指向数学抽象素养的教学设计

张贝婷 姜晶 邵秀芹 徐秀英

*基金项目：

山东省专业学位研究生教学案例库建设项目“《教学课程与教材分析》教学案例库”（项目编号：SDYAL21195）;聊城大学研究生课程思政示范课程“数学课程与教材分析”（项目编号：LCUKCSZ2308）.

摘  要：史宁中教授把数学抽象素养的发展划分为三个不同的阶段：一是在简约阶段把复杂的问题简明地表述出来；二是在符号阶段使用符号来表达已经简单化的问题；三是在普适阶段通过假定和推论，构造出一种可以在广义上描述具体事物的特性或规律的模式.以高中数学中《集合的概念》为例，进行指向数学抽象素养的教学设计，包括八个具体步骤：“辨别”“分化”“类化”“抽象”这四个步骤是“简约”阶段，“概括”“形式”这两个步骤是符号阶段，最终实现从“系统”到“运用”的普适阶段.

关键词：高中数学；教学设计；抽象素养；集合的概念

数学抽象是从数量关系上和空间形态上，发现数学教育对象的实质和规律性的研究方式［1］，是人脑對客观事物的数量关系和空间形式的间接、概括的反映.［2］数学教学设计实际上是一个不断改进和完善的动态发展过程.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标（2017）》）中指出，数学抽象表现在获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.［3］

1  《集合的概念》教学分析

1.1  设计理念

充分利用各种探究活动，让学生体验和感受到数学抽象的过程，进而培养他们的数学抽象素养.具体包括：从实际和数学的情境中体验集合的含义和表示的抽象过程，通过具体的、直观的实例分析来确定集合元素的特征，并试图从文字语言到运用符号的形式化描述的转化，从而构造出一个概念的体系和具体的运用.

1.2  课标要求

通过本节课教学，要求学生明确集合中元素的性质，掌握常用数集及专用符号，并能灵活运用；能够用集合中元素的性质，掌握常用数集及专用符号，并能灵活运用.最终学生能够用集合语言来表达相关的数学对象.

1.3  教材分析

这节课内容为人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》第一章第1节的《集合的概念》.它既是初高中的“过渡课”，也是一节学习集合语言的概念课，是学习函数、方程、不等式、立体几何、解析几何、概率统计的基本工具.从教科书知识的安排来看，小学和初中阶段已学习了一些集合，对集合的概念有了初步的感性认识.高中阶段要求学生用自然语言、图形语言、集合语言表述特定问题，并引导学生自主归纳，从而强化过程性，加强学生的数学表达能力，发展他们的数学抽象素养.

1.4  学情分析

（1）高一的学生具有较强的观察、分析、推理能力.他们勤于思考、乐于探究.部分学生具有较高的解题能力，可以对所学到的知识进行正确的归纳，在学习小组的讨论和交流中，能形成对问题的解决思路.

（2）高一学生的归纳、运用数学的意识比较薄弱，抽象思维能力不足.该小节的概念比较抽象，符号性的词汇比较多，需要更高的逻辑思维能力.

1.5  教学目标

（1）理解集合的含义以及元素与集合的“属于”关系；掌握常用数集的记法；学会使用多种表达方式来表示集合的内容，包括自然语言、图形语言和集合语言（列举法或描述法），以便更好地解决实际问题.

（2）体会和学会运用分类与整合的数学思想方法；加强数学抽象素养.

（3）通过自主阅读学习、进行合作讨论，在数学活动中感受探索与创造，体验学习的快乐.

1.6  教学重点、难点

教学重点：集合的基本概念与表示方法.

教学难点：运用列举法与描述法正确表示一些基本的集合；在集合概念的形成探究过程中渗透数学抽象素养.

1.7  教学过程设计

本节课以“情境导入，引出课题—抽象概括，符号表达—形成理论，拓展应用—归纳小结，形成体系—布置作业，课后提升”为主线让学生体验命题的完整抽象化过程，获取基本活动经验.

1.7.1  情境导入，引出课题

探究一：集合、元素的定义

利用多媒体展示图片，如图1所示.

