基于MATLAB软件的周期符号纠缠函数构造的新混沌系统动力学分析

罗宏伟++张建刚++杜文举++安新磊++卢加荣

摘要：使用周期符号函数对两个稳定的子系统进行纠缠，构造了一个新三维混沌控制系统，理论分析了新三维控制系统的耗散性、有界性、平衡点的稳定性和Hopf分岔的条件，通过计算得到了系统在平衡点的第一Lyapunov指数，进一步分析了分岔的方向和稳定性。通过MATLAB软件，对系统进行数值模拟，验证了理论分析的正确性。

关键词：纠缠函数；混沌；Hopf分岔；平衡点；Lyapunov 指数

中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）03-0054-04

混沌现象的特征即蝴蝶效应，具有对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。自Lorenz [1]在三维自治系统中发现混沌吸引子以来，在过去数十年中，随着科学技术的发展和进步，混沌理论得到了空前发展，尤其在数学、物理及其工程实际应用中得到极大发展，关于混沌的构造和分析方法已经成为最新的研究热点问题[2，4，5，6]。文献 [7]通过构造了一个新的混沌，文献[8，9，10]利用分段技术，发现了一些新的混沌吸引子的存在，文献[11]首次提出纠缠函数的基本概念，并给出构造混沌的基本原理，即使用纠缠函数通过对两个或更多的线性稳定子系统进行纠缠，可产生混沌系统。构造人工混沌在解决噪声污染，提高天气预测的准确度，保持非线性机械系统稳定性等方面有重要意义。

本文使用周期符号函数作为纠缠函数，对两个线性子系统进行纠缠，构造出了一个新的三维混沌系统，通过对系统的耗散性、有界性、平衡点稳定性、Hopf分岔和Lyapunov指数等动力学特性进行了分析，最后通過数值模拟验证理论的结果。

1 系统描述

考虑两个线性子系统，其中一个是二维系统

另一个是一维系统

其中是状态变量，当和，系统（1）和（2）是稳定的，用周期符号函数纠缠以上两个子系统，可得如下三维控制系统：

3 数值仿真

根据引理1和定理2，当，，和时，平衡点是渐进稳定的。

系统（3）的Lyapunov 指数可以通过文献[15]提供的方法计算得到，其中Lyapunov 指数，and如图1所示，时间序列、频谱和Poincaré 截面图分别如图1所示。当和，出现混沌纠缠现象，其三维相图，和二维相图分别如图2所示。 当参数和值不变，作为变量时，系统（3）的动力行为如图3所示。

4 结语

本文将一个周期符号函数作为纠缠函数，利用混沌纠缠的基本原理，对两个稳定子系统进行纠缠，人工构造出一个新三维控制系统，根据混沌系统的分析方法，对新三维控制系统的动力学特性进行了理论分析，结果发现新构造的系统具有混沌的特征，并使用MATLAB软件进行了数值模拟，验证了理论分析的结果。该方法为我们解决工程中混沌问题提出来新的思路。

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