回归概念探本质，经历实演提素养

童元意

摘要：本文中从引导学生观察、动手操作体验入手，紧扣概念设计层层递推的问题链，在举例说明过程中加深对概念的理解，在参与合作交流、辩析问题中探寻概念的本质，培养学生的直观想象能力和逻辑推理能力，提升数学素养.

关键词：回归概念;动手实践;概念本质

1 问题的提出

数学概念是数学学习的基石，是基础知识和基本技能教学的核心，是数学的逻辑起点，正确理解概念是学好数学最重要的一环.数学素养差异关键是在对数学概念的理解、方法的运用和转化等方面的差异.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应当引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理、操作与交流等数学活动.”因此，回归概念、经历实演对提升数学素养显得尤为重要，本文中尝试以

（2019人教A版必修第二册第八章第6节）

“空间直线、平面的垂直”为例进行说明.

2 回归概念、参与探求概念本质的一些途径

（1）观察、直观感知，让学生经历从现实生活中发现问题的过程

案例  “空间直线、平面的垂直”设计

环节1：创设生活情境，发现问题.

问题1  生活中常见线与面相交.诗人王维有千古绝句“大漠孤烟直，长河落日圆”.

①如图1，你认为这缕孤烟与大漠地平面，以及旗杆与地面给人什么形象？

②说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

问题2  利用几何画板演示太阳在动，影子也跟着动的动态画面.

①如图2，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是怎样的［1］？

②如图3，旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是怎样的？

追问：通过观察，怎样判定直线与平面垂直？

设计意图：以直观感性的材料作支撑，引导学生观察，体会空间图形在生活中处处可见，教学中不过早地给出结论，让学生从已有的认知上初步建构直线与平面垂直的模型概念，为后面的概念学习做好铺垫.

（2）动手实验，操作确认，让学生经历从具体到抽象的过程

环节2：动手实践演示，提出问题.

问题3  如图4，拿出准备好的（任意）三角形纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖直放置在桌面上，如图5，折痕与桌面垂直吗？（演示不同位置的折痕纸片放置在桌面上.）随着折痕位置的移动，你有什么发现？

问题4  如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的

平面垂直？由折前AD⊥BC，翻折之后，AD⊥CD，AD⊥BD会发生变化吗？由此你能得到什么结论？

设计意图：欧拉曾说过，数学这门科学，需要观察，还需试验.在折纸试验中，会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生交流，回归概念，分析原因.随着折痕AD位置的移动，探求直线与平面垂直的条件.动画展示试验成果，增强学生兴趣，培养学生“用数学”的意识，促使学生的空间想象模型化.

（3）多辨析，多举例，暴露思维误区，经历从模糊到逐渐清晰的过程

环节3：辨析举例中，理解概念.

教学中要让学生自己进行概念的建构，否则对概念的理解只能停留在表面的字眼上.如让学生举例和讲解，从似是而非的概念中甄别，加深对概念的理解，丰富概念结构的内涵.过程中要尊重学生已有的水平，接受学生看待问题的方式，容忍学生的错误.

问题5  如图6，辨析下列命题是否正确？

①若直角三角板的一直角边垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直角边所在的直线与这个平面垂直.

②若一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面.

③如果一直线不垂直于一个平面，那这条直线不垂直于此平面内的任意一条直线.

问题6  如图7，在教室这个长方体模型中，你能找到哪些直线与地面垂直？哪些直线与黑板所在的平面垂直？

设计意图：给出了概念，并不代表学生理解了概念.举例既是对学生原有知识结构的一次冲击和洗礼，也为学生建构新知识体系搭建了桥梁和平台.

（4）问题链设计，让知识理解更深刻，经历从理解概念到掌握概念的过程

数学概念是思维的基础，也是思维的结果.恰当地展示其形成过程，拉长被压缩了的“知识链”，恰当恰时的问题链是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机.

环节4：问题链练习中，巩固概念.

问题7  在立方体ABCD-A′B′C′D′中，

①直线BD与平面AA′C′C是否垂直？

②直线A′C与平面BDC′是否垂直？

③与平面A′BCD′垂直的棱有哪几条？

设计意图：以熟悉的重要模型立方体为背景材料，设计问题链，层层递进，引导学生从不同角度思考，加深对概念的理解和掌握.教师要“沉入教材”细细“揣摩”，发掘问题的内在联系，“顿悟”概念的内涵.

（5）重视回顾检测，完善概念结构

环节5：归纳小结，目标检测，课堂深度拓展.

问题8  ①判定直线与平面垂直的主要思路是什么？②按照怎样的路径展开直线与平面垂直的探究？③判定定理中所蕴含的数学思想方法是什么？

问题9  如图8，长方体AC1中，

①棱与面对角线中，有哪些直线与平面垂直？

②当底面矩形ABCD满足什么条件时，直线BD⊥平面AA1C1C？

③过点C1如何作直线l⊥平面A1B1CD？

设计意图：考查学生对直线与平面垂直判定定理的理解和应用.爱因斯坦曾说，提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题仅仅是技能而已，而提出新的问题，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，标志着科学的真正进步.

3 教学反思

（1）教师要理解学生，了解学生原有知识结构，遵循学生思维发展的合理性.本节课内容相对较少，但蕴含着非常丰富的方法和思想，空间垂直概念相对直线与平面平行要难，要留足时间让学生独立思考和探索.不要急于给出答案，对于学生的独创方法不要全盘否定，要善于发现其中有价值的闪光点.

（2）线线、线面、面面等位置关系是立体几何考查的核心［2］，特别是平行与垂直关系，突出立体几何中“观察、判断、计算、证明”的解决问题的途径.本节课通过观察—实验—猜测—验证—辨析概念—问题链—目标检测等环节，一步步展开探究，教学生学会研究一个几何对象的基本思路，为后续学习直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直积累数学活动经验.

（3）空间图形的学习要引导学生借助于长方体（正方体）这一熟悉的模型，学会“联想”，通过直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等能够较好地认识和理解空间中的点、直线与平面间的位置关系和度量关系，深度挖掘空间点、直线、平面之间的位置关系进而提出问题，可加深学生的体验，加深对概念的理解和巩固.立体几何教学中要引导学生从有图想图到无图想图，形成解决立体几何问题的基本思维模式，这样可以有效提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］姚强.基于发展学生数学核心素养目标的问题设计——以“直线的点斜式方程”教学为例［J］.

中学数学教学参考，2022（19）：22-24.