用数学的眼光例谈学生数学抽象能力提升

王琛

［摘  要］ 用数学的眼光观察现实世界是学生核心素养的一个重要方面，抽象能力是数学眼光在小学阶段的主要表现，因此如何提升学生抽象能力是小学阶段教学的重点。研究者结合课例从“抽象出数或图形的能力”“抽象出数量关系的能力”“抽象出图形关系的能力”等三个方面具体分析如何培养学生的数学抽象能力。

［关键词］ 数学的眼光；抽象能力；能力培养；作业设计

抽象能力是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。抽象是指在同类事物中抽取出共同本质属性，而舍弃其非本质属性的过程和方法。人类通过不断的抽象，才获得对自然界的本质认识。正是通过抽象，人们在思想上把个别的东西从个别性提高到特殊性，再从特殊性提高到普遍性，从而真正地、深刻地理解和把握现实世界。

一、理法交融：抽象出数或图形的能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）在第一学段的目标中要求学生“经历简单的数的抽象过程”“形成初步的量感和空间观念”，要求学生在教师引导下把数学学习的对象从具体事物或现象中抽象出来，感悟、理解和掌握相关概念的数学本质，获得数感和量感。在上述抽象过程中，学生的数学抽象能力和数学素养获得发展。

笔者执教“7的乘法口诀”时，详细地开展了“把具体问题抽象成几个几相加的数学问题，写出乘法算式，根據乘法算式编制相应的乘法口诀”的活动。学生能把新旧知识很好地关联起来，并将已有的学习活动经验迁移过来。笔者提出的实际问题是用7个三角形摆1只小船（出示小船图，如图1）。大多数学生是一个一个地数三角形，数出有7个这样的三角形。

摆1只小船用7个三角形就是1个7，用乘法算式表示是1×7=7。由理及法，理法交融，学生初步得出口诀“一乘七等于七”，为了简单易背，优化为“一七得七”的口诀（如图2）。

笔者提出：“摆这样的2只小船、3只小船、4只小船……7只小船，分别要用多少个三角形？”活动中笔者首先让学生在教材提供的表格中，依次计算2个7、3个7、4个7……7个7相加的和，体会3个7比2个7多1个7、4个7比3个7多1个7……7个7比6个7多1个7的特征。

笔者接着提问学生：“算三角形的个数时，你们能想到什么？”以此把学生的思维引导到用乘法计算的方式和乘法口诀编制上来，然后依次抽象出1个7、2个7相加、3个7相加……7个7相加所对应的乘法算式是1×7=7、2×7=14、3×7=21……7×7=49；最后根据上述乘法算式编出7的乘法口诀（如图3）。

在此基础上，笔者引导学生发现一句乘法口诀对应两个乘法算式，这为教学乘法交换律提前做了一个很好的铺垫。

在教学“7的乘法口诀”中，笔者先借助由7块三角形组成的小船图对算理进行有效解释，将连加抽象成“几个7相加”，再转化成乘法算式，最后通过口算过程抽象出乘法口诀，此教学过程真正做到了“理法交融”。

二、条分缕析：抽象出数量关系

数量是对现实生活中事物量的抽象，但是“数量不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更一般的抽象。为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质表现在数量的关系之中”。数量关系的抽象是数学抽象的一个重要内容，是培养学生量感的重要途径。

笔者执教“解决问题的策略——列表”一课时，面对比较复杂的问题情境，首先和学生一起理解情境和题意，再根据情境所提供的信息摘录条件，采取简洁表达、整理列表等策略，试图解决问题。这里体现了学生数学抽象能力的发展水平，不仅设计优化列表策略时体现了数学抽象，而且体现在学生解决具体问题中先抽象出数量关系，然后再进行列式解答。

