探索图形认识教学的基本路径

颜寿春

［摘  要］ “图形认识”是“图形与几何”领域的重要内容之一，是研究图形相关知识的基础。教师通过深入分析教材、学情，联结学生知识断层处、探明学习障碍处，探索“图形认识”教学的基本路径：以知识内在联系为主线，以概念理解为支撑，以逻辑推理为手段，以空间观念培养为核心。

［关键词］ 图形认识；三角形的认识；教学策略

2022年12月底，一名有八年教龄的青年教师借鉴某特级教师成功的教案执教“三角形的认识”，虽然教案非常详尽，操作性也很强，但是教学效果不理想。该青年教师两次教学均以失败告终：学生参与的积极性不高，思维明显跟不上教学节奏。那么这样教学的问题在哪里？除了教师课堂驾驭能力不够强、部分学生基础差等因素，更为本质的原因是什么？

于是，笔者求教于那位特级教师，他的反问让人深思：“你们有没有深入了解学情？有没有认真解读教材？有没有细细体会教学设计中的每个环节是如何落实教学目标的？”“一语惊醒梦中人”，笔者决定结合教材研究、学情分析，追本溯源去探寻“图形认识”教学的基本路径。

■ 一、教材纵横分析，联结知识断层处

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“图形认识主要是对图形的抽象。学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系。”教材遵循螺旋上升、由浅入深的原则，将相关内容分散编排在十二册教材中，学习时间跨度大，导致学生思维容易出现断层。

1. 纵向梳理

纵观人教版十二册教材，笔者发现教材对“图形认识”的编排遵循以下路线：

（1）由“辨认”到“认识”

第一学段的要求是让学生“辨认”图形，积累感性经验；第二学段的要求是让学生“认识”图形，系统地认识图形的特征；第三学段的要求是对图形的性质、定理的证明。因此每一课的图形认识教学教师都要合理把握教学目标，为下一阶段的学习奠定基础。

（2）由“一维”到“三维”

根据学生认知特点，图形的认识从一维到二维、再到三维，从三个维度理解：首先，纵向认识路线是“线—角—多边形—立体图形”，既体现了要求的层次性，又体现了局部到整体的认识过程；其次，横向比较发现教材都从“点—线—面”三个维度去研究某类图形的特征，主要指图形的顶点、边（或棱）、角（或面）三个要素，以及要素之间的关系的研究；最后纵向梳理，有意识地引导学生理解“线—面—体”之间的关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”，从全局角度理解图形间的相互联系。

（３）由“一般”到“特殊”

根据知识点的内在联系和学生的认知规律，教材都是先认识某类图形的特征，再将关键特征特殊化得出特殊的图形。比如先认识四边形的特征，再将边和角的特征特殊化，引出平行四边形、长方形、正方形的认识。

（４）由“表”及“里”

教材基本遵照从生活实物引入—抽象出几何图形—研究特征—引出定义—内涵延伸（如各部分的关系、特性、高等知识）的顺序，逐渐从外部特征认识到内涵研究，再到丰富特征的认识，这就是由表及里的学习路径。

２. 横向比较

笔者选取了现行的人教版、苏教版、北师大版、浙教版四个版本的教材进行对比分析（如表１），探寻其共性和个性，以引发深思、改进教学。四种版本教材都将这一内容安排在四年级下册，主要知识点基本相同，但在整体架构及细节呈现处各具特色。

（１）苏教版教材更加注重与生活的联系

教材将三角形的“高”与生活联系，从具体物体中抽象出高的模型，将抽象的“高”具体化、生活化。

（２）北师大版教材更加强调与四边形的联系

教材将“三角形的认识”放在图形认识的知识体系中，与“四边形的认识”安排在同一单元：先认识三角形，再认识四边形；“高”的认识则后移到五年级下册，安排在“多边形的面积”这一单元，这样的编排有利于学生整体感知，方便进行知识联系、迁移。

