分层作业：指向学生理解的作业实践与思考

杨春霞 陈奕含

【摘 要】 数学作业是数学学习过程的重要组成部分，是有目的、有指导、有组织的学习活动，是教学的基本环节.作为“教—学—评”的终端“评”的一部分，教师可以从数学作业中了解学生基础知识和基本技能的掌握情况，实现对教学的延伸.长期以来，我们缺乏对数学作业个性化要求的系统设计，往往要求学生在一定的时间内完成同样的内容，期望达到统一的目标，忽视了学生的个性特点、基础差异.在新课标的指导下，对初中数学所涉及的课时作业、专题作业、单元作业等进行分层、个性化编制有利于促进学生数学核心素养的达成.

【关键词】 核心素养；三角形；分层作业；个性化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要重视“教—学—评”的一致性.学生作业作为“教—学—评”的终端“评”的一部分，“可以从作业中了解学生基础知识和基本技能的掌握情况”［1］，实现对教学的延伸.数学作业能否有效地设计和实施，将直接影响到数学课程的改革与学生数学核心素养的达成.

1 数学作业的育人价值和现状分析

2021年中共中央、国务院颁发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“双减”文件），提出要提高作业设计质量，系统设计作业，鼓励布置分层、弹性和个性化作业，克服机械、无效作业．把作业作为“五项管理”的切入点，这与作业的本质、独特的育人价值以及作业管理目前所存在的各种问题是紧密相关的.王月芬［2］教授指出，作业“有助于促进学生发展，包括学生自主学习能力、学习习惯、学习方法、责任感、自律性、持之以恒的意志力、时间管理能力、创新实践能力、学业成绩等方面的发展”.

由此可见，数学作业是促进不同的人在数学上得到不同的发展的基本载体.但长期以来，大家对于数学作业的认识存在误区，认为数学作业必然是题海，做的多才有效；数学作业就是刷不同类型的题目，让学生见识广一些，缺乏对数学作业个性化要求的系统设计，忽视了学生的个性特点、基础差异.这些误区带来的弊端，让我们认识到“提升作业设计与实施的质量是重要的途径，提升教师作业设计与实施质量是关键”［3］.在此背景下，笔者所在学校组建了校本化作业编写团队，在新课标的指导下，对初中数学所涉及的课时作业、专题作业、单元作业等进行分层、个性化编制.下面结合苏科版七年级第十二章“三角形的认识”阶段性作业进行分层设计，并结合实践进行思考.

2 分层作业的设计结构与实施思路

如图1，分层作业以“基础过关（A类）”“能力训练（B类）”“拓展提升（C类）”“个性化作业（D类）”以及“矫正练习（E类）”五个方式呈现.其中，“基础过关”与“能力训练”为二选一必做项，根据学生实际学习情况，分层布置“基础过关”和“能力训练”.“基础过关”完成的同学也可以选做“能力训练”“拓展提升”以及“个性化作业”；“能力训练”完成的同学选做“拓展提升”“个性化作业”；作业批改之后及时反馈到学生手上，推送错误率较高题的“矫正练习”，并采用“集体讲评”“个别辅导”和“扫码自学”等形式进行讲评，对优秀作业进行展示.学生根据反馈可以自主矫正练习，也可以课堂讲评展示或课后扫码自学之后进行矫正练习.

图1

3 分层作业的实践案例

3.1 基于学情，定位目标

本案例的作业覆盖知识范围是三角形的定义、性质以及特殊三角形的相关内容.通过本章学习，学生对三角形的有关概念进行了定义，探索了三角形三个内角、三条边的关系，经历了从现实生活中抽象出几何模型并运用所学知识解决问题的过程，积累了一定的数学活动经验，初步掌握了本章基本内容，并能利用相关知识解决基础问题，部分学生的推理能力和对图形结构关系的识别能力需要进一步加强.

作业应围绕所学内容，对照《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的课程学业要求进行设计，以确保作业的科学性和合理性，因此仔细研读课程标准和教材是重中之重.针对“三角形认识”的作业可设计如下目标：

（1）进一步加深对本章所学习的三角形主要概念、相关知识的理解与应用；

（2）初步培养学生的几何推理能力，发展学生用规范的几何语言进行表达的能力；

（3）以分层作业的方式有效促进学生形成自我诊断能力，养成良好的自主学习习惯；

（4）以个性化作业的方式有效拓展学生数学学习的视野，培养学生数学学习的兴趣，发展理性精神．

3.2 基于目标，定位素材

围绕以上作业目标，可结合教材选择相关典型素材和呈现方式进行作业设计.

