立足核心素养，培养发散性思维

丁莉萍

在课堂教学中如何更好地培养学生的发散思维，提高学生的思维能力，发展学生的核心素养是教学中的关键任务.笔者结合自身的教学实践从变式训练和发展思维品质两个方面谈一谈如何培养学生的发散性思维，与各位同行共同交流.

1 开展变式训练，培养发散性思维

发散性思维是应对时代发展、灵活应用知识的重要思维能力.受应试思维的影响，在教学中普遍重视学生集中思维的训练，但是对于发散性思维的培养却不够重视，影响了学生思维品质的提升.

1.1 一题多解促进思维发散

数学试题往往会存在多种解法，教师要引导学生从不同的角度和途径寻求解决问题的方案，通过一题多解发展思维的灵活性和发散性.

例1  求证：1-cos 2θ+sin 2θ1+cos 2θ+sin 2θ=tan θ.

师：大家尝试用不同的方法来证明这道题，看看哪一组找到的方法最多.

生1：我们是通过二倍角公式统一角度进行证明.

左=2sin2θ+2sin θcos θ2cos2θ+2sin θcos θ=2sin θ（sin θ+cos θ）2cos θ（sin θ+cos θ）=右.

生2：我们是通过万能公式将函数的名称统一之后再进行证明.

设tan θ=t，则cos 2θ=1-t21+t2，sin 2θ=2t1+t2，

所以左边=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右边.

生3：我们还有第三种证明方法.利用tan θ=1-cos 2θsin 2θ进行证明.

左边=（1-cos 2θ+sin 2θ）sin 2θ（1+cos 2θ+sin 2θ）sin 2θ

=

（1-cos 2θ）sin 2θ+sin22θ（1+cos 2θ+sin 2θ）sin2θ

=

（1-cos 2θ）［sin 2θ+（1+cos 2θ）］sin 2θ（1+cos 2θ+sin 2θ）

=

1-cos 2θsin 2θ

=右边.

生4：还可以通过正切半角公式进行证明.

tan θ=1-cos 2θsin 2θ=sin 2θ1+cos 2θ=1-cos 2θ+sin 2θ1+cos 2θ+sin 2θ.

教师引导学生通过多种角度探寻解题方法，并对多种解题方法进行归纳总结，使学生进一步明晰解题的思路，为灵活使用知识解决问题奠定基础，培养了学生思维的灵活性和发散性.

1.2 开放型试题促进思维发散

教师引导学生从已知条件中寻找多种结论，并进行证明，促进学生思维的发散性.

例2  已知角α，β满足

sin α+sin β=13，①

cos α+cos β=14.②

根据题意可以得到哪些相关的结论？

学生经过讨论，展示各自得到的结论.展示如下：

生5：由式①的平方加上式②的平方，可以得到cos（α-β）=-263288.

生6：由①式与②式相乘，再和差化积可以得到sin（α+β）［cos（α-β）+1］=112.结合生5的结论可以得到sin（α+β）=2425.

生7：由式①的平方减去式②的平方，再和差化积可以得到2cos（α+β）［cos（α-β）+1］=-7144.结合生5的结论，可以得到cos（α+β）=-725.

生8：式①除以式②，再进行和差化积去公因式，可以得到tanα+β2=43，接下来使用万能公式可以求角（α+β）的正弦值、余弦值以及正切值.

生9：由sin2α+cos2α=1，将角α消去，可以得到4sin β+3cos β=2524.同理消去角β，可以得到4sin α+3cos α=2524.

生10：由式①与式②相加，并逆用两角和的正弦公式，可以得到

sinα+π4+sinβ+π4=7224.

将式①减去式②，接着逆用两角差的正弦公式，可以得到sinα-π4+sinβ-π4=224.

生11：由式①乘3减去式②乘4，于是可以得到

3sin α-4cos α+3sin β-4cos β=0，即角（α-θ）的正弦值与角（β-θ）的正弦值之和为0，

也可以得到2sinα+β-2θ2cosα-β2=0，其中tan θ=-43，θ为第四象限的角.

所以α=2kπ+π+β（k∈Z），这样角（α+β）的正弦值、余弦值以及正切值都可以求出来.

