数形贯通，相得益彰

朱妍橙

【摘 要】几何直观作为数学的核心素养之一，十分重要。学生在数学学习过程中，应形成几何直观意识和能力，并灵活运用几何直观分析和解决问题，以此提升自身数学素养，而这有赖于教师对学生几何直观能力有效培养。文章基于小学数学特征与几何直观教学特点，主要分析几何直观在小学低年级数学教学中的有效应用。

【关键词】小学数学 几何直观 数形结合 教学应用

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，在数学课程中，应当注意培养、发展学生的数学素养，以适应时代发展对人才培养的需要。而数形结合几何直观，又是发展学生数学核心素养的一个重要举措和必备目标。

一、关注几何直观素养培养是数学新课标的既定要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出11个核心素养：数感、量感、符号意识、运算能力、空间观念、几何直观、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。这些核心素养要点代表着数学课程的特有价值，成为数学课程目标的着力点。教师应当通过日常的教学活动，持续不断地予以落实。而几何直观作为数学新课标所划定的11个核心素养之一，也凸显其重要性。

笔者在小学数学低年级课堂上曾问过学生，你们喜欢什么样的数学题？大多数学生都回答：“最喜欢看图写数，因为一看就会！”“一看就会”让笔者陷入了思考，低年级学生的思维以具体、直观、形象占主导地位。如果能在教学中融入几何图形，建立形与数的联系，帮助学生减少或降低数学认知在知识和能力方面的难度，这便能合理提升小学数学课堂教学质量，这对学生数学素养的发展有着积极意义。对此，笔者做了较深入的研究和思考，并将研习心得付诸实践。

二、核心素养视域下低年级几何直观的教学实践策略

（一）利用几何图形直观感知与理解数与数量关系

在小学数学教学中，利用几何图形直观，可以实现对数量关系的感知与理解。教学中学生进行分析、综合等一系列活动，来解决数学问题，是在“形”的基础上，借助几何图形载体对数学思维的感知和理解过程。

在教学“8的乘法口诀”一课时，不同画图之间的转化，能够更好地促进学生理解，使其思维可视化。如果只注重单一的教学模式，学生的思维只会停留在知识具体化的层面，思维缺乏进阶提升和发展。

一般来说，小学生数学学习活动需要经历“从具体直观到一般抽象、再回归思维具体”的认知思维路径，以提升数学学习的参与效度与学习深度。其间认知操作，经历“实物操作—图像操作—符号操作”的三次转化与提升，符合学生认识事物的规律。

小学生处于形象思维到抽象思维的关键时期，学习较为抽象的内容，特别是理解较为复杂的数量关系时，需要借助具体事物或图形的支持。“数缺形时少直观”，几何直观恰恰能将“形”与数“贯通”，利用直观的“形”呈现抽象的“数”。这既符合小学生的年龄特征，也符合他们的认知发展规律。

（二）关注形的认识和数与形的联系，孕育以形表数

1.以“三角形数”（如图1）展示数与形的直观联系

数的概念源自集合属性的提炼，几何图形是大自然中各种规则形状的提取。教师要引导学生加深对形的认识，加强数与形的联系，孕育以形表数的意识。

2.画图表征小数、分数，实行以“形”表数

在教学“小数的初步认识”一课时，从课堂里呈现的学生作品（如图4）可以看出，他们都是把一个图形看成1元，把它平均分成10份，取出其中的1份，用分数表表示为十分之一元，小数为0.1元。通过画图表示后，学生能充分理解0.1的含义，十分之一是分数单位，而0.1是小数单位。学生在充分理解小数单位后，就能近一步了解其余一位小数都是建立在其图形平均分示意理解上的。学生运用数描述现实生活中的简单现象，以了解日常生活中与数学相关的信息，愿意参与数学学习活动，能够从中懂得数学的作用，体会数学之美。

在教学“分数的初步认识”一课中，教师可以为学生建立初步的分数模型（如图3）。当学生对分数有一定的了解后，教师可以组织“涂纸片”活动，让学生通过折一折、涂一涂加深对分数的含义的理解，这可以为其后续深入学习分数做好铺垫。著名数学家华罗庚先生曾指出，学生对于数学的探索，不应该停留在简单的公式和定理之上，更应懂得如何灵活运用知识，只有深入探索才能实现数学思想的沉淀。因此，小学数学教学更应当注重理论与实践的有机结合。

