线性代数课程思政教学设计

基金项目：国家自然科学基金项目“几何知识的语义表示与智能化管理方法研究”（61702025）；中国高等教育学会重点项目“基于教育数学思想培养大学数学教师”（22SX0201）；北京航空航天大学一流本科课程立项项目“工科高等代数”（无编号）

作者简介：陈肖宇（1982-），男，汉族，辽宁沈阳人，博士，讲师，硕士研究生导师。研究方向为数学知识管理和教育数学。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.19.041

摘  要：以矩阵求幂问题为例，阐述在线性代数教学中的课程思政设计思路。通过分析教学对象的特点，从知识传授、能力培养和价值塑造三个方面提出教学目标，并以实际案例为切入点，将学生求知欲的培养、科学思维的锻炼和报国情怀的激发等思政元素融入教学过程中，达到提升课程教学效果和立德树人的教学目标。

关键词：线性代数；课程思政；教学设计；矩阵相似；对角化

中图分类号：G641      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）19-0173-04

Abstract： Taking the problem of computing powers of matrices as an example， this paper elaborates design idea of ideological and political education in teaching Linear Algebra. Through student analysis， we propose teaching objectives from three aspects of knowledge imparting， ability cultivation， and value shaping. Taking practical cases as the starting point， ideological and political elements such as cultivating students' thirst for knowledge， exercising scientific thinking， and inspiring a sense of patriotism are integrated into the teaching process， in order to achieve the goals of improving the effectiveness of the course and cultivating students' moral character.

Keywords： Linear Algebra; ideological education; teaching design; similar matrices; diagonalization

线性代数属于大学非数学类专业核心必修课，不仅是学生必须掌握的数学基础，而且在现代科学技术的各个领域有着十分广泛的应用，这为课程思政元素的挖掘、寻找切入点以及转变教学方式提供了平台。线性代数课程知识体系中蕴含着丰富的思政元素[1-5]，而由于线性代数概念抽象难懂，学生理解起来并不容易。从案例出发引出所讲解的知识点，一方面可以启发学生思考如何应用所学知识解决实际问题，帮助学生更好地理解知识要点，使学生体会到数学并不是冰冷的符号游戏，进而提升课程的教学质量和效果[6-7]；另一方面，可以在案例教学过程中将价值塑造融入知识传授和能力培养，实现立德树人的教学目标。本文以实际应用中广泛出现的矩阵求幂问题为例，展示如何在教学中通过案例融入课程思政内容。

一  案例教学设计

（一）  教学对象分析

本课程是面向大一本科生的公共基础课，影响力大，覆盖面广，在课程中开展思政教学至关重要。学生处于从高中到大学的过渡阶段，学习方式需要改变以适应大学要求，因此应该从简单的案例出发，以激发学生学习兴趣为主，通过合理的引导和分析，一步一步地解决问题，归纳出一般方法和步骤，使学生主动思考解决更复杂的案例。

（二）  教学目标

1）知识传授：理解矩阵相似对角化的概念以及方阵特征值和特征向量在矩阵相似对角化中所承担的角色，掌握矩阵的相似对角化方法和判别条件，理解矩阵相似对角化与矩阵求幂之间的关系，了解很多实际问题都可以转化为矩阵求幂问题，进而利用矩阵相似对角化解决。

2）能力培养：培养思维能力，能够对问题进行观察和分析，培养学生“从特殊到一般”的抽象概括的思维方式，锻炼学生独立思考的学习习惯与勇于质疑的科学精神；提高学生“从一般到特殊”的实际问题处理能力，能够应用所学知识去识别、表达、研究和解决生产生活中的具体问题。

3）价值塑造：能用科学的思维研究问题，用数学的方法解决问题，激发学生的爱国情怀和使命担当，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。

（三）  设计理念

首先从著名的斐波那契数列出发，在展现数学之美的过程中引入矩阵的相似等教学内容，引导学生利用矩阵相似对角化求解斐波那契数列的通项公式，培养学生科学思维和严谨的科学作风；其次，剖析斐波那契数列的通项公式得到黄金分割比，引出华罗庚的优选法和人物事迹，增强学生爱国主义意识；最后，通过拓展案例，鼓励学生“在学习中研究，在研究中学习”，培养学生解决实际问题的能力和勇于探索的科研精神。

