利用代数化推理 证明三角形全等

【摘 要】 全等三角形是初中平面几何重要的内容之一.文章主要讨论三角形周长、面积、角平分线、中线、高线等性质之间的相互关系，提出命题，用代数法探究三角形全等的条件.

【关键词】 全等三角形;代数推理;余弦定理

1 代数推理的必要性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求适当加强代数推理，代数思维可以被看作四种核心实践：对数学的结构与关系进行一般化推广、表示、论证与推理［1］.历史上“先算术，后代数”的中小学数学课程与教学结构几乎没有留给学生多少的认知空间，去适应从小学和初中阶段多年的计算训练到正式的高中代数的抽象概念之间的蓦然转变［1］.因此，重视代数推理，能够有效的缓解高中代数所带来困难，提高运算能力，更深刻的理解平面几何问题.笛卡尔曾设想：“把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程.”

2 全等三角形判定

全等三角形的判定是从三角形的基本元素各边及各角的相互关系入手，而在全等三角形性质中，对本身而言，有周长相等，面积相等；三角形中元素：对应边相等，对应角相等；其他特殊线段：对应边上的高线、中线、角平分线也都相等；那三角形的这些性质能否构成全等三角形呢？是值得探究的.本文从该角度入手进行探究.本文着重介绍全等三角形的代数证法，发现代数证法具有一贯性.将几何问題代数化，数形互助，渗透数形结合思想.

3 命题证明

本文先从特殊三角形——直角三角形进行探究，得到如下命题：

命题1 斜边及斜边上的高对应相等的两直角三角形全等.

如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，CD，C′D′分别是Rt△ABC和Rt△A′B′C′斜边上的高，且CD=C′D′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

证明 设BC=a，AC=b，B′C′=a′，A′C′=b′，AB=A′B′=c.

由题意可得：a2+b2=c2=a′2+b′2，ab=a′b′，则（a+b）2=（a′+b′）2，所以a+b=a′+b′.

同理：a-b=a′-b′.所以a=a′，b=b′，即证.

该题的几何证法有很多，这里将不一一作说明，斜边及其该边上的高相等能得到是面积相等，再利用直角三角形特有的定理——勾股定理实现以数解形.转化成二元问题，来解直角三角形.因而转化成两正数积定，两正数平方和定，则两正数定，从而三角形唯一确定，简单快捷的解决了该问题.拓宽了学生的思维宽度，实现一题多解，让学生充分体会数形结合思想的妙用.由该证法可得到：

命题2 斜边和面积对应相等的两直角三角形全等.

因此由特殊到一般，可想到对于一般的三角形，需要满足怎样的条件，得到全等三角形呢？

推论1 一边及对角对应相等且该边上的高也相等的两个三角形全等.

如图2，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，CD，C′D′分别是△ABC和△A′B′C′边AB和A′B′上的高，且CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明 由命题1的证法发现一边及其该边上的高对应相等的作用，就是两三角形的面积相等，于是对于一般的三角形，仍然可以得到面积相等.

可设BC=a，AC=b，B′C′=a′，A′C′=b′，AB=A′B′=c.

由题意可得：12absinC=12a′b′sinC′，则ab=a′b′.

由余弦定理得：cosC=a2+b2-c22ab=a′2+b′2-c22a′b′=cosC′，则a2+b2=a′2+b′2，又转成命题1的证法，即证.

同理，也能得到

推论2 一边及对角对应相等，且面积也相等的两个三角形全等.也成立.

从特殊三角形推广到一般三角形，这是我们定理的一般发现过程.

命题3 斜边和周长对应相等的两直角三角形全等.

如图3，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，且Rt△ABC和Rt△A′B′C′周长相等，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

证明 由题意可得：a+b=a′+b′，a2+b2=a′2+b′2，则（a+b）2=（a′+b′）2，所以ab=a′b′，仍可证a-b=a′-b′.所以a=a′，b=b′，即证

推论3 一边及对角对应相等，且周长也相等的两个三角形全等.

命题4 周长和面积对应相等的两直角三角形全等.

如图4，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，Rt△ABC和Rt△A′B′C′周长和面积分别相等，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

证明 由题意可得：a+b+c=a′+b′+c′，a2+b2=c2，a′2+b′2=c′2，ab=a′b′，则（a+b+c）2=（a′+b′+c′）2，

展开得（a+b）2+2（a+b）c+c2=（a′+b′）2+2（a′+b′）c′+c′2.

代入得：2c2+2（a+b）c=2c′2+2（a′+b′）c′，化简得c（a+b+c）=c′（a′+b′+c′），所以c=c′.

又可转化成命题3的证法.

推论4 周长和面积对应相等，及任一角相等的两三角形全等.

