解决的有效互动中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展［1］。数学是一门系统性、综合性和抽象性都很强的学科，也是很多学生不感兴趣甚至恐惧的学科，目前数学课堂普遍采用任务驱动和问题教学的形式调动学生的积极性，给予学生一定的思考空间，因为明确的学习任务可以帮助学生更好地理解学习内容，合理的任务分类符合学生的认知特点，能让学生更好地构建整体知识体系与严谨的数学思维。但是当前的高中数学课堂中的任务和问题依然存在着机械重复和带给学生压迫感等现象，体现在学生按教师预设好的流程按部就班地学习，任务机械重复，问题缺乏思辨性，课堂过渡不流畅，思维生成不自然。因此，教师有必要不断优化任务群设计，力求实现以学生为本，让学生在课堂上更好地把握数学本质，提升思维能力和学科素养，真正为学生的可持续发展创造条件，从而打造出更加高效的高中数学课堂。

一、高效课堂教学形式介绍

高效课堂包括“高效果”“高效率”和“高效益”。“高效果”指的是通过课堂学习，学生掌握知识的同时提高获取知识的能力，较好地完成预定的教学目标。“高效率”指的是在有限的时间内生成更多的思想碰撞和交流互动，从而实现提高课堂效率的目标。“高效益”指的是更全面地实现情感价值与育人价值。

如何让高效课堂的教学形式更符合数学学科学习特点呢？首先要明确数学是什么。数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。伽利略认为，自然这本书是用数学语言写成的，对大自然及社会关系的感受是我们生存于这个世界上的最初经验，它比一切思想、观点都更直接地被我们感知到。设法使知识游弋在现实生活的河流中，取材于自然［2］。思维碰撞于自然，知识生成于自然，建构体验于自然，互动展示于自然，便能更好地收获数学思想与创新思维。因此，高中数学高效课堂教学形式首先要遵循思维循序渐进的原则，让任务和问题在自然中展开，以学生为本，让学生在课堂上能获得发展，进而实现持续性学习；然后辅以有针对性和递进性的任务和问题；最后搭建平台实现交流、互动、评价。按这一思路，高中数学高效课堂的任务和问题设计可按如下页图1所示框架进行。

二、基于任务群的高中数学教学实例对比

“平面与平面垂直”是人教版普通高中数学教材必修第二册第八章8.6.3的内容，它是立体几何中点、线、面的位置关系的最后一节内容。在此之前，学生已经学习了直线与直线、直线与平面平行与垂直的判定定理和性质定理，也学习了平面与平面平行的判定定理和性质定理，能够运用相关定理对直线与直线、直线与平面的位置关系，平面与平面平行的判定和性质进行思考与论证。学习“平面与平面垂直”这一节内容时，可以让学生巩固探索几何图形及其性质的主要方法：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算、实践创新等，又可以启发学生不断深入挖掘用数学知识解决实际问题的方法，因而可以选择这一内容的教学实例进行对比研究，探索优化任务群设计的途径。

根据学生的学习特点和学习基础，这节内容拟用两个课时进行教学，此次对比研究主要聚焦第一课时。学生素质较高、基本功好，具有较强的数学知识学习能力和探究能力。教学时从复习引入，引导学生构建研究空间位置关系的方法体系；自然引出若要研究平面与平面垂直需要先定义二面角；自然生成度量二面角大小需要借助空间问题平面化的思想方法找寻平面角，在平面角的定义辨析中不断完善学生的思维。当学生能够运用定义的办法判定平面与平面垂直后，教师利用生活实例激发学生的认知冲突，引出猜想，并指导学生完成判定定理的证明。至此，学生学会用两种不同方法判定平面与平面垂直，在比较中学会选择更优的方法，进而实现创新地运用数学方法解决实际问题。

（一）案例一：围绕“教师创建数学实验”设计任务群

问题1：本节课，我们还会学到哪些点、线、面位置关系？

问题2：我们首先应给出平面与平面垂直的定义，那么，该如何定义呢？回顾直线与平面垂直的定义。

问题3：初中所学的几何平面中，直线与直线垂直的定义是什么？

问题4：在生活中，你能找到哪些二面角图形？

问题5：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？

任务一：折纸实验。分别对折矩形、菱形和等腰直角三角形纸，并在纸中作出能度量二面角大小的角，给这个角的顶点和两边标上字母。

问题6：你所作的直线与棱是什么位置关系，所成角多大？

问题7：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？

问题8：由此得到二面角平面角定义是什么？

问题9：如图2，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？

问题10：（学以致用）如图3，在正方体里面找二面角的平面角。

二面角A-BC-A1的平面角是________，大小为________。

二面角 " " 的平面角是________" " ，大小为 90° 。

问题11：生活中，建筑工人如何判断墙面与地面垂直？

问题12：如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面。相当于墙面经过了地面的垂线。于是我们得到了如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，这就是平面与平面垂直判定定理。怎样用符号语言书写出来呢？

