数学思维方式的内涵特征、价值意蕴及培育策略

基金项目：湖北省2023年教育科学规划一般课题“基于项目式学习的高中数学主题式教學研究”（课题编号：2023GB077）.

作者简介：

刘师妤，女，湖北武汉人，博士，湖北第二师范学院教育科学学院讲师，研究方向：教师教育、数学教育.

（湖北第二师范学院 教育科学学院，武汉 430205）

摘要：数学思维方式就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式。培育学生的数学思维方式是数学教学的根本旨趣，也是适应未来社会发展的必备要求。数学思维方式兼具归纳性与演绎性、渐进性与灵活性、抽象性与具化性等二元辩证特征。在数学问题解决的全过程中，数学思维方式存在转化与化归、简化与优化、发现与创造三方面的价值。要实现这些价值，应做到：采用元认知策略、运用序化策略、使用概括整合策略。

关键词：数学思维方式；内涵特征；价值意蕴；培育策略

中图分类号：G652

文献标识码：A文章编号：20955995（2024）03008307

数学教师有一项常规工作，就是要时常针对数学学习困难的学生进行学习诊断，启发他们用数学思维方式思考问题、用数学符号语言进行表达或交流，以协助他们改进学习方法。对于师范生来说，数学思维方法的训练，不仅可以帮助他们学好数学，更是对他们进行学科教学法的训练，让他们今后也用这种方法去教育和训练他的学生去学好数学。实践也反复表明，数学学习困难学生普遍存在着不良思维定式以及某些思维障碍。思维是人脑对客观世界投射在意识中的映像进行认知的过程，思维亦是人脑对客观事物进行识别、逻辑归纳，从中形成有自身意义认识的过程。一个人的思维方式，在某种程度上决定着他的发展。数学学习的根本目的是发展学生的理性思维。新课程、新教材、新高考、双减等一系列教学变革，其目的都是要彰显学科独特的育人功能，使学生的学科核心素养得以培养，运用学科的能力得到提高，同时，让学习者以“深思”的方式面对文本或实践，让“思维教学”再度被重视起来。因此，培育学生的数学思维方式就显得关键且紧要。

一、数学思维方式的内涵特征

正如克莱因所说，数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。可见，数学思维有着独特的魅力和无穷的力量。数学家与数学教育家按照不同的标准常将数学思维方式分为四类：收敛思维和发展思维（思维的指向是单一方向还是多方向）；逻辑思维和直觉思维（思维是否以每前进一步都有充足理由为其特征）；正向思维和逆向思维（使用分析还是综合的推理形式，具体体现在条件与结论的思考方向上）；创造性思维和再现性思维（思维的结果有无创新，体现在结果的延伸上、方法的再创上或观念的更新上）。之所以照此分类，旨在培养学生思维的广阔性（多方面、多角度思考问题）、思维的深刻性（善于透过现象看本质）、思维的灵活性（具体问题具体分析、善于调整和变化）、思维的批判性（善于质疑、勇于评判，有自己的主张）等思维品质。实际上，并非是数学学科所特有的思维方式，它适用于任何有意义的思维活动。正如经济学家张五常先生所提出的“科学的思考方式”。教师的专业发展不能仅靠悟性，还应有一套适宜的方法论作为指引，这就少不了科学的思考方式。何为科学的思考方式呢？要思考有价值、有意义的问题；要问得明确，且允许有不同答案的可能性；有针对性的转换视角，以衡量答案。具体到数学学科，丘维声先生认为数学的思维方式应是一个全过程：观察客观世界的现象抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，进行探索，通过直觉判断或者归纳推理、类比推理作出猜测；然后进行深入人分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，这就是数学的思维方式。[1]因而，以发展思维为根本旨趣的数学教学活动，更要尝试着找联系、能转换视角、有一定的预见性，好想法才会如雨后春笋般频频涌现出来。