教师始终围绕“四能”开展教学，先让学生读题并分析问题，感受六个条件比较凌乱，以激发学生有序整理的内在需要，从而落实核心素养的要求。这样，一部分学生从问题想起，整理了四个条件；一部分学生从条件想起，整理了六个条件。在解决例题的第一个问题时，学生觉得从问题想起更简捷，教师重点强化列表整理的好处，体现了本课的一个教学重点。然后，教师出示例题的第二个问题：“杏树比梨树多多少棵？”这个问题让从问题想起列表的学生立即发现自己需要再列一次表。这样的引导让学生领悟需要灵活地使用列表策略，要根据不同情况有针对性地列表，以便更简捷地解决问题（如图4）。

执教“笔算两三位数除以一位数”一课时，笔者利用小棒操作来帮助学生自主理解竖式算理过程，一步一步地对竖式进行算理分析，从而让每一个学生都能从实际问题中容易地抽象出竖式。本课主要安排了由外而内、由具象到抽象、环环相扣的四个教学环节。

一是运用小棒演绎除法算式。教师让学生先开展小组合作，共同完成摆小棒表示46÷2的过程，让学生把这个过程画到学习单上。通过摆一摆、画一画、算一算，能让学生经历由具象到抽象的过程。

二是借助操作照应除法竖式。教师组织学生交流并总结：整捆整捆地平均分，其实是在分4个10；一根一根地平均分其实是在分6个1。其中，先分4个10，每份有2个10，正好分完，对应竖式中2为什么要写在十位上；再分6个1，每份3个1，正好分完，对应竖式中3写在个位上的意义。

三是依据操作整体思考除法。结合分小棒的操作过程，让学生思考：“你打算怎样算46÷2呢？”要求学生仔细思考，把想法写到学习单相应的位置上。

四是联系操作分步理解竖式。利用小棒图联系几种不同的方法，再次深化算理理解。教师结合小棒操作过程，引导学生指出竖式中的两个“4”，分别表示“要分的4个10”和“分掉的4个10”；竖式中的两个“6”，分别表示“要分的6个1”和“分掉的6个1”。如此细致引导，可让每一个学生通过本课的学习都能从实际问题中很容易地联系学具操作，由外而内有序内化，顺利抽象出竖式。这样，就让学生对除法竖式推进理解成为数学抽象思维的必然过程。

该课例题、操作图示和竖式推进抽象过程的投影、板书如图5所示。

不论是“解决问题的策略——列表”一课，还是“笔算两三位数除以一位数”一课，教师要关联学生生活实际进行教学，抽象成小棒图或分析数量关系，让学生抽象出数学算式。这样的一系列过程都是抽象的过程，能充分体现教师在教学中关注培养学生的核心素养。

三、多维进阶：抽象出图形关系

新课标把义务教育阶段几何初步知识的学习内容归纳为“图形与几何”。通过图形与几何的教学，引导学生从立体到平面，从物体到图形，抽象出以图形表征的空间观念，进而抽象出图形关系。小学阶段的图形关系学习主要包括图形本身的性质、图形与图形之间的关系。笔者在图形关系学习专题教研中，一直努力体现数学抽象思想，使之落实于课堂教学活动。

1. 抽象感悟图形性质

图形关系是指图形与图形之间相联系的关系，它建立在单个图形性质的基础之上。因此，图形关系的抽象必须以图形性质的抽象为前提。比如，在“认识角”一课教学时，笔者课前利用学习单，布置学生从生活中角的现象进行初步感知。课堂上出示展开的红领巾、摆放的三角尺、张开的剪刀等，让学生从中描画出角，舍弃材质、颜色、刻度线和开口大小、朝向、边的长短等非本质特征，保留和突出两条边共有一个顶点的张开的图形；让学生感知这就是对角的特征的抽象，从而给出描述性的定义“这些图形都是角，角有一个顶点和两条边”。通过再抽象，引导学生进一步体会“角的两条边是直线”。