（四）  教学重点和难点

理解如何应用矩阵方法描述实际问题，掌握矩阵相似对角化的性质和判别条件，能够根据数学结果解释实际问题。

二  案例教学实施

（一）  知识回顾

复习矩阵特征值和特征向量的定义和计算方法。

（二）  案例引入：兔子繁殖问题与斐波那契数列

兔子繁殖问题是意大利数学家斐波那契（L. Fibonacci，1175—1250年）在其所著的《算盘书》（1202年）中收录的一个民间数学问题，叙述如下：设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟的兔子每月会生一对兔子。假设每次生的一对兔子都是一雄一雌，且所有的兔子都不病不死，那么由一对初生兔子开始，到第12个月总共有多少对兔子[8]？对于这样一个问题，按照月数从初始第1个月开始得到兔子对数依次是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。然而若求第100个月兔子总对数，计算就十分繁琐，这就需要找到其中的规律。依题意，第n个月兔子总对数fn应满足如下递推公式

。

因该数列是斐波那契发现的，故后人称该数列为斐波那契数列。接下来通过展示松果种子排列的螺线数目恰好是斐波那契数列中的数字，让学生感受到简单的数列背后蕴藏着大自然的规律，而这一现象直到1992年才有生物学上的解释。斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘。除此之外，该数列派生出了广泛的应用，在19世纪末和20世纪成为热门的研究课题，以至于1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。为了发现这些数字背后的奥秘，就需要求解其通项公式。

在这个教学过程中，教师以兔子繁殖问题为引例得到斐波那契数列，让学生在体会数学之美的同时，激发学习兴趣去探究该数列蕴藏的奥秘，为后面教学的展开做好铺垫。

（三）  斐波那契数列通项的求解

教师要渗透科学方法，引导同学们利用本课程所学的知识来考察n≥3时的递推公式fn=fn-1+fn-2[9]。可以将fn看作是fn-1与fn-2这两项的线性组合，而线性组合正是矩阵乘法的基本操作。因此可以构造如下2个向量：fnfn-1和fn-1fn-2，利用矩阵乘法得到如下递推关系：fnfn-1=1  11  0fn-1fn-2，进而可得

若记M=1  11  0，则原问题转化为求Mn-2。

这时引导学生思考，若存在可逆阵P和对角阵？撰，使得P-1MP=？撰，会得到什么结果呢？由P-1MP=？撰可得M=P？撰P-1，于是Mn-2=（P？撰P-1）n-2=P？撰n-2P-1，矩阵的幂转化为容易计算的对角阵的幂，这正是数学运算和推理中常用的“化繁为简”的思想，由此引出矩阵相似对角化的概念。

定义：设A与B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似；若A与n阶对角阵相似，则称A可相似对角化。

这时引导学生进一步思考，是否任一n阶方阵A都可相似对角化呢？若可以，可逆阵P和所相似的对角阵又该如何求得呢？由此引出矩阵相似对角化的性质和判别条件。

不妨设可逆阵P=（p1，p2，...，pn），对角阵？撰=diag（？姿1，？姿2，...，？姿n），则

因此，与A相似的对角阵对角线上的元素正是A的n个特征值，可逆阵P的各列正是分别属于这n个特征值的特征向量。又因为P可逆，所以要求这n个特征向量必须线性无关。由此得到定理：n阶方阵A可相似对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。

基于以上分析，回到斐波那契数列通项的求解，要判断M是否可相似对角化，首先由M的特征方程|？姿E-M|=？姿2-？姿-1=0，求得M有两个不同的特征值？姿1=，？姿2=，进而求得属于？姿1，？姿2的特征向量分别为p1=？姿11，p2=？姿21，由此可以判断M一定可相似对角化，即令P=？姿1  ？姿21   1，有P-1MP=？撰=？姿1 0 0  ？姿2，故可求得