（一）归纳与演绎思维协作

数学思维作为特殊的思维方式，承继了思维的一般特征：间接性和概括性。即能根据某一事物推断或预测、猜想出另一事物的特征或者根据事物的共同特质、本质特质总结出结论。因而数学思维被划分为演绎和归纳两大类。数学思维的发展历程与高低水平也常以此作为主要的衡量标准，可见数学思维存在内在的层次性。一般地，按照逻辑的延展性及严密程度，数学思维可分为三个层次，从低到高依次是分类穷举、归纳类比、演绎推理。归纳类比实现从未知到可能的探索，演绎推理则是将可能变为确定。归纳和演绎是对事物间本质特征的敏锐洞察方式，是出于“找联系”的研究需要。归纳是为了提出合情的猜测或论断，演绎则是为了验证真理性和一般性。归纳和演绎作为数学的思维利器，不仅能有效地组织已有数学知识，还能创生知识。数学知识大厦奠基于数学公理、基础概念和定理，知识本身的发生发展过程（原始学术形态）以及知识的探究学习过程（经加工后的教育形态）都内在阐明了知识组织的基本形式，即从特殊到一般，或从一般到特殊。更为重要的是，经由抽象得到的数学真理具有一般性，在应用到其他具体的系统中就具备了催生新知识的可能。

一个完整的数学思维过程是离不开归纳与演绎的交互协作的，尤其在猜测结果的真理性不明朗时。对证实或证伪工作的选择既体现了归纳与演绎的相对性，又彰显了二者之间的辩证性。数学思维同时兼具“逻辑性”和“直觉性”。“逻辑”的思维特征是：它是一种“无意识”成分很少、指向更窄的思维，是前后一贯的，思维过程分段清楚；而“直觉”思维的特征是“无意识”成分很多，是更多“分散”的思维，迅速而且思维过程简缩了[2]。可见，数学思维方式本质上是一种辩证思维。《孙子兵法》有云“兵无常势，水无常形，能因敌变化而取胜者，谓之神。”教学活动亦是如此，要做深刻的教情分析和精准的学情分析，以合理选用归纳法或演绎法。如开展以“三角形”为主题的教学，可遵循“从一般三角形到特殊三角形”“以等腰三角形、直角三角形的特例学习引致一般几何图形”的学习路径，以呈现一个完整的“抽象数学概念—形成联结数学概念的判断而得出命题—通过推理、论证，形成一个层次分明、结构严密的逻辑系统”的过程[3]。

归纳与演绎从方向上对数学思维特征做了概括，不受局部观念的指引。数学思维方式是基于数学内容包含数学结构的理性思维方式，故是一种整体性思维方式。整体性思维方式要求用全方位的视角去思考知识整体及局部的内在结构[4]。这里的全方位视角指的是整体规划问题解决的全局思路、局部挖掘已有的相关经验、迁移相似问题的研究策略。它们所对应的正是数学思维方式。

（二）渐进性与灵活性结合

数学思维的复杂性还体现在渐进性与灵活性的错综盘结上。由基础逐步推向复杂，是数学思维特征由单一向多样演化、由直觉向分析突破、由常规向创新转变的直接外显形式，如集合论的建立者康托尔利用集合这一“最基本”的研究对象来描述和刻画代数学中的研究对象，奠定了“现代数学”的基础。如果说数学的可信性依赖于其思维的渐进性，那么数学的美妙则主要体现在数学思维的灵活性上。数学思维的灵活性尤为讲究“具体问题，具体分析”，既强调整体性着眼于构建，又突出重要细节问题。

数学思维虽然抽象，但仍呈现阶段化渐变特征。按照皮亚杰对儿童认知发展过程的划分标准：7岁之前主要靠感觉和动作认识世界，能进行简单的思考活动，倾向于以培养感性思维为主；7岁之后能利用符号进行逻辑思考能力，会进行概括和抽象思维了，倾向于以培养理性思维为主。数学思维便是遵循着由感性认知到理性认知的螺旋式渐进过程，否则极易陷入思维停滞或跳跃的窘境，造成思维的混乱乃至逻辑思维的丧失。渐进性数学思维的主动习得，有赖于对数学知识生发逻辑过程的尊崇以及对自然理性的追求。

