基于工程教育的大学数学教学案例研究

臧顺全 王竹霞

摘  要：以工程教育为目标，首先分析教学与科研的关系，给出教研融合的定积分概念的教学案例。其次针对问题式教学法的优势，在方向导数与梯度教学中通过问题驱动方式加以实施。由于数学建模能培养学生的实践应用能力和科学创新能力，最后给出数学建模能力提升和基于项目驱动的数学建模教学案例。

关键词：工程教育；大学数学；教学案例；数学建模；绩效评价

2018年，教育部、工业与信息化部、中国工程院发布《关于加快建设发展新工科实施卓越工程师教育培养计划2.0的意见》[1]，意见指出要加快建设发展新工科，探索形成中国特色、世界水平的工程教育体系，促进我国从工程教育大国走向工程教育强国。我们发现，大学数学在实际教学中仍然存在不少填鸭式的情况，以学生为中心、以成果为导向和以持续改进为目标的工程教育理念未能充分的贯彻，难以适应新发展的需要。因此，在大学数学课程教学过程中深入践行工程教育理念，开展基于工程教育的教学案例研究具有重要的现实意义。

1 基于教研融合的定积分概念教学案例

培养高素质人才是大学的使命，对高校教师来说教学和科研应该是相辅相成、互相促进的关系。大学数学课程作为重要的基础课程，对培养学生逻辑思维能力和创新思维能力有十分重要的作用。在教学过程中，教师要善于发现课程教学内容和科学研究内容的相关性、交叉点，围绕交叉点对教学内容进行深入分析，找到它们之间的融合方式，设计教学内容和科研方向相融合的教学案例[2]。数学与计算密不可分，科学计算是利用数学模型和先进的计算能力来分析和解决复杂问题的研究工具[3]，科学计算已成为人m们解决实际问题和科学研究的重要工具，新工科背景下更需要对学生进行科学计算思维的培养和计算方法的训练，这有助于培养学生的科研思维和实践创新能力。在《高等数学》和《线性代数》等数学基础课程中，利用泰勒公式、函数的幂级数展开进行近似计算，利用矩形法、梯形法和抛物线法等计算定积分的近似值，二分法和牛顿切线法求非线性方程的近似根，利用高斯消元法解多元的线性方程组，这些内容均体现了科学计算的思想。因此，我们从定积分的近似计算为切入点，与科学研究中的数值计算相融合，设计教研融合的教学案例。

案例1：在定积分的概念教学内容中，积分的思想是分割、近似、求和与极限，它不仅是多元函数积分学的基础，也是数值积分法的核心。我们发现，定积分的思想与教师研究方向微分方程反问题相关性强，适合设计教研融合教学案例。（1）该案例的教学目标是：①理解定积分的概念，会利用定积分的定义计算一些特殊形式的极限；②了解定积分近似计算的思想和信号重建的定积分方程模型求解的思想，会利用线性方程组理论解决一些简单的实际问题。（2）该案例的教学思想是：①以信号重建引入问题，将数学理论与实际问题结合，提升学生学习的积极性；②以微课等形式发布预习内容，为新授内容作铺垫，降低学习新知的难度，有利于学生对新知识体系的自主建构。（3）具体的教学实施过程是：①内容回顾：简单定积分的计算。定积分的计算方法有直接积分法、换元法和分部积分法，由于某些定积分不能直接计算，即原函数无法用初等函数表示。对于这些较为复杂的定积分，往往利用数值积分法和函数展开成幂级数计算定积分的近似值。②问题引入：反问题和实际问题。信号重建是由观测信号复原出原始信号，理论表明信号重建问题可用定积分方程模型描述。根据微积分的知识，有些积分方程可通过求导后转化为微分方程求解，但信号重建对应的积分方程不适合该方法。我们提出如下问题，问题1：定积分怎样定义？如果无法求得精确值，怎样计算近似值？问题2：如何实现信号重建？③定积分的引入背景。引入定积分的经典背景问题是几何和物理方面的，如曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题。教学中，我们引导学生讨论这些问题的解决方法。虽然给出不同背景的问题，但解决问题的思想均是分割、近似、求和和极限，且都得到相同的特殊和式极限。④定积分的定义及应用。依据定积分的引入背景，归纳出基于分割、近似、求和和极限的定积分定义。为了达到学生深入理解定义的目的，需要对定义从以下几方面进一步研究，分别是：定义为矩形法、定义中的两个任意、定积分只与被积函数和积分区间有关和定积分存在的条件。其次，给出特殊的定积分的定义，如函数在上定積分的定义，引导学生进行定积分定义的应用。应用主要是两方面，分别是求简单的定积分和求数列和式极限。⑤定积分的近似计算。定积分的定义往往是由矩形法给出，学生讨论发现定义还有左矩形法、右矩形法、中矩形法、梯形法和抛物线法等，并引导学生给出计算定积分近似值的左矩形法、右矩形法和梯形法公式，通过实例验证这些方法的有效性，同时向学生布置数值实验问题。⑥信号重建定积分方程模型及应用。我们将信号重建问题转化为解线性方程组问题，由线性代数知识，线性方程组可通过高斯消元法求解，但信号重建中的线性方程组往往是不适定的，因此常借助奇异值分解理论加以求解。最后依据所发表论文，向学生展示信号重建的方法和过程。这样的教学设计教师可以将科研问题和学术思想引入课堂中，使课堂不再枯燥乏味，也能激发学生的学习兴趣。我们发现，教学是科研的动力，科研则能提升教学质量。教学和科研如能发挥各自优势、协同育人，就能更好地培养一流人才、成就卓越教师[4]。