问题13：如何证明两个平面互相垂直判定定理？

任务二：完成例1与变式。

例1（人教版普通高中数学教材必修第二册第158页例8）如图4，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。

问题14：例1的图形中共有多少对相互垂直的平面？分别是哪些？请写出来。

问题15：两个相互垂直的平面，一个面上的所有线都和另一个平面垂直吗？

任务三：完成例2。

例2 折纸实验中等腰△假设为△PAC，沿底边的高PD对折成直二面角C-PD-A，过C作CB∥AD，使CB=AD，连AB，PB，构成四棱锥P-ABCD，点E在棱PB上。求证：平面AEC⊥平面PDB。

在案例一中，教师千方百计地精心设计问题与任务，导致学生在看似完美的“梯子”的引导下，思维一直被教师带着走，学生机械地回答问题，削弱了他们的思维能力。教学环节过渡不流畅，知识生成不自然，问题的数量很多，导致课堂不够从容。故在磨课中，结合听课教师的意见，重新梳理本节课，优化任务和问题设计后得到案例二。

（二）案例二：围绕“思维连贯自然”设计任务群

问题1：生活中你能找到哪些二面角图形？

问题2：我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？

任务一：请同学们在图7中作出能度量二面角大小的角，并给这个角的顶点和两边标上字母。

问题3：当图7演变成三角形后，三角形的边组成的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？

问题4：过棱上一点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的吗？为什么？

问题5：由此得到二面角的平面角定义后，如图8，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？

问题6：学以致用，如图9，在正方体里面找二面角的平面角：

二面角A-BC-A1的平面角是________，大小为________；

二面角 " " 的平面角是________，大小为________；

二面角 " " 的平面角是________，大小为________。

二面角的平面角是90°的我们称为平面与平面垂直，但是只用这样的办法来判断垂直有一定的局限性。请大家仔细回忆一下，生活中建筑工人如何判断所砌的墙面与地面是否垂直。

问题7：如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面。根据这一说法，大家有什么猜想？

任务二：请大家证明猜想。

学生活动：完成平面与平面垂直的判定定理证明。

任务三：完成习题。

例1（人教版普通高中数学教材必修第二册第158页例7）在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥ACC′A′平面。

例2（人教版普通高中数学教材必修第二册第158页例7改编）还存在由正方体顶点构成的平面与平面ACC′A′相互垂直吗？分别是哪些？

例2变式（人教版普通高中数学教材必修第二册第158页例7改编1）当点A′在平面A′B′C′D′内运动时，平面A′BD与ACC′A′平面是否互相垂直？

例3（人教版普通高中数学教材必修第二册第158页例7改编2）小组讨论，当点O是底面ABCD内的动点，满足平面A′AO⊥平面BOA′的点O是否唯一存在？

（三）案例对比与启示

1.任务更有针对性，分类更合理

调整后的案例二中，任务分类更清晰。三个任务分别是作图、证明、实践应用，分别发挥知识生成作用、建构体验作用和互动展示作用。任务层次鲜明，体现了直线与直线垂直是研究垂直关系的基础。在案例二中，发挥建构体验作用的任务二是证明判定定理，充分体现了定理教学的三部曲：命题的发现—命题的证明—命题的应用，三个环节缺一不可，给予学生充分发现的机会，旨在教会学生思考、再创造。所以案例二对比案例一增加了平面与平面垂直判定定理的猜想和证明，让学生体会到像数学家一样去思考问题。案例二中发挥互动展示作用的任务三题目紧扣教材，题目改编灵感均源于教材，再次体现深挖教材的意义。最后自然过渡到思考题，继续研究三角锥体中其他侧面构成的二面角的大小，为下节课埋下伏笔。将折纸任务换成作图任务，任务的针对性更强，帮助学生更好地突破本节课的难点——作二面角的平面角。案例二所花时间比案例一少了5分钟，使得师生有一定的时间去总结反思。

2.思维活动循序渐进

要想在立体几何教学中从直观想象突破到发展数学抽象这一数学学科核心素养，根据任务设计针对性极强、循序渐进和有思辨性的问题链是途径之一。案例一中的问题12、13是先归纳定理再给予严密证明的演绎推理，不符合定理发现的科学性。高中数学课堂的思维生成可以让学生感受像数学家一样思考问题，自然合理的定理学习策略应是先猜想再证明。由此优化得到案例二：案例二中的问题1与问题2起到知识引入和知识理解的作用，问题3至问题6起到了探究和建构知识关联的作用，问题7的提出是在思维碰撞中自然产生的，顺势引出任务二——证明猜想。任务二、任务三指向实践应用，起到让学生学以致用的目的。学生思维自然生成学习概念的合理性、必要性和适用性，有利于他们构建逻辑严密、结构完整的数学知识体系。由此可见，优化问题和任务设计使得过渡自然、思维衔接顺畅更易揭示数学本质。

