感知数学符号，深化数学表达

叶妙妙

［摘  要］ 文章以“用字母表示数”的教学为例，借助“唱不完的儿歌”与“年龄关系”引发学生的思考与表达，让学生感知并理解数学符号，培育其数学核心素养。

［关键词］ 符号意识；表达；字母

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出数学抽象能力包括数感、量感与符号意识三类。实践证明，运用丰富的教学活动引导学生感知数学符号，能发展学生的抽象思维。重视学生符号意识的发展和培养，成为越来越多数学教师的共识。规范学生对数学符号的应用能强化他们的数学表达能力，拔高其数学思维，发展其数学能力。笔者以“用字母表示数”的教学为例，谈谈如何从符号意识的角度培养学生的数学表达能力。

一、学情分析：代数表达初探

“用字母表示数”是小学代数知识体系的起点。由于小学生处于抽象思维初步形成的阶段，因此对字母（抽象）表达数字（具象）的学习需要有一个知识探索和认知整合的过程。

课前，教师要求学生以举手的方式回答以下几个问题：a能否表示数？a+20能否表示数？a+20能否代表数量关系？

表1为学生对这三个问题的认识。

从结论来看，虽然所有学生对字母表示数是认可的，但是也有学生认为数与数量关系并不能用含字母的式子来表示。为了进一步了解学生的想法，教师与持否定态度的学生进行了交流，他们认为：“a+20”属于一个式子，要计算完成后才能表示数；同时，算式无法表示数量关系。在问题的引领下，学生的实际认知状态完全暴露，即认知停留在用单个字母表示数上，对含字母的式子的本质不够了解。

二、教学分析与设计：目标导向与认知提升

想要让学生通过对数学符号的感知来提升表达能力，教师在教学目标的设定上就应明确方向，确定好教学重点与难点，设计出符合真实学情的教学范式。基于前述学生认知的阶段和状态，笔者围绕教学目标，设计循序渐进的教学过程，助力学生的认知螺旋式提升。

1. 设定目标

通过对课标要求、教材内容以及学情的具体剖析，笔者确定了本节课蕴含培育符号意识、深化数学表达、发展推理意识等目标。在感知符号深化表达的视角下设定教学目标主要体现在以下几个方面：

（1）通过具体情境揭示用字母表示数所蕴含的价值与意义，让学生感知用字母表示数的重要性、简捷性与普适性，理解含有字母的式子既可以表示数，又可以表示数量关系；

（2）引导学生亲历“具体—抽象”的过程，用字母或含字母的式子将问题描述出来，深化其符号意识和培养其表达能力；

（3）借助生活与数学的联系，引导学生感知本节课学习的必要性，提升其数学表达能力和发展其符号意识。

2. 教学实践

（1）引导学生自主提问，促进自主表达

通过设计师生的讨论互动，引导学生自主提出问题：一方面增强学生的探索兴趣，提高课堂教学效率；另一方面促使学生自主表达，发展创新意识。数学知识本就由生活中的一些事物抽象而来，教师根据学生的认知水平设计一个“唱不完的儿歌”情境，不仅能为课堂教学提供生动的素材，而且能促使学生感知生活与数学的联系，学会用数学的眼光与思维观察生活实际，从而提升知识的应用意识。

教学片段1

师：本节课我们将要探索的知识为“用字母表示数”，当你们看到这个主题时，最想知道的知识是什么？

生1：为什么要用字母表示数？这么做的优点与缺点是什么？

生2：该如何用字母来表示数呢？是不是随便找一个字母都可以？

生3：用字母表示数用在什么地方？

师：很好！提出问题比解决问题更重要，大家在短时间内就提出这么多有价值的问题，值得表扬。

（2）践行以生为本理念，创设探究场景

学生是课堂的主人，教师要让学生通过对数学符号的感知发展语言表达能力，要为学生创造更多参与探究的机会，让学生在思辨中理解知识的特点，感知用字母表示数的便捷与实际需要。创设探究场景促使学生感知用字母表示数是科学合理的一种方法。由此可以看出，“以生为本”理念下的数学课堂更融洽，也更能提升学生的表达能力。

