指向深度学习的“三角函数”单元教学设计

郑梦叶

“三角函数”是高中数学的基础内容、也是重要内容，内容既独立成章又与其他章节内容联系密切，在各级各类考试中都占有很重要的地位.本章知识既能承上（作为一种具体函数形式是考查函数知识的重要载体），又能启下（是进一步学习平面向量知识的基础）.因此，要对三角函数进行深度学习.

1 落实教材实质，有效深度学习

1.1 看一看：知识网络

“三角函数”单元的知识网络如图1所示：

1.2 梳一梳：规律策略

（1）领悟概念实质

提到三角函数，我们并不陌生，因为初中就学习了锐角的正弦、余弦和正切这三种三角函数，但高中再学三角函数时不仅函数的定义形式变化了、角的范围扩大了（扩大到任意角）、角的度量增加了（增加了弧度制）、定义方式也不一样了（由坐标法给出定义）.所以我们要从函数的角度来学习领悟这一既熟悉又陌生的概念，真正认识到它的“函数”特征——从实数集（或其子集）到实数集（或其子集）的函数，为各象限角的三角函数符号规律的揭示、各种三角函数定义域与值域的得出、同角三角函数基本关系式的推导以及三角函数线的引入打下坚实的理论基础.

（2）把握公式脉络

“三角函数”一章的特点之一就是公式多，弄清公式的由来、厘清公式脉络再加之一定的记忆手段才是掌握公式的根本点.

①厘清脉络：就是按照教材的编排顺序搞清楚每一组公式的推导方法，也就是会证明会推导.这样学完本章之后，在头脑中自然就会以公式为线索呈现出清晰的线条.

②巧记公式：为了快速准确记忆公式，也可以通过“归类”“类比”“口诀”等手段帮助记忆.如，可以将五组诱导公式归类总结在一起并由“纵变横不变，符号看象限”一言来概括.

（3）熟悉公式应用

公式的应用是三角函数内容的具体体现，这里要求学生不仅要熟悉公式的顺向、逆向使用，还要能灵活应用它们的变形形式.注意同角三角函数关系公式的变形技巧：“1”的代换、切化弦、整体代换等.

（4）关注图象性质

要在熟练掌握三角函数图象的基础上，利用三角函数的图象认识、研究、记忆三角函数对应的性质，做到以性作图、以图识性、以图记性.三角函数的图象是三角函数关系的直观表现形式，三角函数的性质可直接从图象上显示出来，通过图象分析三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等.

1.3 理一理：学法点拨

（1）三角函数部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象以及三角函数的求值问题.三角函数求值问题的解题思路，一般是运用基本公式将未知角转换为已知角求解.

（2）注意把握“一个不变”：依托三角函数的定义与公式为问题场景，考查三角函数的图象与基本性质、三角求值及其应用等问题.在高考中，三角函数的定义与三角恒等变换公式及其应用等，几乎年年必考，不同的只是变换考查角度和改变题目背景而已.

（3）基本的解题规律：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.

（4）基本的数学思想：

①数学建模思想：建立弧度制、任意角的三角函数的定义以及三角函数模型等都要用到数学建模思想.

②数形结合思想：“依性作图，以图识性”是本章中数形结合思想的主要体现，要做到心中有图，观图解题.在探讨三角函数的周期性、研究三角函数的性质等方面都要用到数形结合思想.

③函数思想：三角函数只是一类特殊的函数模型，其涉及的函数思想与其他函数的考查有区别也有联系，经常与其他方程或函数知识交汇融合，有时还要结合换元转化、分类讨论等方法.

④化归与转化思想：利用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行三角函数的求值、化简、证明，都离不开恒等变形，还经常用整体代换沟通sin α±cos α与sin αcos α之间的关系等.

2 掌握典型考题，合理深度学习

2.1 同角三角函数的基本关系式和诱导公式

例1  已知cos（π+α）=-12，且角α在第四象限，计算：

（1）sin（2π-α）；

（2）sin［α+（2n+1）π］+sin（π+α）sin（π-α）cos（2nπ+α）（n∈Z）.

规律分析：（1）同角三角函数的基本关系的应用.①已知一个三角函数求另外两个，可以利用平方关系、商式关系直接求解或解方程（组）求解.②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式.当齐次式为分式时，将分子、分母同除以cos α或cos2α，化为正切后代入；当齐次式为整式时，将分母看成1，利用1=sin2α+cos2α代入，再通过将分子、分母同除以cos α或cos2α化切.

（2）用诱导公式化简求值的方法.①根据给出的角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，π2±α，3π2±α（或k·π2±α，k∈Z）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”进行化简.②观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.

2.2 三角函数的图象及变换

例2  已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，0<φ<π2）的图象上的一个最低点为M2π3，-2，周期为π.

（1）求f（x）的解析式；

（2）将y=f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式.

规律分析：（1）由图象或部分图象确定解析式y=Asin（ωx+φ）中的参数.①A由最大值或最小值来确定；②ω通过求周期T来确定；③φ通过利用已知点列方程来求出.

（2）由y=sin x的图象变换到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈R图象的两种方法如图2所示.

2.3 三角函数的性质

例3  已知函数f（x）=4tan xsinπ2-x·cosx-π3-3.

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间-π4，π4上的单调性.

规律分析：（1）涉及三角函数的性质问题往往离不开周期性与奇偶性，结合三角函数的解析式合理分析与解决.

（2）求三角函数的取值范围（或值域、最值等）时，经常借助三角函数的有界性、单调性以及换元法思维等，关键是要注意题设条件中的角的取值范围是否有限制.

2.4 三角恒等变换

例4  已知α，β为锐角，tan α=43，cos（α+β）=-55.

（1）求cos 2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

规律分析：进行三角恒等变换及其应用时，往往要抓住解题的“四大策略”，即常值代换、项的分拆或角的配凑、降次或升次以及弦切互化等.