突出数学过程教学 注重抽象能力培养

【摘 要】 数学抽象能力是数学核心素养的重要表现之一，新知识的形成过程和应用知识解决问题的过程都需要学生具备一定的数学抽象能力，同时随着知识学习的深入，其抽象能力将得到进一步的提高与发展.建立数学概念、发现数学规律、用数学模型解决实际问题是发展学生抽象能力的重要过程，教学中要引导学生充分经历这些知识的形成过程.

【关键词】 抽象能力；数学概念；数学规律；问题解决

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）界定了初中阶段的九大核心素养，并进一步提出“三会”目标［1］11.这里的“三会”分别对应着“抽象”“推理”“模型”，从而形成数学的三种基本思想.抽象能力位于九大学科核心素养之首，是形成学生理性思维的基础.加强数学抽象能力的培养是提高学生数学核心素养的使然.

《课标（2022年版）》指出“抽象能力主要指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成概念、性质、法则和方法的能力”［1］8.这句话既明确了抽象能力的内涵，也“暗指”数学抽象是一个“过程”，抽象能力是在过程中形成和发展起来的，这样的过程主要包括两个：知识的形成过程和解决问题的过程.

1 知识的形成过程

数学知识都是在“过程”中形成，学生在学习新知识的过程中需要具备一定的抽象能力.伴随着对新知识学习，也会进一步增强抽象能力.这种“用促”关系始终存在于一个人的学习、工作之中.

教材中的具体内容是培养学生抽象能力的重要“载体”.在教学过程中，向学生展示知识背景、知识形成和相互联系的过程，引导学生在“过程”中获得新知，增强其抽象能力.因此，在新知学习时，教师应特别重视概念的建立和规律的发现过程.

1.1 数学概念的建立过程

数学概念形成的一般过程如图1所示［2］.

从图1可以看出，在概念形成的过程中，数学概念的本质属性是通过“抽象”概括得到的，可见“抽象”是概念学习中的一个关键的活动环节.

抽象原意指排除、抽出，是“看不见，摸不着”的东西.在科学研究中，抽象是指从一类事物表象中舍弃个别、非本质属性，得到共同、本质属性的思维过程［3］.抽象是数学最本质的特征，是数学产生、发展的思维基础.数学抽象是去除其物理属性，通过分析、思考、概括数量与数量、图形与图形等两方面的关系，抽象出本质，并用数学语言加以表征的过程.它是从数量关系和空间形式上揭示数学对象的本质和规律的一种数学研究方法［4］．

基于培养学生抽象能力的角度，建立数学概念的模型过程如图2所示［5］.

在《课标（2022年版）》界定的“数与代数”领域，分为“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题，共有49条具体内容.在这些具体内容中含有大量的数学概念，它们都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的.教学中教师要创设问题情境，学生从问题情境入手，逐步抽象出相关概念.

案例1 一元二次方程概念的建立过程.

方程是重要数学模型，初中阶段的方程主要有一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程等，这些方程都是通过对实际问题的抽象而得到的.《课标（2022年版）》对“方程”提出了“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程”的“共性”要求.对于一元二次方程概念的建立，我们“精选”了三个问题，设计了下面两个环节，以努力体现图1和图2所示的过程：

【问题—模型】

（1）芯片是卫星导航系统的核心组件之一，某芯片上有一片管脚的矩形金属点阵区域，已知矩形点阵的总点数是276，行、列数之和是35.如果设它有x行，则可得方程___________；

（2）某两位数，个位上数字比十位上数字大2，其大小是个位与十位上数字之积的3倍.如果设十位数字为a，则个位数字为     ，所列方程为     ；

（3）如图3，点C是线段AB上的一点，并且ABAC=ACCB.

为了求ACAB的值，我们设AB=1，AC=t，则CB=___________；

由ABAC=ACCB可得AC2=AB·CB，于是可建立方程     .

设计意图

为了引导学生经历一元二次方程概念的建立过程，培养学生的抽象能力以及模型观念，我们设计了上面的三个问题.教学中教师要启发、引导学生认真阅读三个问题的题意，通过思考、分析，明确问题中的已知量、未知量，找出表示题目意义的等量关系.依次列出这三个问题对应的方程：x（35-x）=276，10a+（a+2）=3a（a+2），t2=1-t.

【模型—概念】

（1）把上面三个方程整理成左边按字母降幂排列，右边是0的形式；

（2）这些方程是前面学习过的方程吗？

（3）观察这三个方程，你有什么发现？说说你的看法.

