创新场景设置，合理变式拓展

刘苹

摘  要：数列解答题的创新设置，是数列模块知识考查与应用的一个重点与难点，成为新高考数学试卷中的一个热点问题.基于一道T8聯考的数列解答题，从“插项方式”构建一个新数列入手，剖析问题的创新形式与解决方法，合理变式与拓展应用，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：数列；创新；变式；拓展

在新课标、新教材、新高考的“三新”背景下，T8联考是其中一个具有典型代表的国内新高考联盟模拟考试，其模拟试卷具有高度原创性、应用性、创新性等，成为高中学校和教育研究领域专家研究与学习的一个重要平台.

特别是2024届高三第一次学业质量评价数学试题，数列解答题出现在第21题的位置，难度有所提升，同时合理交汇了数列的插项模型、创新定义模型等不同形式，融合不等式及其应用，使得数列问题更加综合与创新，为数列模块的课堂教学、教学研究等方面提供一个重要题源，成为数学课堂教学与学习的一个重要来源.

1  问题呈现

^^（2024届高三第一次学业质量评价数学试题·21）&&

已知数列{an}为等差数列，公差d>0，等比数列{bn}满足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，组成一个新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，…在bk与bk+1之间插入2k－1项{an}中的项，新数列中bn+1之前（不包括bn+1）所有项的和记为Tn，若dn=a2nan+12n-1Tn+2+2，求使得［d1］+［d2］+［d3］+…+［dn］≤2 023成立的最大正整数n的值.（其中符号［x］表示不超过x的最大整数）

此题以等差数列与等比数列为问题场景，条件中通过给出两个数列的首项以及前几项的关系式，第（1）小问中，通过联立方程组的形式来确定相应的公差与公比，比较简捷地确定两个数列的通项公式.而第（2）小问中，基于第（1）小问中确定的等差数列与等比数列，利用数列的插项形式来构建一个新数列，通过递推关系式的给出，以及创新定义的应用来建立相应的数列不等式，为创新应用提供情景，给问题的解决制造更多的障碍，可以较好地加以区分.

2  问题破解

解析：（1）设等比数列{bn}的公比为q（q≠0），依题意可得a1=1，b1=2.

则有2q=1+1+2d，

2×2q2=5（1+2d）+1.

解得d=1，

q=2，或d=-12，

q=12.（舍去）

所以an=n，bn=2n.

（2）新数列中bn+1之前的所有项中，含有{an}中的项共有20+21+22+…+2n－1=2n－1项.

所以Tn=（1+2n-1）（2n-1）2+2（1-2n）1-2=22n－1+3·2n－1－2.

所以dn=a2nan+12n-1Tn+2+2=n2n+112n+3+2=n2（n+1）（2n+3）+2n2n+1=n2（n+1）（2n+3）+2n+1+2（n－1）=n2+2（2n+3）（n+1）（2n+3）+2（n－1）.

下证当n≥2时，0

接下来，给出几种不同的解题方法：

解法1（二项式定理转化法）：由于（n+1）（2n+3）－n2－2（2n+3）=（n－1）2n－n2+3n－3.

而结合二项式定理有2n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn，则当n≥2时，2n≥n+2.

所以（n－1）2n－n2+3n－3≥（n－1）（n+2）－n2+3n－3=4n－5>0.

所以当n≥2时，0

当n=1时，d1=1110，故［d1］=1.

所以［d1］+［d2］+［d3］+…+［dn］=1+2［1+2+…+（n－1）］=n2－n+1≤2023，即n2－n=n（n－1）≤2022，则满足不等式的最大正整数n=45.

解法2（数列通项转化法）：当n≥2时，要证0n2+2（2n+3），即证（n－1）2n>n2－3n+3.

将（n－1）2n视为数列{cn}的前n项和，易得cn=n·2n－1（n≥2）.同理，将n2－3n+3视为数列{en}的前n项和，易得en=2n－4（n≥2）.