如图5，在△ABC和△A′B′C′中，△ABC和△A′B′C′周长和面积分别相等，∠ACB=∠A′C′B′，求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明 由题意可得：absinC=a′b′sinC′，则ab=a′b′.

又cosC=a2+b2-c22ab=a′2+b′2-c′22a′b′=cosC′，则a2+b2-c2=a′2+b′2-c′2.

又a+b+c=a′+b′+c′，两边平方得：（a+b+c）2=（a′+b′+c′）2.

展开得：a2+b2+2ab+2（a+b）c+c2=a′2+b′2+2a′b′+2（a′+b′）c′+c′2.

令a2+b2-c2=a′2+b′2-c′2=t，则t+2c2+2（a+b）c=t+2c′2+2（a′+b′）c′，

c（a+b+c）=c′（a′+b′+c′），c=c′，再由推论2即证.

由推论1反思，加入三角形的角平分线呢？是否也会得到全等，仍从直角三角形进行考虑，发现：斜边及其直角角平分线对应相等的两直角三角形全等；直角角平分线和周长对应相等的两直角三角形全等；于是推广到一般情形，这里只证一般情况：

命题5 一边及对角对应相等，且该角角平分线也相等的两三角形全等.

如图6，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，CD，C′D′分别平分∠ACB、∠A′C′B′且CD=C′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′.

法一 过D作DE∥AC，过D′作D′E′∥A′C′，則∠1=∠2，∠3=∠4.

由题意得：∠1=∠5=12∠ACB，∠3=∠6=12∠A′C′B′，所以∠2=∠5=∠4=∠6.

所以△CDE≌△C′D′E′（ASA）.设DE=D′E′=h，则CE=C′E′=h.

由DE∥AC，可得：△BDE∽△BAC.则BEBC=DEAC，故a-ha=hb，即h=aba+b.

同理可得：h=a′b′a′+b′，故aba+b=a′b′a′+b′.

令ab=ka′b′，则a+b=k（a′+b′）.两边平方得：a2+b2+2ab=k2（a′2+b′2+2a′b′），

则a2+b2+2ka′b′=k2（a′2+b′2+2a′b′）.①

由cos∠ACB=cos∠A′C′B′，则a2+b2-c22ab=a′2+b′2-c22a′b′.

a2+b2-c2=k（a′2+b′2-c2），②

①-②得：2ka′b′+c2=k2（a′2+b′2+2a′b′）-k（a′2+b′2-c2）.

经化简得：（k-1）［k（a′2+b′2）+2ka′b′+c2］=0，故k=1.

所以ab=a′b′，a+b=a′+b′，转换成推论2的问题，即证.

法二 如图7，D为AB的中点，由相交弦定理得：

CE·DE=BE·AE，4BE·AE=（BE+AE）2-（BE-AE）2.

当E点从A运动到F时，BE-AE的值逐渐减小，所以BE×AE的值逐渐增大，所以CE×DE的值逐渐增大，又因为CE为角平分线值不变，所以DE的值逐渐增大，而与DE的值逐渐减小相矛盾，故△ABC唯一确定.

命题6 一角及该角角平分线对应相等，且周长也相等的两三角形全等.

如图8，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别平分∠ACB、∠A′C′B′且CD=C′D′，△ABC和△A′B′C′周长相等，求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明 证法和命题5类似，由命题5可得：a2+b2+2ka′b′=k2（a′2+b′2+2a′b′），①

a2+b2-c2=k（a′2+b′2-c′2），②

①-②得：（k2-k）（a′+b′）2+kc′2=c2.③

又a+b+c=a′+b′+c′，则k（a′+b′）+c=a′+b′+c′，故c2=［（a′+b′）（1-k）+c′］2.

所以（k2-k）（a′+b′）2+kc′2=［（a′+b′）（1-k）+c′］2.

经化简得（k-1）［（a′+b′）2+c′2+2（a′+b′）c′］=0，所以k=1，所以ab=a′b′，a+b=a′+b′.即证.

那中线呢，先考虑特殊情况，在直角三角形中，当斜边及其斜边中线相等时，由于斜边中线等于斜边的一半，故两直角三角形只满足，斜边和一个直角相等，故不能全等.

结束语 本文融合余弦定理、相似等来证全等，对代数法的要求极高.代数推理与几何推理之间存在相辅相成的作用，运用代数解决几何问题，能够帮助教师深入的理解知识，而不是简单的认为代数只是运算，让学生在逻辑论证的过程中，感悟从特殊到一般的说理过程，逐步形成推理能力.

参考文献

［1］蔡金法.数学教育研究手册：第二册：数学内容和过程的教与学［M］.彭爱辉，王瑞霖，张景斌，等译.北京：人民教育出版社，2020.

作者简介

钱雪雪（1992—），女，江苏南京人，硕士研究生，中学一级教师，主要研究初中数学教学.