3.2.1 A，B类选择题作业设计

例1 【A类】下列长度的三条线段中能组成三角形的是（  ）.

A．1，2，3     B．2，2，4

C．2，3，4D．2，3，5

设计意图 考查学生能否借助三角形三边关系来直接判定围成三角形的条件.

例2 【B类】下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（  ）.

A．1，1，1B．1，1，8

C．1，2，2D．2，2，2

设计意图 四边形关于边的形成条件，教材上并没有直接的结论可用.因此，此题需要学生将四边形转化为三角形，在理解三角形构成条件的基础上进一步判断是否能构成四边形，渗透转化思想，发展推理能力.

3.2.2 A，B类填空题作业设计

例3 【A类】如图2，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线.如果S△ABD=24，则S△ADE=___________.

设计意图 考查学生对三角形中线概念的理解，并能用中线分三角形两部分面积相等这一性质解决问题.

例4 【B类】如图3，已知点D，E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接AD，BE交于点F.若△ABC的面积为12，则四邊形CDFE的面积为___________.

设计意图 考查学生对三角形中线概念的理解，本题对比例3，图形更为复杂，需要学生能从中分解与重组图形，综合利用中线分三角形两部分面积相等、设元等方法解决问题，发展推理能力.

3.2.3 A，B类解答题作业设计

例5 【A类】在△ABC中，∠A=30°.

（1）如图4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，求∠O.

求解的路径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

（2）根据第（1）问解决问题的活动经验，尝试完成下列问题：

如图5，∠ABC，∠ACD的平分线相交于点O，求∠O.

设计意图 考查学生对三角形角平分线的定义、三角形的外角、三角形内角和定理及推论的综合应用.需要学生关注基本图形，从复杂图形中识别并分解基本图形，有效组合条件解决问题，本题第一问借助框图，将思维可视化，发展学生的推理能力.

例6 【B类】在△ABC中，∠A=30°.

（1）如图6，点O在△ABC内部，连接OB，OC.已知∠OBC=2∠ABO，∠OCB=2∠ACO，求∠O的度数；

（2）如图7，点O在△ABC外部，连接OB，OC.已知∠OBC=2∠ABO，∠OCD=2∠ACO，求∠O的度数.

设计意图 考查学生对角的数量关系的理解，本题对比例5，将题中的角平分线变为三等分线，需要学生具备即时学习的能力和对知识方法类比迁移的能力，也需要学生有较强的综合分析能力和推理能力.

3.2.4 C类作业设计——折纸

例7 阅读：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB＞AC（如图8），怎样证明∠C＞∠B呢？

证明 如图9，把AC沿∠A的平分线AD翻折，

因为AB＞AC，

所以点C落在AB上的点C′处.

因为∠AC′D是△BDC′的外角，

所以∠AC′D=∠B＋∠BDC′.

所以∠AC′D＞∠B.

因为∠AC′D=∠C，∠AC′D＞∠B，所以∠C＞∠B.

探索：请你用折纸的方法画出示意图，并尝试证明“垂线段最短”.

设计意图 以阅读和探索的形式呈现，考查学生的即时学习能力，发展学生直观感知、操作确认、推理验证以及类比迁移的学习能力，帮助学生形成做中学的数学学习习惯，发展学生的推理能力.

3.2.5 个性化作业——发现三角形

例8 在这个任务中，你将通过观察、实践和创造，发现三角形的特征、性质和广泛应用.

（1）任务要求：

①观察：走出户外，通过拍照、绘画或剪纸方式寻找并记录不同环境中出现的三角形形状.

②探索：选择一种特殊的三角形，例如等边三角形、直角三角形或等腰三角形，进行深入学习和探索.

③实践：利用纸、尺子、量角器等工具和材料，制作一个以三角形为设计灵感的艺术品或工艺品.

④创造：设计一个计划，使用三角形来构建一个模型或建筑结构，如一个小型桥梁、一个舞台背景等.

（2）提交要求（选择其中一个完成）：

①观察记录：提交一份图片或手绘的观察记录，包括你在不同环境中发现的三角形形状.

②学习总结：写一篇关于你所选特殊三角形的学习总结，包括定义、性质、内部关系等方面的内容.

③创作展示：提交你制作的艺术品或工艺品的照片，并附上简短的说明.

④创造项目：提交你创造项目的计划草图，附上你对于使用三角形来实现稳定和坚固的构思和解释.

设计意图 个性化作业设计的意图是根据学生的兴趣、能力和学习风格，为每个学生量身定制符合其需求的学习任务.要求学生经历一个观察、探索、实践和创造的过程，并在这个过程中选择符合自己能力要求的任务完成，这有利于激发学生的学习动机和学习兴趣，培养他们的创造力、批判性思维和问题解决能力.