教学片段2

师：带着问题，咱们来听一首儿歌。

教师播放儿歌：1只青蛙4条腿，2只青蛙8条腿……

师：如果从数学的角度来分析这首儿歌，它存在什么特点？

生4：如果一直唱下去，唱不完。

生5：不论有几只青蛙，腿的数量为青蛙数量的4倍。

师：既然这首儿歌怎么也唱不完，那如何用一句话来描述这首儿歌呢？

生6：100只青蛙的腿有400条。

生7：不论有几只青蛙，都有青蛙数量4倍的腿。

生8：★只青蛙有“★×4”条腿。

师：这些表达方式带给你们什么体验？

生9：我认为用具体的数来描述不方便，生7的表達方法虽然能说清楚青蛙与腿的关系，但文字较多，有点烦琐。用★代表青蛙的数量，比较清晰，就是画“★”这个符号需要花点时间。

师：思路很清晰，有没有更便捷的方法来表示青蛙与青蛙腿的数量？

生10：可以借助字母来表示，比如a只青蛙，b条青蛙腿。

生11：可以用一个字母表示，比如a只青蛙，a×4条青蛙腿。

师：这两位同学借助了字母来表示数，究竟用哪种方式更科学呢？

生12：第一种表达方式应用了两个字母来表示两个不同的数，我们无法从这两个字母中发现青蛙数量与腿数量的关系，因此这种方式不合理。

生13：第二种表达方式将青蛙与腿的数量关系描述清楚了，它明确了腿的数量为青蛙数量的4倍。

师：对于式子“a×4”，大家有没有什么疑问？

生14：a×4为一个算式，那么它的结论究竟是多少呢？

生15：a×4就是一个算式，可以用它来表示青蛙腿的数量吗？因为青蛙腿的数量为一个数。

师：针对以上两个问题，谁来解释一下？

生16：a×4的结论究竟是多少，要看a的值，若a=1，a×4=1×4=4；若a=2，a×4=2×4=8；若a=100，a×4=100×4=400……在a不确定的情况下，结论也不确定，但式子a×4确实可以表示数。

（3）具象抽象思维转换，深化概念理解

问题能激发学生的潜能，让学生充分发散思维，联系生活实际说一些可用a×4表达的内容。这不仅为学生提供了表达的机会，更是培育学生发散思维与创新意识的过程。学生感知由具体到抽象，再从抽象到具体的思路历程，深化了对数学符号的理解。

教学片段3

师：通过以上探索，大家都知道a×4可以表示数，除此之外，它还能表示什么呢？

生17：还能代表数量关系，因为a×4中的a不论是多少，都代表了它的结论为a的4倍。

师：数学家华罗庚认为数形结合是探索数学问题的重要方法，因为数缺形时少直观。如图1，若字母a代表了一个数，我们可借助一条线段来表示该数，在此基础上用另一条线段来描述a×4。由此，说一说你们有什么发现？

生18：a的长短决定了a×4的长短，只要明确了a是多少，a×4就明确了。

生19：我发现a不论是多少，a×4恒定为a的4倍，这是一个不变的数量关系。

师：结合我们的生活实际，想一想a×4除了能表示儿歌中青蛙腿的数量，还能表示什么？

生20：比如每辆汽车都有4只轮子，那么a辆小汽车的轮子数量是多少呢？

生21：若a为正方形的边长，那么正方形的周长就是a×4。

生22：若练习本的价格为a，a×4则代表了4册练习本的价格。

师：非常好！实际生活中有很多情况可借助a×4这个式子来描述，大家所提出的生活现象存在什么共性的东西吗？

生23：虽然a×4所表达的具体内容不一样，但是其中的数量关系却一样——均为4倍关系。

（4）多维度拓展练习，巩固抽象认知

数学是一门探索事物间数量关系与空间形式的学科，讲究简洁的数学美。教师要鼓励学生自主分析不同式子是否可以简写，促使其进一步感知数学简洁美的重要性，这对提升学生的思维能力与理性精神具有重要意义。

教学片段4

师：在书写含有字母的式子时，请同学们记住字母与字母之间、字母与数之间的乘号都可以用“·”替代或省略不写，数一般写在字母的前面，比如a×4可用4a或4·a来表示。现在请大家分析，a×b、a×a、m×3、p+4可否简写？该怎么写？

