“爪”型三角形重要结论的证明及其应用

范光龙

摘要：通过证明揭示“爪”型三角形的三个重要结论，并以两道例题为例，探究“爪”型三角形的三

个重要结论的具体应用，以培养学生的直观想象、数学运算等核心素养.

关键词：爪型三角形；三个结论；解三角形

如图1所示，给出的是“爪”型三角形示意图（其中点D在边BC上，且与端点不重合）.由于此类解三角形问题在教材例习题以及模拟题、高考题中比较常见，且又能较好地考查学生的数形结合能力及运算求解能力，所以关注“爪”型三角形对应的几个重要结论，有助于相关问题的顺利求解［1］.

1 “爪”型三角形重要结论及其证明

重要结论1：在△ABC中，已知点D在边BC上，且与端点不重合，连接AD，若∠BAD=α，∠DAC=β，则有sin αAC+sin βAB=sin（α+β）AD.

证明：由图1知S△ABC=S△ABD+S△ADC，所以结合三角形的面积公式可得12AB·ACsin（α+β）=12AB·ADsin α+12AC·ADsin β.于是，对上式两边同除以12AB·AC·AD，即得sin αAC+sin βAB=sin（α+β）AD.故等式得证.

重要结论2：在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则有AD2=12AB2+12AC2-14BC2.

证明：注意到∠ADB和∠ADC是邻补角，所以必有cos∠ADC=-cos∠ADB，从而在△ACD中，根据余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC＼5cos∠ADC

=AD2+DC2+2AD·DCcos∠ADB.又由AD是BC边上的中线，得BD=DC，所以可得

AC2=AD2+BD2+2AD·BDcos∠ADB.①

又在△ABD中，根据余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD·BD＼5cos∠ADB.②

由①②式相加，得AC2+AB2=2AD2+2BD2.即

AD2=12AB2+12AC2-BD2.

又BD=12BC，所以AD2=12AB2+12AC2-14BC2.故得证.

重要结论3：在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则有AD2=AB·AC-BD·DC.

证明：因为AD是∠BAC的角平分线，所以BDDC=ABAC，即BD·AC=AB·DC，于是可得

BD·AC·（DC-BD）=AB·DC·（DC-BD）.

整理，得AC·BD2+AB·DC2=（AB+AC）·BD·DC，即

AC·BD2+AB·DC2AB+AC=BD·DC.

因为∠ADB和∠ADC是邻补角，所以可以得到cos∠ADB=-cos∠ADC，即

AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+DC2-AC22AD·DC.

结合BDDC=ABAC可得

AD2+BD2-AB2AB=-AD2+DC2-AC2AC，

再进行整理变形，得

（AB+AC）AD2=AB·AC（AB+AC）-AC·BD2-AB·DC2.

所以，可得

AD2=AB·AC-AC·BD2+AB·DC2AB+AC.

故AD2=AB·AC-BD·DC，得证.

2 “爪”型三角形重要结论应用举例

例1  在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=.

解法1：在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即

（6）2=22+AC2-4AC·cos 60°，

解得AC=3+1（负值已舍）.

如图2，因为AD为∠BAC的平分线，所以CDDB=ACAB

=3+12.

于是可以得到CD=3+13+3＼5BC=3+13+3×6=2.

所以BD=BC-CD=6-2.

于是，由重要结论3可得AD2=AB·AC-BD·CD=2（3+1）-（6-2）2=4.

故AD=2.

解法2：同方法1先求得AC=3+1.又易知∠BAD=30°，∠DAC=30°，从而根据重要结论1可得sin∠BADAC+sin∠DACAB=sin∠BACAD，即sin 30°3+1+sin 30°2=sin 60°AD，解得AD=2.

评注：解法1为了运用重要结论3求解AD的长，需要先根据余弦定理求出AC的长，再根据三角形角平分线性质定理求出CD，BD的长.而解法2，先根据余弦定理求解AC的长，再根据重要结论1即可迅速获解.对比可知，解法2比较简单！

例2  已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcos C+33csin B，c=4，a=2.

（1）若D为AC边的中点，求BD的长；

（2）若BD为∠ABC的平分线，求BD的长.

解析：因为a=bcos C+33csin B，所以由正弦定理得sin A=sin Bcos C+33sin Csin B.

又注意到sin A=sin（B+C）=sin Bcos C+cos Bsin C，所以cos Bsin C=33sin Csin B.

于是，可得tan B=3.

又0

在△ABC中，由余弦定理，得b2=22+42-2×2×4cosπ3=12，所以b=23.

（1）根据重要结论2，得BD2=12BA2+12BC2-14AC2=12×42+12×22-14×（23）2

=7，所以可得BD=7.

（2）方法1：如图3，BD为∠ABC的平分线，所以ADDC=ABBC=42=2，于是AD=23AC

=23×23=433，CD=AC-AD=23-433=233.

所以，根据重要结论3，得BD2=BA·BC-AD·CD=4×2-433×233=163，故BD=433.

方法2：因为BD为∠ABC的平分线，且B=π3，所以∠CBD=π6，∠DBA=π6.

于是，根据重要结论1，可得

sin∠CBDBA+sin∠DBABC=sin∠ABCBD，

即sinπ64+sinπ62=sinπ3BD，解得BD=433.

评注：本题侧重考查解三角形与三角函数知识的综合运用.其中第（1）问由于是求中线长，因此可运用重要结论2求解；第（2）问由于是求角平分线长，因此可运用重要结论3求解，亦可运用重要结论1求解.其实，如果能够观察到△ABC为直角三角形，则可以迅速求解.

总之，关注“爪”型三角形对应的几个重要结论，有利于帮助我们提高对于解三角形中有关常用知识、方法的灵活运用能力，进一步加深对“爪”型三角形的理解与认识.另一方面，从解题能力视角来看，有利于帮助学生较好地培养直观想象思维能力、逻辑推理能力以及数学运算求解等能力［2］.

参考文献：

［1］曹亚奇，吴凯.论“爪型三角形”的归类与突破［J］.中学生数理化（高考数学），2023（1）：38-40，2.

［2］邓成兵.研究高考真题 提升核心素养——以一道“爪型”三角形的变式探究为例［J］.教学考试，2022（47）：64-68.