当学习条件发生改变时，应对的数学思维方式也会随之变化。随着学习者的认知水平的提升甚至跃迁，思维方式的自动化程度越来越高，并逐步优化，从而跳过程式化的认知过程直接选用更为便捷的方法，也即产生了顿悟。顿悟不是凭空产生的，它是渐悟的升华，它由特定的教学环境和“似乎偶然”的教学因素所引发，当积累的学习经验越丰富且知识理解水平越高时，顿悟的效果往往就越好。根据认知灵活性理论，应主动摒除“教条式”的学习方式，注重在复杂问题解决及多维环境中的反省性思考，才能养成思维的灵活性。数学思维的灵活性体现在思维起点的选择以及思维过程的优选组合上，故数学思维的灵活性是基于思维整体性和逻辑性的更高思维品质。需要指出的是，后者也同样遵循渐进过程，只是它把之前更为基础的认知过程充当了归纳素材。因而，对数学对象的理解层次的不同，决定着思维方式的异同。

（三）抽象与具化相融合

数学的基础学科地位是由其高度的抽象性所决定的。通过对现实客观世界中的对象的抽象与概括，数学只研究空间形式和数量关系，为保证抽象过程的自然性与合理性，它又必须借助于具体、生动的现实原型。因此，抽象与具化是数学内在的辩证属性，两者的有机融合也成为数学思维方法的呈现形态。如在数学核心概念的学习中，可通过函数图象、函数解析式或表格等具体实例概括抽象出函数的本质（对应关系），从而达到概念的形成与精致。

抽象与具化相融合的数学说理方式又称数学抽象思维，它以更低级的抽象概念或具体的经验、物体作为推理的载体，涉及复杂概念的理解及思想方法的联系与分析，故而数学抽象思维属于高阶思维类型。而数学教学实践表明，受认知能力和人生经历的影响，学生抽象思维的发展呈现不均衡且不充分的态势，主要表现在对具体直观性素材的过分依赖、对抽象概念与具体实例的人为割裂等。因此，发展数学思维的核心要义就在于数学抽象思维的习得。数学抽象思维具有层次性。一般地，它分为弱抽象、强抽象、构象化抽象和公理化抽象。弱抽象指的是从同类对象中抽离出共性特征，以拓展其概念外延，以获得比原结构更广泛的结构形式。而强抽象则是指通过引入新特征强化原型并得到新概念，即由一般到特例。构象化抽象多是为了数学逻辑发展需要而抽象出来的，如无理数的引入扩充了数系系统，使得实数具有完备性。而公理化抽象则是更高形式的抽象，其对象不再是概念体系，而是更为基础的公理化系统。因而，兼顾数学思维逐级抽象的特征，数学教学要循序渐进，要通过反复的“具体—抽象—具体”言语系统提升学生的抽象思维。

也有观念认为，数学的本质就是抽象。原因有二：一是数学的语言系统是对具体事物变化过程中一般规律的概括与总结；二是数学的思维方法是超越具体事物对其的“数”化、“形”化以及关系化、算法化。

从这一意义上讲，珍视数学思维的抽象属性，是对数学的本质的彰显。

二、数学思维方式的价值意蕴

理性与非理性，作为人类客观存在不可或缺的两种认知方式，主动参与到我们的学习和生活并为知觉和行动提供决策依据。遵照此理，发挥数学思维中的理性与非理性价值作用将有助于数学问题的提出、分析与解决，具体体现在转化与化归、简化与优化、发现与创造三方面。

（一）转化与化归

数学思维方式的价值可经由数学知识教学和数学文化教学体现出来，并落实在数学问题解决的全过程中。问题是数学的心脏（波利亚语），问题是思维的发端，更是创新思维的动力。好的数学思维方式还能将数学问题的本质凸显出来，以体现数学问题教学的价值。