（３）浙教版教材更突出图形知识的系统性

教材将角、图形的运动与变换、三角形、平行四边形、梯形的认识安排于同一单元——“几何小天地”，先让学生认识各种多边形图形的边与角，再安排学生进行各类图形高的学习。将三角形的认识置于整个“图形认识”的知识体系中，有利于学生学会迁移、积累关于图形认识的学习经验，为进一步学习其他图形打下基础。

■ 二、学情细致剖析，探明学习障碍处

儿童认识图形遵循一定的认知规律，需要经历从对具体直观图形的认识过渡到对一类图形共同特征理解的过程［１］。学者李晓东博士认为：初入学儿童通过对外界的观察与接触，对几何图形及其概念已经有了初步的了解，但是前科学概念（日常生活概念）多于科学概念。教师教学时要基于学生的心理特征和认知规律帮助学生顺利过渡、减少障礙。

教材内容虽然看似简单，但是学生学起来不轻松。学生的学习障碍是什么？笔者针对本节课的三个知识重点，设计了三个问题来了解学情。

问题１：请你画几个不同的三角形，并说一说什么是三角形？

问题２：欣赏生活中的三角形（由教师提供），说一说为什么这些物体外形都做成三角形？

问题３：请选1个三角形，画出高。

通过分析，笔者发现了学生的学习障碍处。

１. “定义”难以概括

因为有第一学段的感性认知，大多数学生都知道三角形的特征是3条边、3个角、3个顶点，也有部分学生提到三角形是“封闭”图形，可见学生能初步从点、线、面三个维度去研究平面图形的基本特征，但是学生要概括出与课本完全一致的定义则非常困难。因此三角形的定义不适合也没必要让学生去探究，教师要引导学生通过观察、自学、解读，产生认同即可。

２. “特性”理解局限

学生受平行四边形特性的迁移影响，认为三角形的稳定性是指“拉不开”，其深层的本质——三角形3条边的长度确定，形状是唯一的，学生对这一点无法自行领会。这不仅需要学生动手操作，还需要学生与四边形进行对比、分析才能理解。因此人教版教材安排的实验操作很有必要。

３. “画高”操作困难

“画高”一直都是教学的难点。学生对“高”的理解会受到竖直经验的干扰，要突破这一点，就要从它的“根”——画垂线段抓起。学生已经学习了平行四边形的高，这些经验对学生认识三角形的高有很大的帮助，因此教师要让学生先回忆画平行四边形的高，紧扣“顶点”“对边”“垂线段”等关键词，然后从操作、比较中进一步感悟其本质特征。

三、“教”“学”深刻反思，寻找有效突破处

基于以上分析，笔者回顾这名青年教师的两次执教过程，不难发现其失败的主要原因。

１. 忽视联系

该教师没有深入分析教材，认为有特级教师“高大上”的教学设计，不需要重新思考，只要照本宣科就行。这说明，该教师对教材体系不熟悉，對知识前后联系不了解；学生被教师牵着走，缺乏主动探究的欲望，不知道为什么而学，也不知道怎么学，更不知道学了有什么用。教师“为了教而教”，学生“为了学而学”，这其实是部分教师课堂教学中存在的通病。

２. 不顾学情

“三角形的认识”知识点多而抽象，教师没有分析学生在学习上的困难之处，想当然地认为只要按照教学预设上课，学生就一定能掌握相关知识；课堂上当学生出现思维障碍时，教师没有停下来思考原因、调整方案。预设和生成脱节，这样的课堂依然是“师本课堂”。因此，无论教师的教学设计如何新颖、高端，如果没有树立正确的学生观，就会使课堂效果不尽如人意。

