应用极限思维，助力数学教学

摘 要：随着社会发展，新时代对人才培养提出了更高要求。在此背景下，高中数学作为培养学生逻辑思维与数学思维的重要学科，对我国人才培养具有重要影响。然而，当前高中数学课程存在知识点割裂、过于抽象而难以理解的问题，因此需要引入先进理念指导教学。极限思维强调关联思考，能够帮助学生建立知识网络，全面理解数学概念和原理，是实现质的提升的重要途径。基于此，通过分析极限思维在高中数学教学中的具体应用，探讨如何发挥其应用优势，助力教育教学，满足社会需求。

关键词：极限思维；高中数学；教学

作者简介：张平（1979—），男，江苏省南京市六合区实验高级中学。

简单来说，极限思维就是一种将问题抽象化，在极限条件下分析事物状态的思维方式。在高中数学中，极限思维通常用于研究函数、序列和级数等概念。通过运用极限思维，我们可以更好地理解数学概念的本质特征，进而解决相关问题。本文探讨在高中数学教学中应用极限思维的一些方法，旨在促进学生对数学知识的深入理解和掌握。

一、极限思维在高中数学教学中的应用优势

（一）提升学生对数学知识的认识深度

在高中数学中应用极限思维，体现在运用极限概念分析问题，有助于从多个角度深入剖析数学概念的本质以及概念之间的联系。这可以引导学生跳出思维定式，不再机械地背诵和应用数学公式定理，而是主动运用极限思维，将抽象的数学知识融会贯通。例如，极限概念是微积分知识的核心内容。在极限思维的启发下，学生可以联系已学函数概念，从函数图象、增量变化等多个角度理解极限的内涵，深入领会“极限”在证明解的存在唯一性定理等微积分重要定理中的作用，从而加深对微积分核心概念和重要定理的理解，增强运用微积分解决实际问题的能力。在此基础上，学生可以主动运用极限思维拓展思路，如探索函数性质、解析几何等数学分支中极限概念的应用，从更高的层次研究数学概念之间的关联。这有助于学生构建系统的数学概念体系，全面深化对数学知识的认识。

（二）拓展学生对数学问题的认识广度

极限思维注重发散性思考，鼓励从多个角度审视问题。这一特性有助于培养学生的数学思维，指导他们将更多的数学知识关联起来，从更为广阔的视角分析问题［1］。例如，在运用极限概念研究抛物线时，学生不仅要注意抛物线作为解析几何曲线的性质，还要联系二次函数的知识，从函数图象与极限概念的对应关系入手，探索抛物线的渐近线。这样的思维方式可以拓展学生解决几何问题的思路，使他们在处理类似问题时能够从更全面、立体的角度进行思考，发现更多的解题方法，提高解决数学问题的能力。

（三）增强学生的学习兴趣和自信心

极限思维注重激发学生的思维潜能，引导其主动探索问题。这可以使原本抽象的数学知识变得更加丰富多彩、直观具体。例如，在绘制指数函数图象时，教师可以提供一些生动的参考情景，运用极限概念引导学生从多个角度揭示渐近线对于确定函数图象整体位置的关键作用。这种寓教于乐的导入不仅能加深学生对函数图象的理解，还可以激发他们的学习兴趣，使其主动运用所学知识尝试描绘其他函数图象。同时，成功应用极限思维解决问题，能让学生意识到数学学习并不枯燥，使他们在今后的学习中保持较高的积极性，增强自信心。

二、高中数学教学现状

（一）学生认知角度窄，知识理解不足

在传统的数学教学中，学生往往是被动地接受教师的知识灌输。部分学生对数学概念和原理的理解停留在表面，没有对概念的本质属性形成深入认知。数学知识体系抽象性强，内在联系复杂，学生只有从多个角度审视概念，才能建立完整的概念体系。学生若基础薄弱，看待数学知识的视角就会较为狭窄，难以把握概念之间的关联，导致对知识的吸收和迁移应用能力明显不足。新知识无法与旧知识形成有效衔接，学生最终只能采取死记硬背的学习方法，无法真正掌握知识内涵，理解不够深入。这势必会影响学生学习数学的兴趣，不利于其持续发展。

（二）教学方法死板，难以适应个性化需求

目前，部分高中数学教师为了保证教学进度和学生考试成绩，沿用以教师为中心的传统教学模式，使用大量课堂时间进行灌输式讲解，要求学生逐章逐节地背诵概念、理论和公式。这样的教学安排没有考虑到学生个体之间的差异，忽视了学生的主体地位和认知规律。一些基础薄弱的学生在这种高强度的知识灌输下既无法及时消化新知识，也无暇顾及已学知识的内化运用，最终造成应试教育中“高进低出”的问题。

（三）教学模式运用不当，难以发挥作用

近年来，各种先进信息技术和新型教学模式被引入高中数学课堂，但实际效果有时不尽如人意。一部分原因在于这些模式对学生的自控能力和合作意识要求较高，而教师没有提供有效引导，导致部分能力不足的学生无法真正参与到教学活动中。例如，在开展小组合作学习时，有的学生不习惯集体合作，难以高效利用课堂时间；有的学生容易受到他人言论的干扰，脱离学习主线。这些情况说明，引入新型教学模式需要教师在理念与方法上进行同步更新，为学生提供正确指导，这样方能提高教学效能，否则实际效果会大打折扣。