设计意图 在学生通过对第一个环节的三个实际问题思考后，已经建立起三个方程.本环节在此基础上提出了三个小问题：问题（1）要求学生对这三个方程进行整理，学生不难整理成下面的方程：

x2-35x+276=0，   ①

3a2-5a-2=0，②

t2+t-1=0.③

整理后，学生会发现这些方程与以前所学方程（一次方程、方程组、分式方程）是不一样的，从而得到问题（2）的答案，这为后面引入一元二次方程奠定了基礎.对于问题（3），学生通过观察方程①②③，将会发现它们的诸多特征，教师启发学生在数学学习中关注“事物”的本质属性，继而进一步思考、归纳出三个方程的本质属性：（1）方程只含一个未知数；（2）未知数的最高次数都是2；（3）方程两边都是整式.至此，学生能类比一次方程的概念等，归纳出一元二次方程的概念及一般式.

学生在上述问题的引导下，首先对过程材料形成感性认知，然后通过抽象、概括、归纳等活动，找出事物的本质、形成概念.

《课标（2022年版）》针对教材编写，提出了“素材选取要贴近学生的现实、真实可信”的建议，明确要求“素材的选取应尽可能地贴近学生的现实，以利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，发展抽象能力、推理能力等”［1］94.在数学概念的教学中，教师一方面应认真研读教材，充分理解编写意图，还要阅读与本概念有关的教学论著；另一方面要清楚数学概念常用的定义方式，确定本概念究竟要采用的哪一种定义方式.在此基础上，对教材内容进行二次加工处理，设计出系列问题，以此引导学生经历概念的建立过程，在这个过程中，不断提高学生的数学阅读理解能力、抽象能力、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，进一步感悟模型思想，不断提高学生的数学核心素养.

1.2 数学规律的发现过程

我们不妨把《课标（2022年版）》中给定的数学定理、公式、性质、法则、运算律等统称为“数学规律”.在学生对这些规律的探索发现过程中，其抽象能力也将得到的培养和提升.因此，在规律的教学中，要引导学生进行探索、发现、归纳、概括的过程.

案例2 （苏科版教材）有理数的乘法法则的发现过程.

为了鼓励学生自己探索、发现有理数的乘法法则，我们设计了下面的问题，引导学生通过观察、思考、归纳，自主概括有理数的乘法法则.

【观察发现】

（1）水位每天上升4cm，3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少？

（2）水位每天下降4cm呢？

设计意图

为引导学生探索发现有理数的乘法法则，教科书以“汛期水位”为背景，创设了两个探索活动.在探索活动中，教科书结合有理数的意义，规定今天的水位记为0，水位上升记为正，水位下降记为负，时间规定今天之后记为正，今天之前记为负.在这样的规定后，引导学生类比算术的乘法意义列出算式.然后给出下面的水位标尺图.

学生通过观察上面的两个图形（图4、图5），直观得到四个算式的结果，从而得到下面四个算式：

（+4）×（+3）=+12；（+4）×（-3）=-12；

（-4）×（+3）=-12；（-4）×（-3）=+12.

（3）写出表示1天后、2天后、1天前、2天前的水位变化的算式.

（4）水位每天上升0cm，3天前的呢？

（5）水位每天下降4cm，0天后的呢？

【归纳总结】

（6）观察上面的一类算式，针对“两个有理数相乘时”的情况，回答下面问题：

①两个因数的符号有几种情况？

②两个因数同号，积的符号与因数的符号、积的绝对值与因数的绝对值之间分别有什么关系？两个因数异号呢？

③如果有一个因数是0，积是多少？

（7）交流、概括有理数的乘法法则.

设计意图 目的在于引导学生在认真观察根据前面四个探究活动得到的四个式子的特点，分别就两个因数都是正、一正一负、一负一正及两个因数都是负数相乘的情况，引导学生发现积的符号与两个因数的符号，积的绝对值与两个因数的绝对值之间所存在的关系.问题（4）（5）分别是一个乘数为0的情形，借助水位标尺图直观地得出负数与0相乘也得0.综合以上情况，教科书让学生猜测出有理数乘法法则.

学生在完成上述问题的过程中，经历了特殊到一般、具体到抽象的认识过程，不仅能探索出有理数的乘法法则，而且有助于学生探究发现能力、数学抽象能力、语言表达能力的提升，还能感悟到数形结合、分类、转化的思想方法.

事实上，大部分数学规律都可以让学生在数学化的过程中自主获得，在探究新知的过程中不知不觉地提升了学生的数学抽象能力.

2 解决问题的过程

《课标（2022年版）》指出，“数学的应用渗透到现代社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展”［1］1.“数与代数”领域的许多内容都来源于生活，又服务于生活.