3.3 基于激励，定位评价

作业评价作为数学作业的最后一个环节，是学生学习数学知识的效果和效率的保障，直接影响着学生学习知识的兴趣和积极性.因此分层作业和个性化作业的目标除了定位知识巩固和能力提升之外，更应关注作业评价的情感激励功能.数学作业的评价方式可以由两部分构成：等级评价与评语.为了更好的凸显作业的价值，在分层作业的评价中一般要突出科学性、过程性和激励性原则：（1）科学性原则，即评价中不宜过于笼统，对错应清楚表明，不宜出现错批和漏批等现象；（2）过程性原则，在评价的操作过程中可以根据不同学生的基础情况以及相应的作业完成情况，关注作业结果的同时，关注过程，关注学生完成作业的态度是否认真、方法是否恰当以及完成作业的时长等具体情况，可以用评语的方式予以指导；（3）激励性原则，教师在评价的操作过程中应根据不同学生的基础情况以及相应的作业完成情况，进行更具有针对性的评价.关注学生的作业完成过程以及体现出的情感与价值，在分层中兼顾等级评定的划分层次，同时要结合评语鼓励学生的学习兴趣、认真态度以及积极进取的学习精神，要在“纵向比较”“横向比较”中对学生取得的进步进行鼓励和认可.

4 分层作业的设计启示与实践思考

4.1 搭建脚手架，降低题目难度，体现基础要求

在作业设计中，为了体现基础性，发挥作业对基础薄弱学生的育人作用，在基础过关题目的呈现方式上，可采用不同的策略方法.如例1（A类）学生可直接应用知识进行解决，一眼看出答案，增加孩子对数学学习的自信心；例5（A类）采用框图引导的方式呈现题目的推理过程，将思维可视化，帮助学生分析问题，体现基础性.

4.2 針对核心知识，设置关联题目，体现分层要求

在作业设计中，要充分考虑学生在知识、能力等方面的差异，为不同层次的学生设计难易有别的弹性作业，供学生自主选择.因此，在作业呈现形式上，针对同一知识点的不同能力考查要求，可以设计体现能力差异的关联题目，既保持对作业目标分解的一致性，又能满足不同能力水平的学生需求.

4.3 针对经典素材，通过变换条件，体现能力进阶

为了防止学有余力的孩子产生吃不饱的现象，设计1—2道C类题目，进一步给学有余力的学生进行综合拓展，并提供微课讲解，学生可扫描二维码自行观看学习.如例7在三角形相关知识学习基础中通过折纸活动来验证并进行推理证明，在应用中揭示边角关系，发展学生的推理能力.

4.4 针对同一课题，通过综合实践，体现个性发展

在同一课题下，设计具有知识综合、学科综合、实验活动以及生活实践的个性化作业，有利于促进学生积累问题解决的数学活动经验，促进学生学习的知识和方法进一步融通.帮助学生感悟知识之间的内在联系、感悟数学与现实世界的联系，培养学生的问题解决能力和实践精神.完成个性化作业的过程中要应用更多的知识、方法，表达的形式可以丰富，完成的时长可以拉伸，不同的学生可以借助不同的方式进行学习，如借助数字化平台、团队合作、操作实验等.完成过程中也需要教师适时介入，开展个性化指导，鼓励学生借助课件汇报、数学微视频、数学小报等方式进行汇报，培养学生的应用意识和创新意识.

总之，认识数学作业的价值，建立正确的作业功能观，在分层作业、个性化作业上进行探索和实践，需要持之以恒，需要教师在作业实践中进行不断的自我反思，需要教师在分层作业设计的科学性和适切性上进行循证和优化，需要教师创新作业方式，融合其他学科知识、融合信息技术的应用，以骨干引领和团队合作来系统建设作业资源，需要教师对作业的使用和管理进行思考，回归数学教育的本质和育人初心，促进学生数学核心素养的达成.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：89．

［2］王月芬．作业的本质及其育人价值［J］．今日教育，2021（10）：8-11．

［3］王强．设计“三有”作业提升數学素养［J］．中学数学杂志，2023（04）：30.

作者简介

杨春霞（1984—），女，硕士，中学高级教师，南京市优秀青年教师;主要从事中学数学课堂的教学研究;曾获南京市优质课大赛一等奖、南京市基本功大赛一等奖等奖项，主持江苏省“十四五”规划课题、南京市“十四五”规划重点课题各1项.陈奕含（1996—），女，硕士，中学一级教师;主要从事初中数学课堂的教学研究.