初中生学好数学的方法

姚沁依

摘要：函数主要是研究两个变量之间的对应关系，可以通过解析式法、列表法和图象法进行研究，从这个角度入手，二次函数的学习只要牢记表达式，记住一些特殊点、特殊直线，学会画函数图象，会求函数表达式，即掌握了二次函数学习方法.本文中从正确认识二次函数入手，进而在二次函数解题技巧中一步步理解概念，掌握学习方法.

关键词：中学生；学习方法；二次函数

新课标提出核心理念“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，并要求将“数学学习”和“数学教学”合成一体，实现学生学和教师教的统一，发挥学生的主体性，调动学生的学习积极性，引导学生进行数学思考，掌握恰当的数学学习方法.

在中考中，二次函数知识所占比重较大，约为25%～40%，很多压轴题都是围绕二次函数出题，而且二次函数的专题较多，如相似三角形的存在性问题、最值问题、等腰三角形的存在性问题等.对于初中生而言，二次函数具有一定的抽象性，学习难度偏大，常常感到困惑和无从下手.再加上很多教师不太注重概念的讲解，对概念学习一带而过，未做深入剖析，导致学生极易出现概念理解不深刻、死记硬背、解题正确率偏低的情况.在这种情况下，学生需要进一步掌握二次函数的学习方法，改变思维，提高对基础知识的掌握程度，深入理解二次函数的基本概念、形式等内容，发展数形结合能力.

1 正确认识二次函数

根据二次函数的三种解析式全面正确地认识二次函数.

1.1 一般式

二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.

对称轴：直线x=-b2a.

顶点坐标：-b2a，4ac-b24a.

开口方向和最大值、最小值：a>0时，开口向上，函数值y在对称轴处取最小值4ac-b24a；a<0时，开口向下，函数值y在对称轴处取最大值4ac-b24a.

1.2 顶点式

二次函数的顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

需要注意的是，顶点式需要明确顶点坐标（h，k）或者已知对称轴时才可以应用.此外，要求学生会将一般式利用配方法进行配方，然后得到顶点式.

对称轴：直线x=h.

顶点坐标：（h，k）.

开口方向和最大值、最小值：a>0时，开口向上，函数值y在对称轴处取最小值k；a<0时，开口向下，函数值y在对称轴处取最大值k.

1.3 交点式

二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，且x1，x2为常数）.

这里x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标，已知抛物线和x轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先将函数解析式设为y=a（x-x1）（x-x2），然后将另一点坐标代入求出待定系数a.

对称轴：直线x=x1+x22.

顶点坐标：x1+x22，-a（x1-x2）24.

开口方向和最大值、最小值：a>0时，开口向上，函数值y在对称轴处取最小值-a（x1-x2）24；a<0时，开口向下，函数值y在对称轴处取最大值-a（x1-x2）24.

2 二次函数解题技巧

2.1 二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质的学习体现了数形结合的思想，对学生形成基本数学思想具有良好推动效果.尽管这是解题的关键，但是不能死记硬背，而应利用观察法、比较法，根据图象研究其性质，并分析不同图象之间的关系.对于二次函数，首先要求能够熟练画出函数图象，其次是了解顶点坐标、对称轴、开口方向及增减性.

画二次函数图象时，首先运

用配方法将二次函数解析式化为顶点式，明确图象开口方向、对称轴和顶点坐标，然后在对称轴两侧利用对称性和描点的方式画出y=ax2+bx+c的草图.画图时要抓住五个要点：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点.但是实际上，这个“五要点法”在解题过程中没有太大作用.如何正确画出二次函数的图象才有用？这就需要先了解二次函数表达式中a，b，c和抛物线之间的关系.

在二次函数中，二次项系数a决定抛物线的开口方向与开口大小.

（1）a>0时，抛物线开口向上（与y轴正向一致）.

（2）a<0时，抛物线开口向下（与y轴负向一致）.

（3）|a|越大，抛物线开口越小.

（4）|a|越小，抛物线开口越大.

系数a与b共同决定对称轴的位置，简称为“同左异右”，b=0时对称轴为y轴.

系数c决定抛物线与y轴的交点.

解题时，求出抛物线的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，然后结合a，b的取值范围就可以画出对解题有帮助的函数图象.

例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（其中点A在点B的左侧），顶点为C（0，2），直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（43，-6）.求抛物线的表达式和点D的坐标.

解：画出草图，如图1所示.

因为抛物线顶点为C（0，2），所以

设抛物线解析式为y=ax2+2（a≠0）.

由点P（43，-6）在抛物线上，得

a（43）2+2=-6，解得a=-16.

所以，抛物线的解析式为

y=-16x2+2.

令y=0，得-16x2+2=0，解得

x1=-23，x2=23.

所以点A（-23，0），B（23，0）.

设直线DP解析式为y=kx+b，则有

23k+b=0，43k+b=-6，解得k=-3，b=6.

所以直线DP的解析式为y=-3x+6，令x=0，则y=6.

故点D的坐标为（0，6）.

2.2 二次函数的应用

在二次函数解析式的求解中，待定系数法是必考点，一般可分为四个小步骤：（1）设解析式，（2）找点坐标，（3）代入解析式解方程，（4）还原.

由于二次函数解析式有三种形式，因此设解析式时需要注意，已知顶点可设顶点式，已知与x轴的两个交点设交点式，其余情况设一般式.如果不能理解这四个步骤，解题就会漫无目的，必定“山重水复疑无路”；如果能够理解这四点，就可以熟练应用，思路也越来越清晰，必定“柳暗花明又一村”.

例2王经理到老李的果园内一次性采购苹果，俩人商量：王经理的采购价y（单位：元/t）和采购量x（单位：t）之间的函数关系图象如图2中折线段ABC所示（不包含端点A，但是包含端点C）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）已知老李种植苹果的成本是2 800元/t，那么王经理的采购量是多少时，老李在这次买卖中所获利润w最大？最大为多少？

解：（1）根据图象可知，当0＜x≤20时，y=8 000.

当20

将B（20，8 000），C（40，4 000）代入y=kx+b，得

8 000=20k+b，4 000=40k+b，

解得k=-200，b=12 000，则y=-200x+12 000.

所以y=8 000（0＜x≤20），

-200x+12 000（20

（2）根据以上解析式式以及老李种植苹果的成本为2 800元/t，当20＜x≤40时，

w=（-200x+12 000-28 00）x

=-200x2+9 200x

=-200（x-23）2+105 8000，

当x=23时，w最大=105 800（元）.

故王经理的采购量为23 t时，老李在这次买卖中所获利润最大，且最大利润为105 800元.

反思：这道题考查了二次函数的应用，首先结合图象分段求出解析式，然后根据二次函数解析式求最值.

总之，在二次函数的学习中，需要先了解二次函数的概念与性质，掌握定义、图象、顶点、轴对称等，学会观察图象和利用方程来解题.

参考文献：

牛徐进.六步法提升初中数学二次函数图像的有效教学.科学咨询（教育科研），2021（2）：276277.