三、优化任务群设计的策略

任务群引领下的课堂以探究为核心、以任务为驱动、以问题为导向，使得课堂上学生能主动探究和自主学习，从单维思维转向多维关联思维，满足了使高中生数学思维更严谨的需求，帮助学生更好地理解知识和掌握技能，提升他们思维水平的同时还可以培养他们独立思考、合作交流、解决问题的能力，是一种实现高效课堂的教学方式。通过上述案例对比可以把优化任务群设计归纳为遵循整体连贯性策略、针对递进性策略、自然合理性策略。

（一）任务分类层次要清晰——整体连贯性策略

案例一的三个任务分别是折纸实验和完成两道例题，分类显得太刻意不够自然，学生完成任务的过程容易流于形式，不利于学生更好体会数学本质、构建整体知识体系。第二和第三个任务都是完成例题，任务的层次性不强，并且第三个任务虽然紧扣第一个任务折纸实验去解决立体几何的动点问题，但是解答这题需要同时用到平面与平面垂直的定义和判定定理，难度较大。调整后的任务分类层次清晰，整体连贯性更强，作图、证明猜想和实践这三个任务分别能承担知识生成、建构体验和互动展示的作用。学生从零星任务走向分层任务，从碎片化知识走向整体连贯，对课堂所学知识的理解才能更透彻，构建的数学知识体系才能更牢固。

（二）问题数量设置要合理——针对递进性策略

问题链是基于数学的整体性，以一般观念为统领，以研究一个数学对象的基本路径——“概念（本质）—性质（关系、规律）—结构（联系）—应用”为线索，创设符合数学知识发生发展规律和学生思维规律及认知特点的一连串问题。在教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学思想和方法解决问题。在问题解决的有效互动中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展［3］。案例一共有15个问题，数量较多，导致课堂时间紧迫。问题1至问题5发挥回顾知识的作用，其实不用展示在课件上。问题8：二面角平面角定义是什么？容易让学生不思考就机械地回答或者直接翻书念答案，这样的问题思辨性不够强，难以培养学生的思维能力和创新意识。

（三）思维衔接过渡要自然——自然合理性策略

教师在设计任务群引领下的高中数学课堂教学时，应思考怎样组织教学才能符合学生的认知规律和知识的自然递进关联。在案例一中，学生折纸并作出二面角的平面角后，教师没有任何衔接直接提出问题7：在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？学生的思维被教师设计的问题带着走，而不是在思考和疑问中生成。问题的提出应让学生体会思维碰撞于自然，所以优化后的案例二问题2至问题5，学生直观想象会取矩形的边组成的平面角为二面角的平面角，教师设计问题3，将矩形演变成三角形后，思考能否仍用边组成的平面角作为二面角的平面角，是问题2很自然的过渡，更贴近学生思维的最近发展区。问题4是在问题3的基础上更进一步揭示二面角定义的本质。问题3引导学生发现不能随意在两个半平面选择直线，是因为所成的角不确定。问题4进一步引导学生思考，发现在两个半平面分别引棱的垂线得到的平面角是唯一确定的，并会借助所学定理——平面内过直线外一点作直线的垂线是唯一确定的，确定想法是正确的。问题5引导学生继续深入挖掘，这样的平面角有无数个，利用等角定理就可以证明相等。问题链激发思维碰撞，直指二面角的平面角定义的本质，学生掌握数学知识的同时也发展了创新意识。这种注重知识的来龙去脉、思维自然生成的教学，是概念教学的自然升华。

高中数学高效课堂中的任务群可按整体连贯性—递进创新性—自然合理性策略进行优化，这将使得任务贴近教学目标、分类清晰，通过认知冲突产生问题，将问题设置在直观感知和数学本质的结合处，增强问题的针对性、自然性、思辨性，从而更快地吸引学生的眼球，更易聚焦素养能力的培养，更好达到通过概念生成掌握数学本质的教学效果。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］任方成.追求自然自由的数学教学［J］.数学通报，2004（11）：32-34.

［3］章建跃.《普通高中教科书·数学（人教A版）》“单元—课时教学设计”体例与要求［J］.中学数学教学参考，2019（22）：14-16.

注：本文系柳州市教育科学“十四五”规划2024年度A类课题“‘三新’背景下高中数学资优生多级培养模式构建的研究”（2024A-04）的研究成果。

（责编 刘小瑗）