图1  情境引入图片

教师：上面这些图画都给我们什么印象？

学生：许多人或物聚在一起，给我们以集体的印象.

教师：日常生活中，很多的事物给我们产生集体的印象，例如：为人民服务的消防队员；班级；战机空中叠罗汉；猴群；鱼群……这些都是集合.

【设计意图】以生活中的常见事例为课堂教学情境，让同学们对集合、元素的概念有一定的感性认识.指引他们用数学的眼睛去发现并认识这个世界，进而能够在现实生活中更好地发现所学的数学问题.通过这样的数学教学，逐步培养数学抽象素养.

问题1  小学和初中阶段，我们有接触过与“集合”有关的内容吗？与同伴进行交流.

【设计意图】在数学抽象的初始阶段，实现第一个步骤：辨别.从学生的认知基本功开始，在初中阶段，已经学到了几个常用的集合，然后用实例来引出问题.

教师：那么，集合的概念具体是什么呢？让我们看看以下几个例子：

（1）1～10之间的所有偶数；

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；

（3）所有的正方形；

（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；

（5）方程x2-3x+2=0的所有实数根；

（6）地球上的四大洋.

师生互动：教师要给每一位同学充分的时间去思考，用他们自己的方式描述对“集合”的认识，然后根据学生们的发言，归纳出他们对集合的描述性定义.据此基础，教师再让学生阅读并理解教材中集合的定义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，一些元素组成的总体叫做集合.

【设计意图】在数学抽象的初始阶段，实现第二个步骤：分化.根据特定的实例，感受到集合和元素的特征，使学生对抽象的概念有更形象、更具体的理解.同时，在教师的指导下，学生相互交流分析，对比各个实例的共性特征，让学生感受到集合概念生成的过程，培养学生的数学抽象素养.

探究二：集合元素的性质——确定性、互异性和无序性

问题2  下列说法中能够组成集合的是：

（1）比较瘦的人；

（2）我们班里所有的学生.

分析：比较瘦的人这一定义不明确，很难判断某个人是否满足瘦这样子的说法.例如，某个人体重70 kg，如果作为女性就比较胖了，但是作为个子比较高的男性就不算胖，这样的说法表示的对象就无法组成一个集合.

教师：因此，在研究集合时，一个元素要么是集合的元素，要么不是.这个集合里面的元素必须是确定的，这就是集合中元素的第一个性质：确定性.

分析：我们班里的学生可以组成一个集合.我们班每一个学生都有自己的特点，都是互不相同的.

教师：这就是集合中元素的第二个性质：互异性.

教师：描述我们班的所有学生组成的集合时，先说哪一位同学，对我们最后的集合有影响吗？

学生：没有，即使顺序不一样，描述的也都是同一個集合.

教师：这就是集合中元素的第三个性质：无序性.如果组成两个集合的元素相同，则可说这两个集合相等.

【设计意图】在数学抽象的初始阶段，实现第三个步骤：类化.要求学生用自然语言来描述这些元素的概念和特点.

1.7.2  抽象概括，符号表达

在高中数学里，我们要用定理、定义、公式来表达自己的思想，而数学的思维方式和相关的概念是不可或缺的.教师要通过对数学概念的原型、抽象过程和应用过程的分析，使学生能够更好地理解.最后，通过对符号阶段的总结来确定概念体系并加以运用.［4］

探究三：元素与集合的关系

教师：引出元素与集合的从属关系：

我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素.

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）集合A.

练习1  用符号“∈”或“”填空：

0  N;-3  N;0.5  Z;2  Z.

师生互动：练习1部分，先让学生独立解答，再请其他学生评价，最后教师评析.

【设计意图】在数学抽象的初始阶段，实现第四个步骤：抽象.在引导学生类化出集合与元素的概念后，可以自然地揭示出元素与集合的关系的表示方法，并出示常用数集及其记法.

问题3  除了一些特殊集合外，其他集合应该怎样用符号表示比较方便呢？

师生互动：学生思考讨论后，教师给出列举法的定义.列举法：把集合的元素一一列举出来，然后用“{}”括起来.“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程x2-3x＋2=0的所有实数根”组成的集合表示为{1，2}.