2. 抽象理解图形关系

在对图形性质抽象的基础上考量几个相关图形，学生就会进入对图形关系的抽象理解过程。笔者在执教“认识长方形和正方形”时，发现学生知道“正方形是一个特殊的长方形”，但是三年级学生不容易理解这个知识点。因此理解这些图形的关系，学生需要依靠直观操作。在教师的引导下，让学生发挥主体表象和语言外化的表征作用，经过分析、综合、比较等思维过程，逐步抽象概括而成。教师要让学生分别归纳：长方形有四条边，对边相等，四个角都是直角；正方形四条边都相等，四个角都是直角。经过对比和比较观察，让学生思考长方形和正方形相同的地方：长方形的所有特点在正方形中都存在。因此，正方形就是长方形，不过它是一种比较特殊的长方形，其特殊之点在于邻边相等，即长边等于宽边。

3. 抽象表征图形关系

学生作为主体一旦理解了某种图形关系，得到了确认，就会产生一种表达反应的需要。这样学生借助初步的逻辑思维，学会区分和比较两种图形的内涵和外延，会选用合适的形式把这种关系从逻辑的层次上表征出来。比如，让学生把长方形和正方形之间的图形关系运用图式抽象出来，学生往往都会画出大圈（长方形）套小圈（正方形）的集合图。这种图式其本身也是一种简捷的抽象，它表达的含义就是：（在内涵特征上）长方形包含着正方形，而正方形是一种特殊的长方形。

四、指向素养：数学抽象作业设计

数学抽象作为一种学科核心素养，它会作为学生的一种关键性能力反映出来，而且会显示其不同的发展水平。把握和区分数学抽象能力的层次和水平，有助于培养学生的数学抽象能力。教师在平时数学教学研究中要经常收集能体现数学抽象能力素养的例题，通过潜心研究设计、精心编排，以此提升学生的抽象思维能力。

（1）选择合适的字母序号填入括号中。

在下图中，将长方形沿一条直线剪开，不可能得到的圖形是（    ）。

该题答案选A，其考查点是：抽象出图形关系的能力。

（2）计算4.75+3.4=（    ），并说明理由。说明理由时，可以画一画，也可以联系生活中的例子写一写。

该题考查点是：抽象出整数、小数不同计数单位以及用图形表征不同小数的能力。

（3）王大爷把收摘的苹果装在同样大的柳条筐里，一共装了40筐。他从中任意选了5筐称了称，分别净重31千克、29千克、32千克、32千克、28千克。请帮王大爷估算一下，他这次收摘的苹果大约有多少千克？写出估算过程。

该题考查点是抽象出数量关系的能力：①可以归纳5个数的特征是每筐接近30千克；②可以算出所称的5筐平均数是30.4千克，再乘40筐，约1200千克；③可以先算出5筐总数是152千克，它的8倍（40÷5）是1200千克。

类似这样的指向数学抽象能力培养的作业设计，有助于落实核心素养的相关要求，有助于激发学生的兴趣。

五、未来展望：从数学的角度观察世界

知识学习的完整过程，从广义的角度分析可以分为三个阶段，即意义的获得、保持和提取；从狭义的角度来看，知识提取不仅是知识学习，还涉及技能学习。无论是从广义角度，还是从狭义的角度，知识的获得都离不开抽象的过程。学生对新知识的获取会纳入其原有的认知结构，从而形成新的抽象结构。在这个过程中，学生需要对所获得的感性经验进行充分思维加工，这又是一种新的抽象——方法抽象。在学生知识学习与方法学习时，教师要渗透价值观教育。

细研新课标与核心素养的要求，不难发现小学阶段是发展学生抽象能力的起步阶段，也是关键时期：一方面，小学生学习的数学知识、方法都是基础的，这些知识、方法的形成过程蕴含着丰富的数学抽象思想，而且这些知识、方法及其蕴含的抽象思想是能被小学生感悟和理解的；另一方面，小学生思维发展的特点与需求决定其既适应又能促进数学抽象能力的发展。对于教师而言，培养学生的数学抽象能力，促进其从数学的角度观察世界、理解世界、表达观点，需要教师加强意识性、计划性和自觉性，因为它关系到学生核心素养的有序发展，是新时代数学教师的新使命。