针对上述问题，笔者重新调整了教学设计，对课堂教学有了充足的信心。

（１）联系与辨别：感受三角形的地位

师：（如图１，逐个出示多边形）你们发现了什么？

生１：分别是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形……

生２：都有角，都有边，都有顶点。（教师板书：边、角、顶点）

师：这些多边形中边数最多的有吗？（学生摇头）边数最少的哪个图形呢？（三角形）

师：我们继续观察。（播放课件）你们又发现什么规律？

生３：这些多边形都可以分成一个个不同的三角形。

师：所有的多边形都能分成很多个三角形，看来三角形就是所有多边形的基本单位。今天，我们就来进一步认识三角形。

（２）感悟与自学：理解三角形的定义

师：我们来判断图２中的图形是不是三角形？为什么？

生４：第一个不是三角形，因为有1条边不是直的。

生５：第二不是三角形，因为有４条边、４个角。

生６：第三个不是三角形，因为这个不是封闭图形。

师：到底什么叫作三角形？

生７：有３条边、３个角、３个顶点的图形叫三角形。

生８：还应该是封闭的。

师：到底什么是三角形呢？请大家翻开课本仔细读三遍三角形的概念，想一想：这句话哪些词语是非常重要的？

师：3条线段是什么意思？（给线段加着重号）其实就是三角形的什么？

生９：３条边。

（３）操作与比较：理解三角形的稳定性

师：只要你们留心观察生活，其实三角形在我们生活中无处不在。那么在生活中，你们在哪些地方见过三角形呢？（略）

师：接下来，老师给你们看几个三角形，（课件展示生活中的三角形，篮球架的支架、自行车的三角档、电线杆的支架、斜拉索桥等）想想它们为什么要做成三角形的形状？

生１０：三角形不容易变形，也就是具有稳定性。

师：是不是真的具有稳定性？想不想验证？请大家按操作要求动手验证：①每组左边同学的信封里装着2根长棒、2根短棒，每个同学的小棒都是一样的，请你们用小棒拼成1个四边形；②每组右边同学的信封里装着3根小棒，并且每个同学信封里的小棒都是一样长，请你们拼成1个三角形。

师：拼好后，请把你们的图形贴到黑板上。你们发现了什么？

生１１：所有的三角形形状一样、大小一样。

师：像这样，给你3根小棒，并且它们的长度都定了，拼出来的三角形肯定是形状一样、大小一样，我们就说三角形具有稳定性。

师：再来看四边形，你们发现了什么？

生１２：四边形的形状都不一样。

生１３：四边形容易变形。

师：想想看，五边形会不会变形？六边形、七边形、八边形呢？由此我们可以得出什么结论？

生１４：只有三角形具有稳定性。

（４）迁移与延伸：学会画三角形的高

师：我们学习了什么是平行四边形、各部分的名称、特点，还学会了画高。三角形有没有高呢？请你们试着画一画。

师：到底什么是三角形的高呢？请看大屏幕，我们一起来读一读。

师：（画锐角三角形的高）想一想三角形有几条高呢？为什么？（有３个顶点）

师：请你画出三角形的３条高。（学生画高，教师巡视）

教师展示反馈学生画高的情况：观察这3条高，你们发现了什么？（相交）

师：是的，只要我们这３条高画准了，就会刚好相交于一点，如果你画的高没有相交于一点，说明你画得不够准确。

师：（画直角三角形的高）现在，请你们画高。（学生画，教师巡视）

教师展示反馈学生画高的情况：直角三角形有几条高？你们能指出三角板的高分别在哪里吗？（教师指定学生指高）看来，直角三角形的2条直角边就是其中的2条高。

师：（画钝角三角形的高）再来看△ＤＥＦ，请画出它的高。

生１５：展示图３。

师：钝角三角形还有2条高在哪里呢？我们只要把ＦＥ延长出去，从顶点Ｄ向ＦＥ画垂线段……（教师在黑板上画另外两条高）

师：同学们学得真好！现在，请看图４（动态演示课件）。你们发现了什么？

师：像这样，高一样长，底也一样，在数学上就叫同底等高。

（５）反思与沉淀：感受图形认识的研究路径

师：我们从哪些方面认识三角形？学到了什么知识？用了哪些方法去研究？

同样的教学设计，因为有了思考，就有了灵魂，才有了灵动的课堂！

四、“点”“面”结合，探寻“图形认识”教学基本路径

反思这节课的磨课历程，教师从一开始纯粹模仿，到结合学情开展教学，两次参考的虽是同一份教学设计，教学效果却大不一样。

１. 以知识内在联系为主线

一些教师将每一节“图形认识”课作为独立的知识点来教学，因此忽视了知识的前后联系，这样的教学显然是片面的。教师要用联系的观点，把单个图形放在整个知识体系大背景下，让学生学会用联系的眼光看问题，做到活学活用、举一反三。