，

再由                                     可得斐

波那契数列的通项为

接下来，启发同学们进一步思考，以上方法还能够解决哪些更复杂的递推关系求解问题呢？例如：

很显然，这个递推关系本质上仍然是线性组合，因此仍然可以使用矩阵法构造如下递推关系

，

值得注意的是，其中方阵

的特征方程为？姿3-？姿2-？姿-1=0，计算得到一个实特征值和两个复特征值，这里同学可能会质疑是否还可以应用矩阵的相似对角化来计算这个三阶方阵的幂。这时需要强调上述推导的矩阵可相似对角化条件与特征值和特征向量是否为实的并无关系。通项的具体形式可以留给同学们课后进行探索。

在这个教学过程中，教师利用特殊数列的通项求解过程，着重培养学生的数学素养和科学思维，求解方法体现了“化繁为简”的数学思想。通过对问题的提升，激发学生思考应用矩阵法解决问题的本质是什么，加深学生对矩阵运算的理解，提高应用抽象的概念分析解决问题的能力，使学生体会到“从特殊到一般”的认知过程，领悟科学发展的规律，愿意挖掘自然界隐藏的奥秘。

（四）  斐波那契数列背后的秘密

同学们会发现一个有趣的现象，一个由自然数构成的数列，通项却是用无理数表达的，使学生感受数学世界之神奇。接着引导学生探索该数列相邻两项比值的规律，前项与后项的比值：，，，，，，…，→==≈0.618，即比值的极限恰好是黄金分割比。这一分割比例在视觉上给人极大的愉悦感，因此成为工艺美术、建筑和摄影等许多艺术门类中审美要素，更是20世纪60年代，华罗庚先生创造的优选法的基础。这里可以通过一个具体的例子简单介绍优选法。炼钢需要掺入某种化学元素加大钢的强度，假设已知每吨钢加入该化学元素的数量大约在1 000至2 000克，问掺入多少最佳？通常同学们会想到使用二分法来进行试验，可以比较快速地逼近结果。但华罗庚先生证明了，每次取试验区间的黄金分割处去做试验才是最好的方法。接着通过华罗庚先生的人物事迹激发学生的爱国情怀。华罗庚先生是国际上享有盛誉的数学大师，被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。其在新中国成立后的1950年，毅然决定放弃在美国的优厚待遇，携夫人和孩子回到祖国。当时的中国积贫积弱，百废待兴，华罗庚先生在这样的艰苦环境中不忘初心，在数学多个领域中硕果累累，培养出一批优秀数学家，开创了中国数学学派。面对我国一穷二白的境况，他在数学理论研究的同时，努力尝试寻找一条数学和实践相结合的道路，这使得优选法帮助工农业生产大大提高了效率[10]。

在这个教学过程中，通过斐波那契数列背后隐藏的黄金分割比，引出华罗庚先生心怀祖国、学以致用的报国情怀，同学们会想到现在的生活水平比起华罗庚年代有了质的飞跃，而这短短七十余年的发展凝聚了无数先辈的心血和付出，然而我国现在仍然有很多领域处于“卡脖子”的境地，使命感和责任感油然而生，更应该珍惜当下，努力学习，回馈国家和社会。

（五）  拓展应用

通过以上学习，同学们知道了如何利用矩阵的相似对角化求矩阵的幂。事实上，很多实际问题都可以抽象为该类问题。以人口迁移问题为例，假设一个城市的总人口保持固定，初始时40%的人生活在城市，60%的人生活在郊区，然而每年有6%的人从城市搬到郊区，2%的人从郊区搬到城市，那么问若干年后城市和郊区的人口分布比例分别是多少呢[11]？

设xn和yn分别表示第n年城市人口占比和郊区人口占比，由题意可得xn=0.94xn-1+0.02yn-1yn=0.06xn-1+0.98yn-1，其中x1=0.4y1=0.6。这时引导同学观察，得到其本质就是矩阵乘法运算：

，记为？琢n=A？琢n-1。通过递推可以得到第n年的人口分布向量？琢n=An-1？琢1。这样原问题就又转化为矩阵求幂问题。由于矩阵A有两个互异的特征值？姿1＝1，？姿2=0.92，特征向量分别为p1=13，p2=-1 1线性无关，因此一定可相似对角化，进一步求得