数学问题的解决过程是操作求解系统以趋于目标系統的过程，其本质上是问题得以转化的过程。大众熟知的“数学家烧开水”故事深刻地诠释了转化与化归的巧妙哲学，其核心是将复杂问题简单化、 陌生问题熟悉化、未知问题已知化。 这种转化的能力正是数学思维能力的体现。如等与不等、数与形、正与反、常量与变量、运动与静止间的辩证转化。转化与化归思想方法依赖于既有经验，属于典型的模型思维。模式识别是对数学问题的整体结构以及关键点进行自动判读，进而归结于已有问题模式的信息加工过程，它是模型思想的第一步。具体而言，即是对转化的对象及目标作整体性预判及转化方法上的准备。为了实现有效地转化，往往需要变更问题的内部结构，或变换问题的外部形式。如求过正方体的顶点的异面直线的对数问题，借助于最简单的空间几何体模型——三棱锥就能巧妙地转化与化归，或者处理不规则几何体的度量关系、位置关系也常常需要通过割补等方式建构规则图形。

转化与化归方法的普适性还体现在它对于数学各板块知识的沟通与促进作用。由于信息资源得不到有效的交叉融合，知识板块之间相互割裂而形成的无序状态，仿佛大海中的一个个“孤岛”，被称作“知识孤岛”。知识孤岛一旦产生，数学思维的界域性会受到极大简缩，思维定势也会频繁出现。因此，知识的融会贯通是保证转化与化归方法能得以运用成功的前提条件，也是知识的意义象征及价值体现。如函数与方程思想作为中学数学四大思想方法之一，有效地沟通了函数、不等式及方程三个核心板块，实现了“函数有零点”“函数图象有交点”及“方程有实根”的三个等价条件的自动转化。

（二）简化与优化

借助合理的数学思维工具可以提高分析并解决问题的能力，其涵义是指简化和优化问题解决的全过程。数学的发展离不开简化与优化。数学问题的思考与解决过程本质上就是简化和优化的过程。

数学中的简化包含数学用具的简化、数学语言的简化、人为规定的简化、数学策略的简化等，既符合人们的认知发展需求，又体现了数学求美、求简的精神追求。大数学家罗素称“数学是符号加逻辑”，是对数学简洁之美的精辟概括。数学的简洁美是数学内容和它的简化形式的统一，是人类“思维经济化”在数学上的反映。数学家陈省身也曾言，在数学的世界中，简单性和优雅性是压倒一切的。数学模型的简洁美就是很好的例证。一个正确且恰当的數学模型满足表征形式简单、逻辑关系清晰、求解方法明确等特点，它试图以最少的假设条件、采用尽可能简洁的方法推出尽可能广泛而深刻的结论。数学模型搭建了数学与现实世界的一道桥梁，使数学应用成为可能并普及开来，绝大程度上要归结于它对现实问题的本质抽象和极简表达。李大潜院士也这样评价数学模型：“数学上追求的是最有用广泛的结论、最低的条件代价以及最简明的证明，使学生形成精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。”[5]如数学证明中的“无字证明”（PROOFS WITHOUT WORDS）就是极简的数学模型。无字证明由于其仅用图象而无需文字解释就可达到不证自明的目的，故被视作比严格的数学证明更为优雅且具条理。

简化是为了优化，反过来优化又为了达致简化，两者的这种休戚共生关系彰显出了数学思维的根本旨趣。优化是数学思维逐步深入的必然结果，也是驱使其形成优良思维品质的内在动力。通过对数学问题的优化思考与求解，数学思维层次水平会不自觉地进阶，从而走向深刻与完备。如数学的最优化问题指的是要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，是数学分支统筹学的主要研究内容，更是数学思维应用价值的直接输出与直观呈现。