在“数与代数”领域的学习中，教师要善于创设一些实际问题，学生在学完各种具体知识后，经历问题情境、建立模型、求解验证的过程，并在根据“问题情境”中数学问题建立代数模型的过程中，形成与发展抽象能力.这里的代数模型主要指：

2.1 方程模型

前面的案例1虽然是一元二次方程概念的建立过程，从案例设计的问题看，抽象的对象是三个具体方程，它们都是从实际问题引入的，建立具体方程的目的是为了求解实际问题.所以一元二次方程方程概念就是为了解决生产、生活的许多问题而引入的.在学习和生活中，需要建立各种具体方程解决的“问题”比比皆是.

2.2 不等式模型

《课标（2022年版）》对不等式的要求是“能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题”［1］56，在这个过程中，能培养学生建立“不等式”模型解决实际问题的能力，发展模型观念.

案例3 平板的标价在什么范围内？

某型号的平板进价为1800元/个，商店按照标价的八折出售，所得利润仍不低于实际售价的10%，你知道每个平板的标价范围吗？

解析

设每个平板的标价为x元，则售出一个平板的利润不低于（10%×80%x）元.根据题意，得80%x-1800≥10%×80%x.解这个不等式得x≥2500元.

設计意图

以“不等式”为载体，培养学生的应用意识，形成模型观念.学生在解答本题的过程中，进一步认识到现实世界存在的数量关系中，既有等量关系，也有不等量关系.不等式是揭示不等关系的模型，通过建立不等式模型可以解决实际问题.在用不等式模型解决实际问题的过程中，培养学生的模型观念、抽象能力以及应用意识.

2.3 函数模型

函数是“数与代数”领域的重要内容，也是重要的数学模型.初中阶段主要学习三种函数：一次函数、反比例函数及二次函数.《课标（2022年版）》对“函数”主题的课程内容都提出了建立函数模型解决实际问题的要求，例如“能用一次函数解决简单实际问题”“能用反比例函数解决简单实际问题”“会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题”［1］57.

在学生掌握了各种函数的性质后，教师都要设计一些实际问题，引导学生把实际问题抽象、转化为数学模型，然后通过解答数学模型达到解决实际问题的目的.

案例4 （苏科版教材）铅球从抛出到落地走过距离问题.

运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为53m，抛出后，铅球行进的路线是一段抛物线，行进时距离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到落地走过的水平距离.

简解

建立如图6所示的直角坐标系，以点A所在的铅垂线为y轴，y轴与水平地面的交点记为点O，射线OA的方向為y轴的正方向.铅球的落地点为C点，直线OC为x轴，射线OC的方向为x轴的正方向，x轴、y轴均以1m为单位长度.由题意可知，抛物线的顶点B的坐标是（4，3）.抛物线的表达式为y=a（x-4）2+3.

这里，y表示铅球运行时离地面的高度，x表示铅球沿水平方向运行的距离.

把x=0，y=53代入y=a（x-4）2+3，解得a=-112.抛物线的表达式为y=-112（x-4）2+3.

令y=0，得-112（x-4）2+3=0，解得x1=-2（不合题意，舍去），x2=10.

所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.

设计意图 本题从学生的生活现实出发，以“投掷铅球”为背景，体现了数学、数学内在知识与现实世界中的现象之间的联系.解答时，需要学生先根据已知条件，建立二次函数的数学模型，利用待定系数法，求出此函数的表达式，然后将问题转化为解方程加以解决.本题的解答过程综合运用了建立坐标系、确定二次函数的表达式、二次函数图象、二次函数的最大（小）值和解一元二次方程等知识.

本题在学习了二次函数的性质之后，引导学生进行解答，可培养学生的抽象能力、应用意识，促进模型观念的形成.解题的关键是建立二次函数模型和一元二次方程模型.这样的问题有助于学生阅读理解能力、运算能力、抽象能力的培养，也有助于培养应用意识和模型观念，还有助于学生进一步感悟到数形结合的思想.

从以上的论述看，在数学学习中，学生需体验知识的形成过程和解决问题的过程，不经历“过程”就没有培养抽象能力的“机会”.教学中，教师认真研读《课标（2022年版）》和教材，精心创设学生自主学习、应用知识解决问题的过程，在经历过程中不断提升学生的抽象能力，进而提升数学核心素养.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：7.

［2］曹才翰，章建跃．数学教育心理学［M］．3版．北京：北京师范大学出版社，2014：112.

［3］李树臣.加强抽象推理模型教学，落实数学教学核心目标中［J］.中学数学杂志，2017（4）：11-14.

［4］张金良.解密数学抽象，探索教学策略［J］.数学通报，2019（08）：23-26，封底.

［5］刘春艳，冯启磊.基于数学抽象的概念形成：模型与案例［J］.数学通报，2021（06）：20-25，29.

作者简介 朱月红（1970—），女，江苏泰州人，教育硕士，江苏省特级教师;主要从事初中数学教育教学和研究.