立足“基本” 学会思考 重在建构

【摘 要】 在解决求线段最值问题时，需要培养学生的逻辑推理、问题分析、数学运算和构造归纳等能力.以一道求线段最值题为例，从“基本经验”出发，寻求知识之间的联系，引导学生学会思考的方法，重在建构为手段，培养学生核心素养.

【关键词】 基本图形；基本经验；线段最值；核心素养

数学是思维的体操，问题是数学的心脏.在解决数学问题过程中，学生的逻辑推理、问题分析、数学运算和构造归纳等能力都得到了培养.求线段最值问题是初中数学中的难点之一，学生常常感到无从下手.这类问题需要学生有一定的思维能力和分析能力，能够从复杂的问题中寻找出规律和方法.因此，在解决这类问题时，引导学生从“基本图形”和“基本经验”出发，通过思考和探究，寻找出解决问题的方法.最后落脚到课本知识点，建构知识体系，完善思想方法，达到对知识理解升华，在此过程中培养学生核心素养.

1 试题呈现及解答分析

原题 如图1，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别是BC，AC上的动点，∠ADE=∠B=∠C，求AE的最小值.

1.1 从“想到一个熟悉的题目或基本图形”探索解题方向

在通读题目，理顺条件和结论之后，最自然的想法就是“观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的且具有相同或相似未知量的题目”或者这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题.

分析 图中存在一个学生熟悉的基本“一线三等角”模型，然后，从“基本经验”出发，寻求知识之间的联系.因为AE+CE=5，所以AE=5-CE，求AE的最小值就是求CE的最大值.设BD=x，CD=8-x，易证△ABD∽△DCE，得CEBD=CDAB，即CEx=8-x5，CE=x（8-x）5，AE=5-x（8-x）5=15（x-4）2+95，所以AE的最小值为95.

小结 此方法利用函数求最值.先找出与要求线段相关的等量关系，建立此线段的函数模型，再利用函数的最值去求解.

1.2 从“基本经验”出发，寻找突破点，关联题目条件

我们发现需要用到解决问题的“基本经验”，最后回到原点，直指结论，需要“基本思想”进行转化，提炼出“直观后的理性分析”是解题的最佳策略［1］.

分析 通过观察、分析，利用三角形外角和知识等，发现图中还存在另一对相似，△ADE∽△ACD，故AEAD=ADAC，即AEAD=AD5，AE=AD25，求AE最小值转化成求AD的最小值，而AD⊥BC时AD最小值为3，故AEmin=325=95.

小结 转化思想在解题中有很好的指导作用.AE的最小值不好直接求，而AD的最小值可直接求，能否把求AE的最小值转化到求AD的最小值？这就为解题指明了一种方向.利用△ADE与△ACD相似，找出AE与AD的关系式，成功把求AE的最小值转化到求AD的最小值.

反思与总结 通过这道题的解答过程，我们可以看到学生应用知识解决问题的过程.一些学生熟悉“一线三等角”模型，他们从这个模型入手思考；而另一些学生熟悉“养母子”型相似，他们通过这一对相似三角形找到AE与AD的数量关系.无论是哪种方法，他们都成功地找到了解决问题的途径.

在日常教学中，应该从多角度、多层次引导学生对已知条件进行观察、分析，透过现象看本质，抓住知识的本质特征；引导学生进行探究，寻找不同条件之间的内在联系，寻找普遍适用的规律；引导学生将复杂问题简单化、特殊化，追求解题方法的简洁、明快［2］.通过这样的训练，提升学生更好地掌握知识和运用知识的能力.同时，通过例题的教学，我们也可以培养学生观察、分析和解决数学问题的能力.看到一条线上有三个角相等时，我们会去想“一线三等角”相似；看到有两个角相等再找一个公共角时，也可得出相似从而找到等量关系；可以利用函数知识求最值，也可以利用垂线段最短来求解.例题两种解法后，老师引导学生学会思考，这是从两个不同路径去求解问题，一个运用函数求最值，一个运用转化思想把AE的最小值转化为AD的最小值，但它们也有共同点，都是通过相似得出等量关系.

2 学会思考

2.1 从“基本经验”出发，寻求知识之间的联系

分析1 图2中∠ADE=∠B为一个定角，这个定角所对边为AE，AE是一条动边.“定角对定边”可构造圆来求解，定角对动边也可构造圆来思考.作△ADE外接圆，如图2.

因为∠AOE=2∠ADE=2∠B，过O作OH⊥AE交AE于H，所以∠AOH=∠B，易求sinB=35，AH=35r，AE=2AH=65r.因此求AE最小值转化成求r最小值，如图3，当圆O与BC相切时圆半径r最小，此时OD⊥BC，易证A，O，D在同一直线上，AD=2r=3，r最小值为32，故AE最小值=65×32=95.

通过思考，定角对动边，可构造圆来思考.因圆周角确定，故圆心角也确定，动边与半径数量关系也随之确定，把求AE的最小值转化求圆的半径最小值.如何求圆半径的最小值呢？因圆与BC有一交点D，当圆与BC相切时圆最小.

巩固练习 如图4，在矩形ABCD中，AB>BC，BC=6cm，点M在AB邊上，从A向B运动.连接MD，以M为顶点，MD为一边作∠DMN=45°，另一边交CD于点N.在运动过程中，求线段DN长度的最小值.