问题4  （1）你能用自然语言描述集合｛0，3，6，9｝吗？

（2）你能用列举法表示不等式x-7＜3的解集吗？

【设计意图】在数学抽象的符号阶段，实现第五个步骤：概括.通过问题引导学生从符号语言过渡到自然语言.通过思考让学生认识到：一些集合用列举的方式来表达是非常不简便的，从而引发了认知冲突，引出描述法.

教师：不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所有的解无法用列举法表示.但我们能利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为｛x∈R|x<10｝.

上述的表示方法我们可以归纳为集合的第二种表示方法：描述法.把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x组成的集合表示为｛x∈A|P（x）｝.

【设计意图】在数学抽象的符号阶段，实现第六个步骤：形式（符号表达）.让学生更好地理解自然语言和符号语言的转换，并且体验到如何用描述法来表达.描述法表达集合的关键在于能够精确地反映数学对象的共性.

1.7.3  形成理论，拓展应用

严谨的分析和合理的抽象可以使复杂的问题简单化，这是培养学生的数学抽象能力的一个重要手段.在教科书中，给出了集合的概念和表示方法，就是要在数学抽象的普适阶段实现第七个步骤：系统（形成理论）.经由上述的简约阶段、符号阶段的逐步抽象化，进而加深对概念的认识，形成一个完整的体系.

问题5  对比自然语言、列举法和描述法在表示集合时所具有的特征和适用的问题，并举例说明.

教师：为了巩固所学知识，现在我们小试牛刀一下.

练习2  用适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x3-9=0的所有实数根组成的集合；

（2）一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点；

（3）不等式4x-5＜3的解集.

【设计意图】在数学抽象的普适阶段，在数学抽象中实现第八个步骤：运用（理论实践）.数学抽象能力的高低决定着能否顺利建立数学模型.［5］引导学生总结出各种表示方法的特征，并指出它们各自在表达研究对象方面的优势，注意三种语言之间的相互转化.让学生会根据问题的特性，选取合适的表达方式来表达集合.

1.7.4  归纳小结，形成体系

教师：学习到这里，本节课就接近尾声了，哪位同学来分享一下你的收获？

学生：明确了集合和元素的含义；学会了常用数集及记法；掌握了集合的表示方法.

教师：那老师补充一下，本节课我们还体会和运用了分类与整合的数学思想方法；提高了数学抽象素养.希望同学们在以后的学习中加以运用.

【设计意图】通过让学生自主总结，帮助学生“形成数学方法与思想，认识数学结构与体系”，从而提高数学抽象素养.

2  教学反思

通过一系列探究性的教学环节设计，由具体化到抽象化，由特殊到一般，突出重点，突破难点，在课堂练习中及时反馈，并对其进行正确评价等都对培养学生数学抽象素养和创新意识都起到了非常重要的作用.这节课的数学抽象活动体现了类比、分类讨论、转化、数形结合等数学思想方法.通过对问题情境的观察、归纳和类比，可以在一定程度上积累学生的思维活动经验，从而提高学生的数学抽象能力.通过对“属于关系”的认识，使学生能够从类比和运算中体会到形式的符号化表达.他们在完成这节课程学习后，学会归纳数学对象的共性，并用集合语言加以表示，从而强化了数学的抽象过程.同时，集合列举法和描述法等表示方法，也为以后的韦恩图的学习奠定了基础，使其在集合的表示方法层次上逐渐形成一个体系.

参考文献

［1］ 张金良.解密数学抽象 探索教学策略［J］.数学通报，2019，58（8）：23-26+66.

［2］ 吴增生.数学抽象的认知与脑机制［J］.数学教育学报，2018，27（4）：68-75.

［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 邓翰香，吴立宝，沈婕.指向数学抽象素养的教材分析框架与案例剖析——以人教A版“函数单调性”为例［J］.数学通报，2019，58（10）：33-38.

［5］ 刘乃志.加强三个“过程”培养学生抽象能力［J］.基础教育课程，2021（2）：37-45.