知识求“联”不求“全”，教师要让学生从联系中构建起对图形的整体认知。这里的“联”有三层含义：一是指图形各知识点之间的联系，如面与面、线与线的关系；二是指图形各要素之间的联系，如面、棱、顶点之间关系；三是指不同种类图形之间的联系，各类三角形之间、三角形和其他图形、平面图形和立体图形之间的联系。

２. 以概念理解为支撑

图形的概念理解是学习图形的特征、特性、关系的基础。在传统教学中教师往往只关注图形各部分的名称和特征这些外显的知识，教学要求也仅停留于此，这样就忽视了学生自主探究和经历概念的形成过程，导致其在后续的学习中难以理解其他相关知识。教师要引导学生对三角形的概念进行深入解读与仔细体会，从联系概念本身入手（如图５），抽丝剥茧、层层递进、步步深入进行探究。基于这样的前提，学生在探究图形相关知识时的学习才是深刻的。

３. 以逻辑推理为手段

图形的特征和各要素之间存在着相互依存、不可分割的联系，如果学生忽视了逻辑推理这一重要手段，对图形的认识将是肤浅而平面的［２］。

比如特级教师任敏龙执教“长方体和正方体的认识”一课时，先通过操作、观察得出面、棱、顶点的特征；然后，通过比较、删选，提取长方体的关键特征，由关键特征推理论证其他特征；再次，借助特殊化的方法推導出两类特殊的长方体，其中一类是正方体；最后，借助点、线、面的运动变化推导出长方体的特征。整个认识过程以推理为主要手段，拓展了学生认识图形的途径，加深了学生对图形本质的理解。

４. 以空间观念培养为核心

“图形与几何”的课程内容是以发展学生的空间观念为核心。教师要以知识与技能的教学为载体，将培养学生空间观念贯穿教学始终。

（１）操作中思考

操作是帮助学生认知的手段，学生动手操作的过程其实是多种感官协同的活动，是促进知识内化的过程。操作的目的是在丰富学生感性认识的基础上，逐步让学生在大脑中形成比较清晰的表象，为学生自由展开想象奠定坚实的基础。比如“长方体的认识”一课，教师提供给学生几组长短不一、数量不一的小棒，让学生制作一个长方体框架，学生要结合长方体的特征进行思考：首先选择哪几组小棒，其次按照什么顺序拼搭，最后思考如果长方体的长（宽或高）变化，会引起哪些面的变化和导致整个长方体发生什么样的变化。这样的操作既能够帮助学生更好地理解图形特征，又培养了学生空间观念。

（２）比较中深化

比如“角的认识”一课，为了突破“角的大小与边的长短无关、与两边叉开的大小有关”这一教学难点，教师可以安排四个层次的比较：第一个层次是教师将一个角的两边变长、变短，比较角的大小变化；第二个层次是将一个活动角的两边张开、并拢进行比较；第三个层次是同时出示两个大小相同、边的长短不同的角，用重叠法进行比较；第四个层次是出示两个同样是３时、但是指针长短不一样的钟面让学生通过简单的推理分析角。

（３）想象中提升

想象是学生获取信息和提炼信息不可或缺的有效途径和必不可少的一种能力，图形的认识更是离不开想象。

参考文献：

［１］ 李晓东. 小学生心理学［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，２００３.

［２］ 任敏龙. 提取关键特征 展开空间推理——“长方体和正方体的认识”教学与评析［Ｊ］. 小学数学教师，２０１７（０１）：２４－２８.