本例中通过开放型试题的引入，引导学生发散思维，多角度的思考结论.教师可以从多种角度引导学生思考题干的条件以及条件之间的关系，通过运用不同的手段变换条件探索结论，促进思维的发散，同时培养学生面对问题和困难能够坚持不懈的研究精神以及开拓创新的能力.

1.3 变换试题条件促进思维发散

变式练习不仅是教师将题目的条件、结论改变以训练学生的思维，还可以通过引导学生自主改变题目的条件，进行变式训练，从而让学生能够从不同的角度和运用不同的知识解决问题.

例3  自主设计等差数列变式练习.

师：大家都知道等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d，因此在这个通项公式中只要知道四个变量中的三个就能求出另外一个.下面请大家自主命题，结合等差数列的通项公式设计一道科学正确的试题.

生1：已知数列{an}为等差数列，a1=1，d=-2，请问-9为数列的第几项？

生2：已知数列{an}为等差数列，a1=1，d=-3，请问-9为第几项？

师：大家不妨计算一下生2的这道题，看看能不能算出结果？

生3：我算出来了-9为第133项.

（学生纷纷笑起来.）

生4：项数怎么可能不是整数呢？

师：所以这道试题是不成立的，同学们在编题的时候要综合考虑变量的取值范围还有公式的适用范围，不是随意取数字哦！

本例教师将学生变成命题者，要求学生自主命题并给出解析.这一过程学生要充分使用已学的等差数列的通项以及求和公式，才能在命题的过程中综合考虑各种因素使题目成立.这样的教学方式既锻炼了学生的思维，也激发了学生的求知欲，活跃了课堂氛围，促进了学生思维的发散性.

2 提高思维品质，助力发散性思维

思维的发散性、深刻性、广阔性等特征是有机统一、相辅相成的，因此培养思维的发散性还需要综合提升思维的品质，为培养发散性的思维奠定基础.

2.1 培养思维的深刻性

深刻的思维对于数学学习至关重要，它关系着学生能否透过复杂的题干条件透析问题的本质，能否总结事物之间的发展规律.思维的深刻性是学生进行深度学习必备的思维品质，反映了思维过程的抽象程度.

例4  方程sin x=lg x有几个解？

师：同学们看一下这个方程，我们可以求出它有几个解吗？

（学生纷纷拿出纸和笔开始计算，但是过了几分钟也没有学生计算出结果.）

师：看来这道题是有一定难度的.倘若我们仅仅从方程的角度考虑，确实是解不出来，那么，能不能换一种方式，用数形结合的方法求解呢？

生4：我明白了，可以用函数的图象来解决，图象有几个交点就代表方程的解有几个.

师：很好，看来上述方程除了代数的方法，还可以利用几何法来解决.

本例教师通过一道解方程的试题，表面上是进行方程的求解，实则渗透了数形结合思想，使学生更加明晰几何与代数之间具有内在的联系，二者不是相互分割的.通过试题实现了知识的串联和数学板块之间的横向沟通，引导学生抓住了事物的本质，发展了思维的深刻性.只有在深刻思考的基础上，经历思维的抽象过程，才能为思维的发散性提供有力的前提.

2.2 培养思维的广阔性

思维的广阔性使得学生在解决问题时能够全面看待问题的各个方面，既能关注重点，也不忽视细节，能够全面调动与求解问题相匹配的知识，从而探寻问题的答案.思维的广阔性与思维的封闭性、局限性相对，是打开学生的视野，能够举一反三、触类旁通的重要基础.

例5

已知一条抛物线在y轴和x轴上的截距分别为3和4，其对称轴为直线x=-1，求该抛物线的方程.

生5：我们可以设抛物线为y=ax2+bx+c，然后根据题意中该抛物线在y轴上的截距为3，求出方程中c的值，再由其他条件求出a，b.

生6：我还有其他的方法，因为题干中告诉了它的对称轴为x=-1，所以选择顶点式进行求解.

生7：我还可以用零点式方程进行求解.

在解决本题时学生选择题干中的一个条件作为侧重点进行突破，体现了学生在注意整体观察试题的情形下能够关注细节，在思维广阔性的基础上发挥了思维的灵活性、发散性调动相关的知识和技能寻找解题的途径.

综上所述，在数学教学中教师要从多角度启发学生进行探索，引导学生进行广泛的联想，调动知识储备，构思独特和巧妙的解题方法，提高解题的速度和效率，发展学生思维的发散性.