2 基于问题驱动的方向导数与梯度教学案例

传统的教学模式往往以教师为主导，学生则是填充式、被动的接受知识，这种教学模式的弊端很多，比如难以培养学生的自主学习能力，学生缺乏对问题的独立思考能力，以及知识综合应用能力和实践创新能力。新工科背景下，践行以学生为中心、教师作指导的教学模式是必然趋势。以学生为中心教学模式是学生主导课堂，教师起点拨和启发的作用，教师通过启发学生的思维，引导学生找到解决问题的思路，激发起学生获取知识的强烈欲望，从而最大限度的培养学生的自主学习能力、独立思考能力和创新实践能力。我们发现，问题式教学法和研究式教学法在大学数学课程教学中更有利于践行以学生为中心的教学理念。问题式学习（PBL，Problem-Based Learning）是以问题为导向的教学方法，它是基于现实世界、以问题为起点、以学生为中心，学生进行自主學习、小组协作和讨论探究相结合的教学方式[5]。下面以高等数学中方向导数与梯度知识点，设计基于问题驱动的教学案例。

案例2：（1）案例背景。偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，但在实际问题中，往往需要考虑函数沿任一给定方向的变化率，以及沿什么方向函数的变化率最大或最小。（2）给出实际问题，提出知识目标。在天气预报实际问题中，要预报某地的风向和风力，需要分析气象卫星云图中气压的变化，必须知道气压在该地沿某一方向的变化率[6]。具体的问题是：①如何描述二元函数沿不同方向的变化率，即方向导数问题；②函数沿什么方向变化率最大，即梯度问题。（3）回顾偏导数知识，引入方向导数。偏导数实质是一元函数的极限，通常认为一元函数极限较多元函数极限简单。多元函数沿任一方向的变化率称为方向导数，为了给出二元函数沿给定方向的方向导数的定义，将引导学生从一、二元函数极限的两个角度考虑问题。通过同学们的交流讨论发现，直接想利用一元函数极限定义方向导数较为抽象，利用二元函数极限定义方向导数更容易理解。在教学中，先给出方向导数二元函数极限的定义，这是很多教材中没有的。接着借助直线的点向式方程和参数式方程，将方向导数二元函数极限的定义转化为一元函数极限的定义，该定义是绝大多数教材直接给出的。我们的处理方式学生更容易理解方向导数的定义，也明白教材中定义的由来。为了对定义有更深入的理解，进而讨论方向导数与偏导数的关系。（4）分析存在条件，给出计算方法。一般地，利用方向导数的定义判定存在性和计算很复杂，我们试图将其转化为与偏导数和全微分的关系。①我们基于向量分解的思想将各个偏导数投影到给定方向上，便可得到方向导数的计算公式。②在证明方向导数存在条件和计算公式时，先引导学生明确问题的起点与终点，经学生讨论分析得到证明的路径为全微分。③通过课堂教授例题与学生课堂练习相结合，对方向导数的计算方法能熟练的掌握。（5）引出梯度概念，研究方向导数的

最大值。由于方向导数计算公式为则可表示为称向量为函数在某点处的梯度，于是有其中为梯度与向量的夹角，这便给出了梯度的概念，及方

向导数与梯度的关系。由上述关系，不难给出方向导数最大值（即函数变化率最大）的结论，分别是：①函数沿梯度方向方向导数最大，即函数增加最快；②函数沿梯度反方向方向导数最小，即函数减少最快。该结论是梯度在现代科技中广泛应用的基础，教学中将通过探热离子移动轨迹和屋中蚊子飞行轨迹等问题展示方向导数与梯度的实际应用。（6）分析几何性质，研究梯度方向。借助多元复合函数的求导法则和多元微分学的几何性质，得到梯度与等值线（面）的切线（平面）是垂直关系，并且指向等值线（面）数值较大的方向。该性质能使学生更直观的理解梯度，同时对气象卫星云图中气压的变化影响风向和风力有一定的了解。（7）总结与展望。对方向导数与梯度的内容加以小结，引导学生归纳出应掌握的内容和关系。最后分析本节知识在地理、医学和军事等方面的应用，引导学生进一步学习的方向。