。原问题由此得以解决。

接下来教师进一步提出一个问题，很多很多年后，人口分布的比例又分别是多少呢，具有什么性质呢？引导学生思考矩阵方幂的极限

（1）

这时通过观察，得到这个极限分布向量恰好是A的属于特征值1的一个特征向量。

更进一步，如果初始的人口分布变为？琢1=0.10.9，那么这个极限分布会变化吗？这时，教师可以通过数值模拟的方式，展示从不同的初始分布出发若干年后得到的人口分布（图1），可以看到这个极限分布是相同的。这样的结果并不是偶然的，因为在式（1）中，初始分布向量？琢1不论如何变化，其分量之和始终为1，因此 ？琢1=。

事实上，人口迁移的过程在统计学上称为马尔科夫链，即每个时刻的人口分布情况是由前一时刻的人口分布情况和矩阵A来确定的，这个矩阵称为状态转移矩阵，所得的极限分布称为马尔科夫链的稳态。很多实际问题都可以用马尔科夫链来建模，例如谷歌搜索引擎的PageRank算法、天气预测、分子扩散模型等。那么是否马尔可夫链都存在着稳态呢？这尽管不属于本课程的内容，但鼓励同学们在课后进行探索性研究：首先，应用所学知识动手证明若一个方阵任何一列的所有元素之和为1，则1一定是该方阵的特征值；其次，通过数值模拟的方式观察状态转移矩阵对收敛性的影响，并猜想能够产生长期稳定行为的状态转移矩阵所应满足的性质；最后，查阅相关文献资料验证自己的猜想并撰写研究报告。

在这个教学过程中，通过由浅入深、层层递进的问题激发学生的求知欲望，让学生体会“从特殊到一般，再从一般到特殊”的科学思维方法。通过案例的解决让学生真正感到数学在实际问题的应用价值，增强从实际问题中概括提炼数学问题和概念的能力。用以促学，培养用所学知识解释生活中现象的能力，增强勇于探索的科研精神。

三  结束语

本案例设计从简单的问题出发，层层递进地引出背后的数学原理，符合大一新生的认知规律和实际水平，让学生克服“数学难学”的固有认知。由图片展示、数值模拟、人物故事等营造出轻松活跃的教学氛围，通过探索斐波那契数列背后隐藏的奥秘使学生体会数学之美，通过解决实际中遇到的问题让学生感受到数学有用，进而激发学生自主学习探索的兴趣。通过案例教学，让同学们掌握应用矩阵方法描述问题，以及应用矩阵相似对角化求矩阵方幂的具体过程和方法，学会“化繁为简”的数学思想以及“从特殊到一般，再从一般到特殊”的科学思维方式。

通过课程内容延伸华罗庚先生的故事，以华罗庚先生“心怀祖国，学以致用”的高尚情怀感染学生，使学生感悟到作为新时代大学生的使命感和责任感，学习树立正确的人生观、世界观、价值观；同时通过思考解决实际中的应用案例，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养了学生独立思考的能力和勇于探索的科研精神。

参考文献：

[1] 高月凤，刘锡平.线性代数课程思政教学方案设计与实践[J].大学数学，2023，39（3）：20-24.

[2] 苏克勤，曹殿立，姬利娜，等.线性代数课程思政的设计与教学实践[J].高教学刊，2021，7（27）：189-192.

[3] 王淑霞，阎欣华，杜建卫.“线性代数”课程思政案例探索与实践[J].教育教学论坛，2023（32）：98-101.

[4] 文军，王宇，屈龙江.思政要素有机融入课程——以《线性代数》为例[J].高等数学研究，2023，26（4）：54-58.

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[8] 顾沛.数学文化[M].2版.北京：高等教育出版社，2017.

[9] 李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2011.

[10] 李健臣.为数学而生的大师：华罗庚[M].武汉：华中科技大学出版社，2020.

[11] 肖占魁，黄华林，林增强，等.应用线性代数[M].北京：机械工业出版社，2021.