几何直观：实现小学数学深度学习的有效路径

黄旭

［摘  要］ 充分利用几何直观教学可以展示知识的抽象过程，实现学生深度学习。在教学中，教师可以用几何直观呈现学生易犯错误，促进新知理解；用几何直观搭建思维阶梯，完成释疑解惑；用几何直观揭示知识联结，建构知识网络。

［关键词］ 几何直观；深度学习；课堂教学

几何直观由于具有直观性的特征，可以很好地沟通抽象思维与信息思维、抽象的数学知识与直观的图形语言，可以很好地打开学生的思维闸门，促进学生对知识的深度理解。这就需要教师在实际教学中，巧妙运用几何直观教学引领学生自然而然地开展深度学习，从而更好地发展其数学核心素养。

一、用几何直观呈现易犯错误，促进新知理解

对数学学习而言，学生犯错是必然的。因此在教学的过程中，教师应从具体的教学内容出发，精心设计教学过程，并借助几何直观呈现学生易犯的错误，让学生去观察、分析、对比和辨析，从中探寻错因、明晰方法、领悟本质，从而促进其对新知的理解和内化数学本质。

案例1  两位数乘两位数的横式笔算

计算：14×12。

师：在学习新课之前，你们能先试着计算吗？（在教师的鼓励下，学生大胆尝试，教师巡视）

师：谁愿意展示自己的方法？

生1：我是这样计算的。首先，将14看作10与4，将12看作10与2；然后，计算4×2=8，10×10=100；最后，计算8+100=108。（出示图1所示的方法）

师：生1的方法正确吗？

生2：我觉得是错误的。

师：错在哪里？（学生面面相觑，不知如何回答）

师：那我们就先把这个问题放一放，来学习今天的新知吧。

师：经过刚才一系列探索，我们得出了图2所示的计算过程及结果。现在再回到学习前的问题，现在是否有了新的思路？生1，有没有发现你错在哪里？

生1（挠了挠头）：在计算时我仅计算了8与100这两个部分，而40与20这两个部分遗漏了。

生2：只要再添上10×4=40和10×2=20即可。

师：非常棒，你们通过观察得到了结果，下面我们一起回顾一下（课件呈现图3）。

以上案例中，教师利用“错误”这一可生成性资源，立足几何直观，牢牢抓住“两位数乘两位数的笔算”的算理，引导学生在观察、辨析和比较的过程中经历“犯错—剖析—纠错—内化”的过程，让学生直观地感知计算两位数乘两位数需包含的四个部分，从而更好地内化认识。这样的教学过程不仅为学生进一步的探究和学习打下了基础，还培养了学生透过想象找寻数学本质的能力。

二、用几何直观搭建思维阶梯，完成释疑解惑

小学生的思维呈现具体形象的特征，而数学知识的抽象性时常让学生产生困惑。建构主义认为，数学学习不是简单的知识传递，而是学生自己建构的过程。因此，教师不能直接将结果抛给学生，而应借助几何直观为抽象性思维薄弱的小学生搭建思维阶梯，促进学生在亲历知识形成和发展的过程中逐一突破困惑，最终实现释疑解惑，真正理解知识。

案例2  小数乘法

师：经过刚才的计算，你认为一个乘数不变，另一乘数发生变化时積有何变化？请试着通过列举法验证你发现的规律。（经过探索，大部分学生有了一定的认识，但仍然有部分学生产生了疑问）

生1：从之前学习的整数乘法可以得出，积一定会等于或大于乘数。而这里的小数乘法却有了积比乘数小的情况。比如：1.5×0.8=1.2，1.8×0.55=0.99，这是什么原因？

师：这是为什么呢？下面，请围绕算式进行小组合作探索：1.5×1，1.5×1.4，1.5×0.8。

（学生合作学习，教师巡视）

生2：乘法的意义角度：1.5×1表示1个1.5，得到积1.5；相较于1个1.5，1.5×1.4得数大一些；相较于1个1.5，1.5×0.8得数小一些。

生3：我觉得还可以借助图形呈现积的变化规律。

师：可以具体说一说吗？

生3：如图4，1.5×1=1.5可这样表示。

师：1.5×1.4的积与乘数1.5相比如何呢？

生3：进一步作图，该长方形的长不变，还是1.5，宽增加到1.4，可看作1和0.4的和。如图5，将它的面积分为两个部分，据图可列出算式1.5×1.4=1.5×1+1.5×0.4，从而得出“其积比乘数1.5大”的结果。

师：进一步地，1.5×0.8的积与乘数1.5相比如何呢？

生3：继续作图探寻结果，如图6：长不变，还是1.5，宽变成了0.8。经过思考长方形面积可用1.5×0.8表示，相较于图4的长方形减少“1.5×0.2”，从而列式1.5×0.8=1.5×1-1.5×0.2，得数也比1.5小了。

师：看来无论是图形构造或是计算，我们都能得出相同的结论。

生4：我们小组作出了图7，也有了发现。

师：结合图形得出结论，非常棒！其他组可有其他说理的方法？

生5：我们组是借助一个生活例子解释的……

以上案例中，学生借助几何直观开展数学探索，通过图形揭示知识本质，让原本模糊的知识清晰化，让原本抽象的道理形象化，加深了对新知的理解，也深化了自身的数学思维。

三、用几何直观揭示知识联结，建构知识网络

数学的逻辑性决定了知识间的纵横交错，而学生由于自身的思维特征很难融会贯通地理解知识。这就需要教师在教学过程中充分利用几何直观沟通新旧知识的联系，揭示知识联结，促进学生在深度学习中建构系统的、完善的知识网络。

案例3  乘法分配律

师：事实上，乘法分配律在我们学习笔算乘法时已有接触。请试着结合乘法分配律描述图8中竖式计算的奥秘。

生1：首先，把12看作2与10的和；然后，求得2个15是30，10个15是150；最后，求得30与150的和是180。

生2：可以先算15×2=30（2行点子数），后算15×10＝150（10行点子数），最后相加即可。

师：那这个过程是否可以利用横式表示呢？

生3：先将12行分为2行与10行；再将2与10分别去乘15，得出2行的点子数和10行的点子数；最后将这些点子数相加。事实上，不管是横式还竖式，计算道理都是一样，即乘法分配律。（教师出示图9）

实践证明，利用图形不仅丰富了学生的认识，还深化了学生对乘法分配律内涵的理解，更帮助学生架构起多位数乘法与乘法分配律的桥梁，最终实现了新知的完整建构，发展了数学思维能力。

总之，几何直观可以让复杂的问题变得形象具体，教师运用几何直观进行数学教学要适应小学生的思维特征。在数学教学中，教师有必要利用几何直观呈现学生易犯的错误，搭建思维阶梯，揭示知识联结，从而助力学生的深度学习，让学生在数与形的完美统一下感悟数学思想方法，更深刻地理解数学知识内涵和发展数学思维能力。