（三）发现与创造

观照数学思维的显性价值的同时，也应捕捉到数学思维的潜在联络功能，因为是其潜在功能决定了根本价值。作为一种内隐的心智活动，数学思维直接为发现与创造提供心理准备和促发条件。首先是意识上的准备。发现与创造意识源于志趣的驱使以及数学的本身之美的熏染。如卡尔达若在讨论“怎样的两个数彼此相加之和为10，彼此相乘之积为40”的问题时，提出一个重要思想：如果承认虚数的合理性，那么原本没有答案的问题也会有答案。这预示着虚数很有可能会被正式地提出并赋予合法化地位。其次是官能上的准备。思维由大脑主宰，数学思维中理性思维（如符号化、形式化的逻辑判断与推理）和非理性思维（如归纳、类比、联想）分别受左右脑控制，当对两者的协同刺激和控制得当时，就会促进智能的有效提升。如笛卡尔意识到代数研究与几何研究的范畴孤立问题，苦苦思索多年终于运用构造性思维引进了平面直角坐标系沟通了代数与欧几里得几何，创立了解析几何学。再次是技法上的准备。重要数学问题的提出，实质上是思维工具加工处理的结果。如欧拉基对于“哥尼斯堡七桥”现实问题，就运用数学抽象方法提出了经典的“一笔画”问题，从而创立了图论和拓扑学。

知识的价值在于其能被意义建构，故知识的正确性存在一定条件，即知识存在不确定性。发现与创造的不确定性远比数学知识客观存在上的不确定性程度高，因为思维具有复杂性和特殊性。而数学思维的要义则是从不确定性中找寻并验证确定性，如概率论。本质上讲，数学思维是近似确定性的。正如数学知识的不确定性为数学学科发展、教师教学创造和学生高效探究提供了无限可能性[6]，数学思维的近似确定性在积累丰富多变的数学思维素材的同时，为质疑与批判提供了土壤和环境。

三、数学思维方式的培育策略

从思维优化层面培育数学思维方式，其主要路径是建立思维意识与具化的“做数学”过程的对接通道。

在思维的前端和末端，注重思维的由来以及对思维过程的再认知；在思维的运作过程，强调思维的有序性；在思维的输出阶段，注重概括与整合策略的运用。

（一）采用元认知策略

元认知策略是指对学习过程进行计划、监控和调节的抽象层面的学习策略，需要刻意学习。计划策略指明思维的方向性，监控策略确保思维的逻辑性和层次性，调节策略则注重思维的深刻性。在数学解题活动中，人们总是忽视甚至无视最不起眼的部分，好比波利亚《怎样解题表》中的第四个步骤——“回顾与反思”，但它却往往是最核心的部分。没有了对问题的回顾与反思，外显体现在经验不能被推广，新方法难以被发现；内在则是没有对只有认知进行监控、评价，知识理解难以进入深层次。当我们考查学生的数学学习时，不难发现，他们对自己学习活动和结果的自我观察、自我评价、自我监控和自我调节都存在着很大的差异，这种心理现象就是心理学中所说的元认知。元认知知识就是有关认知的知识，即人们对于什么因素影响人的认知活动的过程与结果，这些因素是如何起作用的，他们之间又是怎样相互作用的等问题的认识。

总是采用元认知策略，能一步步接近问题的本质，这是深度思考的魅力所在。傅仲孙先生曾强调理解数学知识的三重境界：知其然，知其所以然、何由以知其所以然，这是对问题本质思考的不断逼近。什么样的问题容易引发深度思考呢？新奇或有一定难度的问题，本身所蕴含的元认知知识较丰富，容易激起学生高度自觉的思维，促使他们在求解前有预判意识，求解中有变换和调整，求解后有评价和优化，这样就有更多机会去体验自己的思维与解法，并经受成功或失败的体验。教学过程中教师模拟数学家思维过程、示范数学家的思维方式可视作是对教师和学生思维活动的元认知探索[7]。此外，通过元认知体验，可以对元认知知识加以修正，能不断发展扩大元认知知识；元认知体验有助于对认知活动进行监控，有利于激活策略与方法，确定新的认知目标和任务，或因困惑、失败的体验而放弃原来的认知目标和任务。