于是只须证n·2n－1>2n－4，即证2n－1>2－4n.

又由2n－1≥2>2－4n，得证当n≥2时，0

以下部分同解法1，则满足不等式的最大正整数n=45.

3  解后反思

解决问题的第一个关键点就是确定dn的表达式，而这里的一个解题关键就是有关数列插项问题.处理数列插项问题的前提是：明确插项方式，基本方法是从一般到特殊，由具体项到前n项总结规律；解题关键是：确定项数.

解决问题的第二个关键点就是取整的创新定义，而此时解决问题的重点就是dn的表达式的转化，利用取整的定义，从一个分式中分离出整数的核心思路就是分子向分母“趋同”变化，进而来确定分离出来的分式表达式的取值范围为（0，1），通过数列不等式的证明来转化与应用.

证明以上对应的数列不等式，是放缩与处理的关键所在.而解法1中，欲说明00，其中指数项2n，与nα不属同类不易化简说明，于是“趋同”，即通过二项式定理展开、放缩、指化幂，再进行比较.特别要注意的是，二项式定理应用的逻辑就是“趋同”，就像导数中遇到ex通过切线放缩将ex向xα趋同，基本思维方式是同一个道理.而解法2中，当要证含有指数项的不等式时，可以利用数列视角，将该指数项视为数列的前n项和（或通项），进而转换视角，寻求转机，也是解决问题时比较常用的一种思维方式.

4  变式拓展

依托原问题中的“插项方式”构建一个新数列这一创新思维，合理变化数学思维，通过两个数列中的对应项的“重排”或“删项”等其他思维方法，巧妙构建一个新数列，合理变形与拓展.

4.1  重排变形

变式1  已知数列{an}为等差数列，公差d>0，等比数列{bn}满足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）将数列{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前2024项和T2024.

解析：（1）同原问题，解得an=n，bn=2n.

（2）由于当n≤10时，bn=2n≤210=1024<2024；当n≥11时，bn=2n≥211=2048>2024.

所以数列{cn}中，含有数列{bn}中的项有10项，含有数列{an}中的项有2014项.

所以T2024=2014×（1+2014）2+2（1-210）1-2=2031151.

4.2  删项变形

变式2  已知数列{an}为等差数列，公差d>0，等比数列{bn}满足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若数列{bn}的第m项bm，满足    （在①②中任选一个条件），k∈N*，则将其去掉，数列{bn}剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前20项和S20.

①log4bm=ak；②bm=3ak+1.

解析：（1）同原问题，解得an=n，bn=2n.

（2）若选①log4bm=ak，则有log42m=k，即m=2k，k∈N*，故数列{bn}剩余的项就是原数列的奇数项，相当于剩余的项组成的数列{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列.

所以S20=2×（1-420）1-4=23（240－1）.

若选②bm=3ak+1，则有2m=3k+1，因为m∈N*，k∈N*.

所以当m=2n时，对应的k=4n-13=（3+1）n-13为整数，此时成立；当m=2n－1时，对应的k=4n2-13=（3+1）n-26不为整数，此时不成立.

故数列{bn}剩余的项就是原数列的奇数项，相当于剩余的项组成的数列{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列.

所以S20=2×（1-420）1-4=23（240－1）.

5  教学启示

数列解答题中的创新形式与创新设置多种多样，由传统比较常见的存在性、探索性、应用性与开放性等形式，增加了两个及以上数列中的对应项的重新排列与组合问题，使得问题场景更加丰富多彩，特别是本文中给出的“插项方式”“重新排列（按一定次序）”“删项方式”等的创设，问题场景更加灵活多变，巧妙融入数列的基本概念、基本性质与基本公式，借助两个特殊数列（等差数列与等比数列）的模型构建与应用，同时也融入其他知识，如函数与方程、不等式等，通过合理的数学运算，巧妙的逻辑推理，全面考查数学“四基”以及考生的数学能力，成为高考命题中一个常考常新的基本点.