利用同构法构造函数巧解难题

刘赒 叶舒琪 吴秀君

课题信息：武汉市属高校教研课题“学科教学（数学）案例库教学与案例库建设”，课题编号为2021003.吴秀君为通讯作者.

摘要：在指数函数与对数函数混合型问题中，常采用同构的方式结合函数性质解题，其关键在于巧妙构造函数模型进行同构，熟练掌握指数、对数的运算性质，结合函数单调性，化繁为简从而突破难点.

关键词：指数;对数;同构

1 知识基础

同构式是指变量不同，结构、形式都相同的数学表达式［1］.同构的过程就是通过移项、拆分、配凑等手段将一个数学表达式恒等变形，使其左右两边呈现形式、结构完全一样的状态，然后构造辅助函数，借助辅助函数的性质来解决问题［2］.为了实现同构，需要对指对式改头换面，常用方法有如下几种.

1.1 指对幂运算

常见形式：x=eln x，xex=ex+ln x，exx=e-ln x+x，aex=ex+ln a，ln x+ln a=ln（ax），ln x-ln a=lnxa，ln x-1=lnxe.

1.2 四则运算

通过四则运算进行添项、减项、拆分或配凑变形为同构式.

2 利用同构法构造函数

同构的难点在于将两个结构不同的代数式构造成两个结构相同的代数式，同构式如何构造？如何选取函数？同构式需要先构建一个与变形后左右两边形式一样的函数，这个函数要做到最值易求、单调性易证.

一般构造以下三种类型的函数作为外函数的复合函数就可以解决问题：

2.1 积型：f（x）=xex，f（x）=xln x

例1  若对任意的x>0，不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立，求实数a的最小值.

分析：观察不等式，利用移项结合指对幂运算进行变换可以构造同构函数f（x）=xex，运用函数单调性即可求解.

解析：将不等式2ae2x-ln x+ln a≥0移项，得2ae2x≥ln x-ln a.由指对幂运算，得2ae2x≥lnxa，变形得2x＼5e2x≥xa＼5lnxa，即

2x＼5e2x≥lnxa＼5elnxa.

令f（x）=xex，则原不等式等价于f（2x）≥flnxa.又f′（x）=ex+xex，当x>0时f′（x）>0，则f（x）在（0，+∞）单调递增，于是有2x≥lnxa，即a≥xe2x恒成立.

令g（x）=xe2x（x＞0），则g′（x）=1-2xe2x.

当00；当x>12时，g′（x）<0.所以g（x）在0，12上单调递增，在12，+∞上单调递减，则g（x）max=g12=12e.

故实数a的最小值为12e.

评注：例1除以上解法外，还有两种同构方法供读者自己尝试，即2x＼5e2x≥xa＼5lnxa→f（x）=xln x，2x+ln（2x）≥lnxa+lnlnxa→f（x）=x+ln x.

例2  已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea+1+b

A.b

B.b>ea+1

C.ab

D.ab>e

分析：观察不等式，进行移项以及指对幂运算可化简得ealn ea

解析：将不等式aea+1+b

aea+1

即ealn ea1时，f′（x）>0，则f（x）在（1，+∞）单调递增.由a，b均为大于1的实数，可得ea>1.又b（ln b-1）>aea+1>0，b>0，所以ln b>1，即b>e，即be>1.所以eaea+1.故选：B.

评注：本题考查了不等式恒成立问题，根据同构形式结合导数研究f（x）=xln x的单调性，进而将问题转化为在（1，+∞）上b>ea+1恒成立.

2.2 商型：f（x）=ln xx，f（x）=exx

例3  不等式2ln x>xln 2的解集是（  ）.

A.（1，2）

B.（2，4）

C.（2，+∞）

D.（4，+∞）

分析：原不等式可通过移项变形为ln xx>ln 22，则可构造同构函数f（x）=ln xx，结合题意以及函数单调性，比较函数图象上的点，数形结合即可求解.

解析：设f（x）=ln xx（x>0），则有f′（x）=1-ln xx2.当00;当x>e时，f′（x）<0.所以函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减.

原不等式可化为ln xx>ln 22，即f（x）>f（2），结合f（2）=f（4），可得2

评注：结合题目特征，对不等式进行变形，构造函数f（x）=ln xx，结合同构形式和函数单调性比较函数值的大小，从而求出解集.

例4  已知a>1，b>1，证明aeb≥bln a.

分析：观察不等式，将原不等式移项变形为ebb≥ln aa，此时可构造两个函数，令f（x）=exx，g（x）=ln xx，根据函数的单调性结合题意即可证明.

证明：要证aeb≥bln a，即证ebb≥ln aa.令f（x）=exx，则f′（x）=ex（x-1）x2.当x>1时，f′（x）>0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）>f（1）=e.令g（x）=ln xx，则g′（x）=1-ln xx2.当00；当x>e时，g′（x）<0.于是g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因此g（x）≤g（e）=1e.故x>1时，f（b）>g（a），即aeb≥bln a.

评注：本题需要利用同构证明不等式，观察不等式并将其变形，发现可将问题转化为函数值的大小比较问题，构造函数f（x）=exx，g（x）=ln xx，根据导数研究函数单调性即可证明.

2.3 和差型：f（x）=x+ex，f（x）=x+ln x

例5  已知函数f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若关于x的不等式f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围.

分析：观察不等式f（x）>0，进行移项、指对互化和添项配凑，可将原不等式变形为ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1），则可构造同构函数g（x）=x+ex，可得到g（x-ln a）>g［ln（x-1）］，结合函数单调性即可求出实数a的取值范围.

解析：由题意得f（x）=ex-aln（ax-a）+a>0（a>0），移项得ex>aln（ax-a）-a，即

exa>ln（ax-a）-1.

由对数性质，可得

exa>ln a+ln（x-1）-1，即ex-ln a>ln a+ln（x-1）-1.两边同时加上x再移项变形，得ex-ln a+x-ln a>ln（x-1）+x-1，即

ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1）.

令g（x）=x+ex，则g′（x）=1+ex>0，故g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数.由

g（x-ln a）>g（ln（x-1）），可得x-ln a>ln（x-1），即-ln a>ln（x-1）-x.

由ln x≤x-1（切线不等式），

变形得ln（x-1）≤x-2，所以ln（x-1）-x≤x-2-x=-2，则有-ln a>-2，即0

评注：本题的难点在于不等式的同构变形，通常可观察不等式的结构特征，通过移项、添项配凑的方法，引入新函数，由新函数的单调性并结合切线不等式求出实数a的取值范围.

以上的模型举例可以让我们感受到“同构”解题的妙用，这种解法的关键在于构造函数，通过观察不等式结构特点，结合指对幂运算性质，借助移项、添项、减项、拆分或配凑进行“同构”，这需要较强的技巧性和灵活性，但也有规律可循.掌握指对互化及其运算性质，熟悉函数模型及其单调性，运用“同构”巧解难题，能够帮助我们事半功倍，体会转化的数学思想.

参考文献：

［1］李文东.指数与对数搭台 同构来唱戏［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2020（21）：4-5.

［2］叶燕.牵手函数同构 拨开解题迷雾——以指数、对数函数同构问题为例［J］.中学教学参考，2022（23）：22-22.