（三）加强数与形结合，用图来解释数学规律

1.借助图形来探索数字规律

在数学教学中，需要引发学生自己的思考，将抽象的数学语言和直观的图像结合在一起，进而来解答数学问题。图形可以使抽象的问题变得形象，运用图形可轻巧地找出一些文字中未经解释的有用信息，促进问题的解决。在数学教学中，教师要重视运用图形教学，以有效发展学生的数学思维能力，如运用图形显示变化，可以让学生探索相关数据规律，以此提高学生对数学问题的理解、分析和解决能力；引导学生观察相应图形，对比相应的数据，加深学生对数学问题、数学知识的深度理解。

例如：

在理解“单数+单数=双数”时，低年级的学生无法从数的本身去探索，平时要加强构造直观的训练。

例：如果一个很大的单数和一个很大的双数相加，和一定是单数？为什么？

方法1：用各位相加说明。

方法2：用几何模型说明（结论具有一般性），学生看图可以一目了然。（如图6）

2.借用几何图形表示运算的意义与规则

在小学数学教学中，对于四则运算的意义和笔算中的规则，都是可以运用几何图形的示意来表示算理的。当运用几何图示来呈现算理和步骤时，就能给学生以直观的感受，使之从中看清这么计算的意思，理解为什么要这么算，其合理性在哪里。因此，可以说图示是把计算的意义、规则与算理外化，让学生看得见、摸得着。借用几何图形不但可以表示计算的意义和规则，而且可以用它来表示运算的定律和性质。如对于乘法的分配律运用图形外化，能够让学生理解用一个数去乘两个数的和，学生能够通过图形的等积变形或者点子数的不变，理解算式变化规律和性质。如“乘法分配律”包含了加法运算和乘法运算，学生一时无法接受复杂的数字运算，在具体运用时容易发生记忆错乱。教师可以借助几何直观的思想方法，引导学生进行深度学习，让学生在几何直观的背景下观察总结算式之间的规律和关系，进一步加强学生对知识的理解运用。

3.借助图形分析，厘清思路解决问题

借助几何图形让学生直观地显示数量及其数量关系，让学生明确思考对象及其之间的关系。这样学生就能厘清思路，学会分析，有利于其正确把握和解决相关问题。小学数学学习中借助图形分析数量关系，最为便捷的是线段图。它是以线段的长短来区分数量的大小，及其关系的。学生在绘制图形要注意长短大小，以及相关数量间的位置关系和比较关系。

小明爸爸比小明大24岁，今年爸爸的年龄是小明的3倍，爸爸今年多少岁？

错解：不理解3倍与24之间的关系，直接列式24÷3=8

在教学中，学生通过画图解题，他们会呈现出直条图、线段图等见图。

通过画图（如图5），不难分析出题中的24对应的是多出的2份，而不是3份。厘清了这一点，题目也就迎刃而解了。教师在教学中渗透画图时，要熟悉教材，要统筹设计，关注安排学生用几何直观表示思想的学习过程，并且逐渐提高学生画线段图和示意图的水平，激发其用图促进分析思考、进而解决问题的能力。

综上所述，数缺形时少直观，形少数时难入微。“数”“形”贯通是培育几何直观的重要节点和举措。教师在数學教学中，要引导学生高度重视几何直观的意义和价值，要经常在文字语言、符号语言和图形语言之间灵活地切换，以发掘数学对象的几何直观因素，能根据所教内容贴切地创造出抽象知识的直观表达，有意识地要求学生用图清楚地表达交流自己的想法。面对学生的差错，要有意识地退到直观层面引导学生剖析错误原因。本次实践研究，将“形”与“数”进行勾连，构建数学问题的直观模型，有效地锻炼了学生的数学理解能力，启发其数学思维。学生在对数学问题的思考、分析、探索、解决中，不断地提高了自身的学习能力。

注：本文系2021年度南京市重点教研课题“数学表达：指向思维进阶的小学数学课堂变革研究”（编号：2021NJJK14—Z12）的阶段研究成果。