三、极限思维在高中数学教学中的应用分析

（一）极限思维在数学概念教学中的应用

数学能力的培养需要长期坚持，对学生而言，极限思维的养成并非易事，不仅需要学生自己努力，还需要教师在课堂上为学生提供正确的指导。学生只有准确理解极限思维，将其内化为思考习惯，面对问题时才能灵活应用。部分基础概念中本就蕴含极限思维的求解思路，教师应充分利用极限思维解释相关数学概念和题目，以吸引学生的注意力，简化解题方法，帮助学生加深对概念和知识点的理解，全面提升数学素养和能力［2］。例如，在学习分段函数时，教师可以通过分析极限思维在求解分段函数问题中的应用，启发学生运用极限思维进行推理求解。

以分段函数的极限计算为例：

求函数  在x =1处的极限。

观察这一分段函数的定义域与值域特征可知，x =1这一点并非该函数的断点，所以函数在此处是连续的。根据极限性质，得到x =1处的极限值即为函数在x =1处的函数值。

分情况讨论x=1在不同区间对应的函数表达式：

①当x <-1时，x =1不在此区间内；

②当-1≤x< 2时，x =1在此区间内。

代入函数得到f （1）=3。

求得极限：f（x）=f（1）=3。

通过该解析过程可知，分析极限问题需要运用极限知识，观察函数值与定义域的对应关系，分析断点与连续点，并灵活切换区间进行计算。教师应从极限的角度启发学生进行综合性分析与思考，加深学生对分段函数极限概念的理解，拓宽学生运用极限思维解决问题的视野。

（二）极限思维在几何题中的应用

极限思维的培养是一个循序渐进的过程，不能一蹴而就。教师要做好长期规划，有机结合数学教学各个环节，渗透极限思维。在教授几何题时，教师应引导学生将极限思维作为常用解题工具，逐步养成运用极限思维分析问题的习惯［3］。具体来说，教师可在传授解析几何的基本概念后，设计一系列应用题，引导学生联系已学的极限性质，从函数图象、面积公式等角度，运用极限思维解释几何量与曲线方程的对应关系。

例如，在教授了圆的概念及圆周率π后，教师可以设计一道计算椭圆周长的应用题。椭圆作为拓展的闭合曲线，其周长公式中也包含π这个常数。教师可以先让学生尝试运用已知的圆的周长公式推导椭圆的周长公式，并解释公式中π的来源。学生完成初步探究后，教师可以联系极限，解释当椭圆的短轴和长轴趋于相等时，椭圆近似于圆，椭圆周长公式中π的引入可以看作是用极限方法逼近椭圆周长的一种途径。在教授三角形面积公式时，教师可以设计一个反求底边长度的应用题，要求学生联系已学二次函数图象及面积概念，从极限的角度联想微积分中定积分与曲线围成的面积关系，反向求解题目。这一过程既锻炼了学生在建立知识关联中应用极限思维的能力，也拓宽了学生运用数学知识解决实际问题的视野，实现了多角度启发的作用。

在学习空间立体几何知识时，教师也可以运用极限思维分析实际问题，培养学生的空间思维能力。例如，教师可以给出一个边长为1的正方体模型，在正方体内部放置一个球，然后提出问题：该球在正方体内任意滚动，最多同时接触正方体的三个面，请确定该球的半径范围。针对这个问题，教师首先需要通过提问带动学生联系生活实际，思考球体与正方体接触面情况的极限关系。然后启发学生运用极限思维建立数学模型，从接触条件出发，建立方程组，联立求解，最终确定球的半径范围。在此过程中，学生联系实际情境，运用极限思维建立模型，运用已学知识求解问题，不仅加深了对空间几何和极限思维的理解，也培养了数学意识，实现了多方位的训练效果［4］。

（三）极限思想在数列求解中的应用

在高中数学学习中，发展思维能力远远比单纯记忆概念重要，而极限思维对于拓展数学思维和提高问题解决能力具有独特的优势。教师在讲授数列知识时，应该联系学生的认知特征，设计寓教于乐的应用题，以激发学生的好奇心和学习兴趣。教师应着重解析极限在推导数列通项公式、判断数列收敛性中的重要作用［5］，通过案例启发学生运用极限思维分析问题，找到合适的解题策略。

例题：设数列{an}满足a1=2，且

，求an。

解析：

首先，我们观察数列的递推式：，当n趋近于无穷大时，an和an+1的差值趋近于0。因此，我们可以设an=L。

将an和an+1代入递推式，得到：

解这个方程，我们可以得到L=1或L=-1。由于数列{an}的所有项都是正数，所以L必须是正数。

因此an=1。

在这个例子中，我们可以看到极限思维在数列问题中的应用，它能使抽象知识变得更为直观，有助于学生理清思路，加深对知识的理解。

结语

通过以上分析可知，极限思维为高中数学教学提供了一条崭新路径。极限思维不仅可以帮助学生深入理解数学概念的本质，建立知识体系，还可以拓展学生的思维，激发学生主动学习的兴趣。教师应充分认识到极限思维的重要性，有针对性地设计相关题型进行思维渗透，引导学生在学习过程中主动联系、运用极限思维，形成统一概念与方法的综合分析能力。高中数学教学只有做到知识传授与思维培养相结合，才能实现多维度、高质量的发展，培养适应社会发展需要的人才。

［参考文献］

田大磊.谈极限思维在高中数学教学中的应用［J］.数理天地（高中版），2023（3）：80-82.

李甲银.浅谈极限思维在高中数学教学中的应用［J］.试题与研究，2021（17）：5-6.

杨卫.数学分析思想在高中数学解题中的应用探究［J］.文理导航（中旬），2019（11）：6-7.

张美芳.浅谈高中数学教师本体性知识之极限思想［J］.新课程（下），2018（5）：5.

张正标.数学分析思想在高中数学解题中的应用研究［J］.新课程（下），2018（2）：90.