对认知加以认知，从知识应用回到知识起源，是对当今社会“碎片化学习潮流”的抗议与匡正，知识学习、思维发展要经历一个完整的过程，知识体系、思维方式才能重构并趋于完善。

（二）运用序化策略

思维序化指的是思维的秩序化和序列化，前者涉及思维的有序性，后者则注重思维的层次性。数学思维的层次性往往通过有序性进行表达，故我们的研究视点为有序化的思维及表达。波利亚根据生物发生律的思想将数学学习的过程由低级到高级分为三个不同的阶段：（1）探索阶段（直观感知阶段）；（2）形式化阶段（引入符号与定义，使之上升到概念水平）；（3）同化阶段（知识消化、吸收、融汇于学习者的智力结构中），每个人的思维都必须有序地通过这三个阶段，即认知的过程应遵循阶段序进原则。发展思维亦是如此，郑毓信先生提出思维教学的“两阶段理论”——第一阶段帮助学生了解、学习数学思维并改进日常思维；第二阶段通过“数学学会思维”并提升思维品质[8]。实践表明，“从做中学”的教育价值不仅在于沟通了儿童的心理世界与现实世界，而且为儿童提供了丰富的思考材料和可能的经验活动的积累。数学学习的过程还应是学生操作、感知、思考、探索、交流的过程。反过来，数学经验活动的积累，会使思维过程更加清晰、简洁，思维方式更显有序。從思维顺序上看，强调逆向思维的教学价值不仅有助于消弭正向思维的思维定势和片面弊端，而且能形成贯通的思维，让思维流动起来[9]。如对数列综合性质的考查上，一般先考虑特殊数列（等差数列或等比数列）的性质，行不通则再考虑转化为基本量间关系；对圆锥曲线问题的考查，一般优先考虑曲线的定义、几何性质及图形的几何特征，主要是为了避免不必要或繁琐的代数演算。又如估算优先于精算，定性分析优先于定量分析。庞加莱曾指出：数学理解的本质在于对“序”的把握，一个数学证明并不是若个三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多，一旦直觉到这个序，就能领悟到整个推理。可见，我们更应主动去探寻数学学科中对提升学生思维品质（尤其是条理性）有益的东西。

新秩序的建立要以序作保障，新课程理念的深化更要有序为逻辑支撑。有序思想是客观存在于课程体系的整个过程中的。如教学内容的选材与编排方式，教师教学活动的组织与开展，学生认知事物、习得并建构的过程。数学课程内容应符合知识内在逻辑要求，符合学生心理发展规律，每一后继经验总是建立在前面经验基础之上，同时又对有关内容作更深入、更广泛的探讨。从初等数学到高等数学，凡是讲究序进原则，即保证学科的逻辑顺序，又遵从学生的认知发展能力顺序。内容的确定性与不确定性交替呈现，对培养学生的思辨能力、创新能力大有裨益。教学活动也应是井然有序，先后分明：创设问题情景为先，探寻解决办法在后；建构结构框架为先，理解单一知识在后；学生亲历尝试为先，教师干预指导在后；思考问题合情推理为先，演绎论证在后。