3 基于项目驱动的数学建模教学案例

数学是科学之母，科学技术中的很多问题通过数学建模方法建立数学模型解决。在利用数学建模解决问题时，首先利用数学方法和专业知识从具体问题抽象出数学模型；其次利用数学理论、计算方法和计算机工具得到问题的解；最后利用得到的解来解决实际问题。在新工科背景下，数学建模竞赛是培养学生的工程实践能力与创新能力的重要载体。数学建模所涉及的知识十分广泛，能力的提升也不是一蹴而就，而是入门—提升—精通的过程。为了实现这样的目标，我们在大学数学基础课程中强化数学实验和数学建模思想，做好数学建模的入门关。在每年的全国大学生数学建模竞赛备战中，通过常规培训和赛前集中培训，提升学生的数学建模能力。在数学建模竞赛中，发现部分学生对数学建模具有浓厚的兴趣，希望进一步提升自身的数学建模能力，指导教师将接纳这部分学生参与相关的科研项目，使学生真正做到利用数学知识解决世界问题。下面给出数学建模能力提升和基于项目驱动的教学案例。

案例3：数学实验到数学建模的进阶之路。（1）数学实验与数学建模简介。数学应用的实质是数学和所研究问题相结合的结果，数学模型是连接数学理论和实际问题的桥梁，数学建模则是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。数学实验是MATLAB、LINGO等工具对大学数学课程中问题的实现和可视化，这是数学建模的起点。（2）基于函数优化的数学实验。先给出求二元函数无条件极值的方法，该方法的核心是求偏导数、求驻点和判定，一、二阶偏导数利用MATLAB中diff函数实现，求驻点实质是解方程组，可以有solve函数实现，在此基础上借助循环和判定便可求得二元函数无条件极值。实际中的很多优化问题要求极（最）小值，由于沿负梯度方向函数减少最快，在给定初值情况下逐步按负梯度方向加以搜索，便可得到问题要求的极（最）小值。基于本思想，我们给出梯度下降法，该方法是最优化中最经典的优化方法之一。最后给出函数优化的梯度下降法实例分析。同时我们发现，基于导数（梯度）的函数优化方法具有变量多、导数（梯度）计算困难和约束条件多等缺点，为应对这些困难可通过现代智能优化算法实现。（3）基于方程求根的数学实验。二分法思想简单，但隔离区间难确定，且只能求隔离区间的一个解。牛顿切线法是用切线代替曲线求方程的近似根，具有思想简单、容易实现的优点，但初始值难确定。热传导、自动控制、光学和量子力学等领域经常遇到超越方程的求解问题，但二分法和牛顿切线法难以求解超越方程，同样这些问题可通过现代智能优化算法实现。（4）基于线性方程组求解的数值实验。首先基于MATLAB工具实现高斯消元法，高斯消元法适合求解矩阵的条件数较小的方程组，但对条件数很大的方程组会得到错误的结果。由于不适定方程组的条件数会很大，若对方程组常数项有微小扰动，它的解会变化很大，因此给出针对不适定线性方程组的正则化方法，最后引导学生对正则化方法进行实例验证。同时引导学生进行信号恢复模型建立，最终转化为不适定方程组的求解问题。（5）介绍数学建模的组队方式、所需知识、所需方法、所需能力和论文撰写技巧。

案例4：该案例基于教学改革研究项目：“双一流”背景下高校优势学科建设绩效评价与提升路径研究。该项目的研究内容之一是：以优势学科为例，分析学科建设的投入和成果，构建符合学科实际的学科评价指标体系和投入―产出绩效评价模型，通过对模型的求解，得到优势学科建设绩效评价结果。通过前期的调研和参考相关文献，我们认为在教师的指导下由数学建模团队进行相关研究是可行的。在项目研究过程中，建模团队建立了基于AHP的学科评估模型，正在对基于学科建设的投入—产出模型加以修正和完善。

参考文献：

[1] 教育部，工业和信息化部，中国工程院.关于加快建设发展新工科实施卓越工程师教育培养计划2.0的意见[Z].教高，2018（3号）.

[2] 祝俊，李禄，李志坚等.“格物致理、慎思笃行”——数学物理方法课程教学改革、创新与实践[J].

大学物理，2022，41（05）：41-46.

[3] 汤涛.科学计算的历史与展望[J].计算物理，2023，40（1）：4-12.

[4] 严纯华.浅谈教学与科研的关系[N].光明日报，2020.9.10（16版）.

• 刘雄伟，朱健民，李建平.问题式课堂教学设计案例分析——以方向导数与梯度为例[J]. 高等教育

研究学报， 2013，（36）：67-70.

[6] 高军安.高等数学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

基金项目：西安邮电大学教学改革研究项目（JGA201912）; 西安邮电大学研究生教育教学改革项目（YJGJ2022035）

作者简介：臧顺全（1978— ），男，汉族，甘肃武山人，硕士，讲师，研究方向：大学数学的教学和研究工作。