基于数学建模核心素养的高考试题分析

摘要：数学建模是六大数学核心素养之一，是把数学和现实生活连接起来的一座重要桥梁.本文中基于数学建模核心素养评价框架，对2022-2023年新高考Ⅰ卷中指向数学建模核心素养的部分试题进行分析，以促进数学建模核心素养与数学教学及考试评价的有效融合，同时也提供了部分教学建议，期望对学生数学建模核心素养的培养有一定的帮助.

关键词：核心素养；数学建模；试题分析；新高考Ⅰ卷

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）对高中数学课程结构作出了优化和调整，提出聚焦核心素养，提升数学建模活动的地位，体现了时代发展对人才培养的要求.高考是学习评价的重要方式，本文中将基于数学建模素养的评价体系结合2022-2023年新高考Ⅰ卷，分析试题中数学建模素养考查的特点，并以此给出教学建议.

1 数学建模素养评价体系

教育部推行以发展学生核心素养为导向的数学教育课程改革，并从核心素养三级水平、四个方面、四条内容主线这三个维度构建出核心素养评价框架，这是对传统评价模式的一大突破.但这一框架也存在应用实践上的操作困难、教学目标难以设定、考试命题难以界定核心素养水平等问题.核心素养产生于知识，喻平教授参照三大模型，基于知识学习的三种形态，将数学核心素养分成一级水平知识理解、二级水平知识迁移和三级水平知识创新，由此建立出学科核心素养评价框架，具有理论性和可操作性双重特性.本文结合喻平教授与《课标》提出的评价框架，确定如下数学建模核心素养评价体系（见表1）：

2 指向数学建模素养的新高考Ⅰ卷试题分析

试题的解答需要在已有的问题情境中抽象出数学知识，建立模型解决问题，这里的数学建模素养主要是一种意识观念与方法策略.数学建模是建立在“数学情境”与“现实情境”的可逆、相互转化的联系，基于数学建模与现实情境密不可分，因此试题与实际生活的关联是能否选入样本的关键.

例1（2022年新高考Ⅰ卷第4题—社会生活类）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为[1]（[KF（]7[KF）]≈2.65）（）.

A.1.0×10⁹ m³

B.1.2×10⁹ m³

C.1.4×10⁹ m³

D.1.6×10⁹ m³

分析：南水北调工程是国家重大战略项目之一，它通过优化水资源配置，推动了我国经济发展和生态环境的改善.此题的解答需要学生在现实情境中抽象出数学知识，如题目所求增加的水量即可转换为求棱台的体积，其中所给水库水位的两个海拔之差对应棱台的高，两个水平面的面积分别对应棱台的上底面面积S1和下地面面积S2.学生结合棱台的体积公式，便可以求出棱台的体积，即求出增加的水量.此题以南水北调的水库为背景抽象出棱台的相关知识，考查学生的知识迁移能力，属于数学建模核心素养二级水平.

例2（2023年新高考Ⅰ卷第10题—科学研究类）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp₀，其中常数p₀（p₀gt;0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表2为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则[2]（）.

A.p₁≥p₂

B.p₂gt;10p₃

C.p₃=100p₀

D.p₁≤100p₂

分析：随着人民物质生活的不断丰富，精神领域的需求也在不断提升.噪声污染与人民的日常生活息息相关，新能源汽车也是当前的一大热点.本题以燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车的噪声污染问题为背景，以声压级、听觉下限阈值和实际声压的数学关系为落脚点，很好地考查了对数的运算及性质的应用，学生需要结合选项，利用对数运算法则逐项进行分析判断.本题源于人教A版《普通高中教科书5数学》（必修第一册）习题4.4第10题，充分体现了高考源于教材的原则.题目的题干虽然较为精炼，但是计算量较大，易错点比较多[2].所以学生需要熟练掌握对数运算的法则.本题属于数学建模核心素养二级水平.

数学建模问题常与社会生活情境、科学研究情境、个人生活情境、传统文化情境等现实情境紧密相联；高考试题中主要涉及概率统计、数列、函数、立体几何、解析几何等数学模型.对试卷进行分析可知，数学建模素养的考查主要以二级水平为主，注重对知识迁移的考查.学生需要会用严谨的数学语言表达问题及结果，要求在关联的问题的情境中，抽象出数学问题，建立合适的数学模型并求解.虽然数学建模的相关试题在选择、填空、解答题中均有出现，但总体所占分值不高，近两年常以单项选择题和解答题的形式进行考查，大约总体占分13.3%，因此可以看出数学建模素养在高考中的考查是不足的.但由于数学建模的独特性质，数学联系生活实际、一题能融入多种素养，这正是调节当前素养考查失衡的一种有效方式，所以应适当加强对数学建模素养的考查.

3 教学建议

3.1 融合多种教学方式，促进素养达成

数学核心素养之一的数学建模核心素养有着浓厚的社会价值、教育价值和独特的学科价值，是培养社会主义接班人和建设者的关键.目前数学建模的教学模式主要是在日常教育教学中结合相关内容融入数学建模思想，但开展数学建模主题活动和单独开设数学建模课程是教学中比较稀缺的教学方式.《课标》将数学建模作为主线之一，说明数学建模核心素养也逐渐被人们重视，活动式和课程式的教学方式也应融入日常教学之中.“函数”和“概率与统计”两条主线是高考中最常见的考查内容，为此在教学过程中，可适时结合数学建模进行教学，教师可创设现实情境开展数学活动或进行专题教学，组织学生讨论探究，让学生自己去发现和提出问题，构建模型解决问题.

3.2 发挥教师引导作用，落实课标理念

《课标》是教学的出发点和归属所在，是高考命题、教材编写和教学活动设计的重要依据.教师在教学活动中发挥着引导者的重要作用，应充分贯彻以学生发展为本、重视过程性评价、突出核心素养等渗透在《课标》中的教育理念，在数学建模教学过程中，秉持主体性、目的性、关联性等教学原则，充分尊重学生个体的差异，发挥学生的主动性，让学生主动去发现，主动参与数学问题的解决.

3.3 突出知识本质，强化思维训练

经过对新高考Ⅰ卷的分析，可以看出主要考查数学建模核心素养二级水平，即注重对学生知识迁移及应用能力的考查.在“核心素养为导向”的理念下，对学生应用能力、创新能力的要求越来越高，死记硬背、生搬硬套等学习方式已经不能满足学生的发展需要.教师应坚定落实终生学习的理念，注重知识本质的传授，在日常教学中渗透创新意识的培养，强化学生思维训练，适应高考变革，满足时代发展的需要.

3.4 基于素养评价体系，优化作业设计

数学核心素养是课程目标的集中体现，应将核心素养的培育贯彻在整个教学活动中.作业作为教学的一部分，对发展学生数学建模核心素养也是必不可少的.当前我国数学建模的相关作业虽比重略有提升但还是不足，且呈现繁而杂、重点不突出的特点.教师在设计数学建模作业时，可参考数学建模核心素养评价框架，清楚每一道题目训练素养的什么水平；在分析某一章节数学建模习题时，也可列出一个表格，对整个章节的数学建模相关习题有一个大致的了解；当对某级数学建模核心素养水平考查过多或过少时，可进行优化改进，提升作业的质与量[3].

参考文献：

[1]（胡凤娟.促进“学会学习”——基于2022年高考数学试题的分析[J].基础教育课程，2022（Z2）：11-19.

[2]王兵.2023年新高考数学Ⅰ卷亮点试题评析[J].中学数学杂志，2023（7）：55-59.

[3]喻平.核心素养指向的数学作业设计[J].数学通报，2022，61（5）：1-7，12.