（三）使用概括整合策略

诚如怀特海所说：“语言虽不是逻辑思维的本质所在，但如果没有语言，思维的维持、思维的从容恢复、思维的交织为更为复杂的东西、思维的交换，都要大大受到限制。”[10]也即思维的表达是建立于思维基础上并忠实于它的。数学本身高度的抽象性和概括性决定了数学的学习方式应以数学的方式，即以形式化的数学符号语言体系从自然世界（包括不可触摸的观念等）抽象概括出对象间的本质特征。数学的历史展示了数学理论的形成与发展是一个不断概括的过程，这表明概括是研究数学的基本思想方法[11]。蔡金法认为数学概括能力是数学能力的核心，尤其从思维特征进行了深刻的论述[12]。他认为，思维具有概括性和间接性。所谓思维的概括性包含两层意思：第一，能找出一类事物所持有的共性把它们归结在一起，从而认识该类事物及其他事物的关系；第二，能从部分事物相互联系的事实中找到普遍的或必然的联系，将其推广到同类的现象中去。思维的间接性就在于思维需要借助知识经验和加工来反映，而间接反映主要来自概括的反映。因而概括能力是思维的最显著特征。由于数学内容及关系、规律的复杂性，数学学习中的概括亦包含多个方面：对数学符号语言意义的概括；对数学关系的概括；对数学表征形式的概括；对数学思想方法的概括。因此，教师为学生所做的思维示范或思维指导应当分层次展开，并且要教授学生乐于表达、善于表达的策略[13]。

在数学学习过程中，学生普遍容易出现思维混沌、思维中断、思维停滞等障碍，皆是思维连贯性差的表现。思维的连贯性在于知识间的耦合性、转承性。知识学习一定是经历零散到整合的过程，最终以知识网络结构呈现，才能体现知识的价值。整合是关联知识的重要手段，如《普通高中数学课程标准（2017版）》在教材编写、教与学多个层面都强调整体设计、整合处理的重要作用。具体而言，有单元设计、优化单元习题系统等。数学学科内部的整合是以优化数学思维为目标的，而学科间的整合才是以人的全面思维方式为直接旨趣。持学科本位的思维方式是难以应对快速发展的社会节奏的，因而整合学科，贯通各学科思维是思维发展的必经之路。如对于结构的认识，数学上的结构决定了思考的方向，而生物学中的结构决定了功能，化学中的结构决定了性质；又如唯一变量原则是自然科学实验研究的重要控制原则，是研究问题的科学方法，各个学科都应予以特色的诠释。有人说，21世纪应是跨界人才的时代，拥有跨界思维的人才能胜任一切工作。所谓跨界思维，就是大世界大眼光、用多角度、多视野地看待问题和解决问题的思维方式。显然，整合就是培育跨界思维的策略。比如说芬兰的课程体系的整合策略得到了世界各国的一致认可与好评。2016年颁布的新课程要求在不同学科和领域贯彻七种“广泛基础素养”（或“横贯能力”）：思考与学习；文化素养、互动与表达；自我照料与日常生活管理；多元识读素养；信息通讯素养；工作生活与创业素养；参与、授权与责任。同时设置整合生物、地理、物理、化学和健康研究等学科的环境研究课程，并通过整合教学开展学科融合式课程探索，实现学生的跨学科学习。“STEAM 2”（跨学科整合、自主与协作学习、教育AI实现）的教育理念的兴起，试图建立人与科技的高度协同和跨界整合。

总之，我们要综合思维方式与学科特点的方方面面，积极、努力培养科学的思维方式。

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The Connotation Characteristics， Value Implications，

and Cultivation Strategies of Mathematical Thinking Patterns

Liu Shiyu

（Institute of Education Science， Hubei University of Education， Wuhan Hubei 430205）

Abstract：Mathematical thinking is a form of thinking activity that involves thinking and solving problems mathematically. Cultivating students mathematical thinking patterns is the fundamental purpose of mathematics teaching and a necessary requirement for adapting to future social development. The mathematical way of thinking has dual dialectical characteristics such as induction and deduction， progressiveness and flexibility， abstraction and concretization. In the entire process of solving mathematical problems， mathematical thinking methods have three values： transformation and reduction， simplification and optimization， and discovery and creation. To achieve these values， one should adopt metacognitive strategies， use sequencing strategies， and use summarization and integration strategies.

Keywords：mathematical thinking mode; connotation characteristics; value implications; cultivation strategy

（责任编校：吴云汉）