学生一致提出：a×b可简写为ab，a×a写作a2，m×3简写为3m，p+4属于加法运算，不可以简写，含有字母的乘法式子才可省略运算符号。

（5）运用常见模型，引导数学表达

年龄是学生熟悉的素材，以此作为教学资源可增强学生的表达欲。关于年龄的数量关系属于常用的数学模型，不论在哪一年，两个人的年龄差是恒定不变的。以此作为教学素材，可进一步提升学生的数学符号意识，发展学生的数学表达能力，为培育学生的数学核心素养奠定基础。

教学片段5

师：吴丽与李强在聊天，李强说他今年9岁，吴丽表示自己比李强大2岁。聪明的你，能否用字母来描述今后任何一年吴丽的年龄？

生24：李强9岁时吴丽的年龄为9+2；李强10岁时，吴丽的年龄为10+2；若李强的年龄为a，那么吴丽的年龄就是a+2。

师：李强14岁时，吴丽几岁？李强43岁时，吴丽的年龄是多少？

生24：根据a+2可知李强14岁时，吴丽的年龄是16岁；李强在43岁时，吴丽的年龄为45岁。

（6）引入数形结合，助力理解符号

线段图的应用可将数量关系直观地展示给学生，让学生进一步理解数量关系与式子的实际内涵。随着对线段图的观察与分析，学生在充分感知与理解符号的基础上，能够理解量之间“变”与“不变”的关系。

教学片段6

师：在这个年龄关系中，a的值有没有可能为230？由此让你想到什么？

生25：不能，因为人很难活到那个年龄。因此用字母表示数时，还要考虑实际情况，只有符合逻辑的表达方法才准确。因此，在必要时要给字母限定范围。

师：现在我们借助线段图来感知两名学生的年龄，用一条可伸缩的线段代表a，不论a的长短是多少，均在这个数上“＋2”，进一步确认年龄差恒定不變的规律。

（7）畅谈收获感悟，深化数学表达

课堂总结是一节课的重要组成部分。数学的本质就是引导学生在真实的情境中发现、提出、分析与解决问题，这是发展学生“四基与四能”的基础，是培养学生数感和深化表达能力的关键。

教学片段7

师：若吴丽的年龄用字母b来表示，那么两个人之间的年龄数量关系该如何表示？

生26：根据情境条件可知吴丽比李强大2岁，反之则为李强比吴丽小2岁，由此可确定李强的年龄为b-2。

师：咱们一起探索了用字母或含有字母的式子来表示数的问题，这种表示方法具有什么优点？

对于这个问题，学生的回答比较丰富，主要有如下几类：这样表示更简捷；用字母表示数不仅能清楚揭示数的意义，还能将数和数间的关系展示出来；一个明确的数只能描述一种情况，而字母可以表示一类数，范围更广……

师：既然用字母表示数存在那么多优点，是不是就不需要阿拉伯数字了？

答案是否定的，在明确知道具体的数时，还是用明确的数来表示；若描述未知数或一类数，则需要借助字母来表示。因此，字母与阿拉伯数字缺一不可。

师：现在请大家回顾本节课所学内容，说一说你们的收获与感悟，关于课堂伊始所提出的问题有没有得到解决？通过学习，你们还有什么疑惑吗？

三、教学评价：经由反建构的数学场景表达

纵观本节课，学生在课堂伊始自主提出问题，随着教学活动的开展分析并解决了问题。这种教学方式充分体现了学生数学逻辑思维螺旋式上升的过程，促进学生在知识建构和反建构中带着新问题走出课堂，为后续学习奠定基础。本节课体现了数学教学的阶段性特征以及学生语言表达能力线性发展的过程，为后续研究其他问题奠定了基础。

下课前，笔者又一次展示了课堂伊始的问题，此时，学生基本能够准确得出结论，且明白其原理与意义。由此可以看出学生对字母表示数的理解比较到位。

总之，符号意识是小学数学核心素养之一。教师应努力发展学生的数学符号意识，深化其数学表达能力，提升其数学核心素养。