分析2 构造△MDN外接圆⊙O，如图5. 图5

∠DON=2∠DMN=90°，DN=2r，r越小DN越小，当圆O与直线AB相切时r最小，方法如分析1.换个角度，能否用不等式来求半径的最小值？因定角顶点M到动边所在直线距离为6，是一个定值.而M到动边所在直线距离还有一种表达方式：MO+OH，它们都可用r表示，为r+22r，显然MO+OH≥6，即r+22r≥6，r≥12-62，故DN=2r≥122-12，所以DN最小值为122-12.

通过对上述问题的进一步思考，发现此题与原题相同点都是定角顶点在直线上移动，而动边也在一条直线上变化，求此动边的最小值.我们通过构造圆来进行求解时，均是把要求的动边长度用圆半径来表示，再转换到求半径的最小值.而求半径最小值又想到数学原理：直线外一点与直线上所有点连线中，垂线段最短.先把定角顶点到动边所在直线路线长度用r表示，如图3中D-O-A为2r，图5中M-O-H为r+22r，利用垂线段最短，图3中可列不等式2r≥3，图5中，r+22r≥6，从而求出r的最小值，再得到动边长度最小值.而例题中用的不是定角顶点D到动边AE垂线段最短这一数学原理，它是利用定点A与BC上动点D路线长度最小值为点A到直线BC距离垂线段最短，而点A与动点D路线长度用r表示.

2.2 从和谐扩展的视角，提出另一形式的问题

是否还有其它情况呢？想出几个与此题相类似有联系的有关问题，即适当改变条件，提出另一形式的问题，予以求解.

拓展一 等腰直角三角形顶角夹半角，求半角所对边的最小值

如图6，△ABC中，CB=AC=2，∠ACB=90°，D，E分别为AB上两个动点，且∠DCE=45°，求DE的最小值.

分析3 构造△DCE外接圆⊙O，如图7.∠DOE=2∠DCE=90°，DE=2r，r越小DE越小，此题明显看出并不是圆O与直线AB相切时r最小，那r什么时候最小呢？观察发现定角顶点C不动，动边DE在AB上运动，而点C到AB距离垂线段CF最短，另外点C到直线AB距离用r表示为CO+OH=r+22r，显然CO+OH≥CF，即r+22r≥2，r≥22-2，故DE=2r≥4-22，所以DE最小值为4-22.

拓展二 正方形顶角夹半角，求半角所对边的最小值

如图8，边长为2的正方形ABCD中，F，E分别为BC，DC上两个动点，且∠EAF=45°，求EF的最小值.

分析4 构造△AEF外接圆⊙O，如图9.∠FOE=2∠EAF=90°，FE=2r，r越小FE越小，此题也明显看出并不是圆O与直线相切时r最小，那r什么时候最小呢？观察发现定角顶点A不动，动边DE一端点E在CD上运动，另一端点F在CB上运动，而点A与点C两点之间线段最短为AC，另外A到C路线用r表示为AO+OH+CH=r+22r+22r，显然AO+OH+CH≥AC，即r+22r+22r≥22，r≥4-22，故EF=2r≥42-4，所以EF最小值为42-4.

反思与总结 这些题之间发现有什么共同的东西没有？从和谐扩展的视角，这一块知识是怎样生长与发展的？

分析1是从学生熟悉的“定角对定边，无中生圆”出发，提出定角对动边，能否也无中生圆？尝试试验发现动边与半径长度比是确定的，但这个圆是动的，如何找到圆的半径最小值就是此类问题得到解决的关键.有的是相切时圆最小，如上面例题中分析1、巩固练习中分析2；有的不是相切时圆最小，如拓展一中分析3、拓展二中分析4.这些题之间有什么共同的东西没有？如何找到它的通性通法呢？发现它们的最值与初中数学教材平面几何有关线段最值问题的定（公）理有关，有的是直线外一点到直线上所有点连结的线段中垂线段最短，如分析1、分析2、分析3；有的是两点之间线段最短，如分析4.

3 重在建构

初中数学教材平面几何有关线段最值问题的定（公）理有：①直线外一点到直线上所有点连结的线段中垂线段最短；②两点之间线段最短；③三角形第三边小于两边之和，大于两边之差.通过原题及拓展的研究，发现它们都是立足教材，解决它们的原理是教材中的定理或公理，只要将线段最值问题与这些定理公理结合求解，就会寻找出解题思路.原题及巩固练习和拓展主要用到定（公）理①②，定（公）理③也有很好的应用，下面举一例进行应用.

例如，图10是一种推磨工具模型，图11是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP=AQ=3dm，AB=12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB=4dm，在点B的运动过程中，求点P与点O之间的最短距离.

分析5 如图12，连结B′P′，OB′，OP′，因为OB′=4，B′P′=A′B′2+P′A′2=122+32=317，在△OP′B′中，OP′最小值为|B′P′-OB′|=317-4. 图12

小结 此题充分运用知识迁移的原理，突出基本定（公）理的教学.设计相应的题型，强化训练，让学生看到定（公）理的灵活运用，所有的题目都是围绕着核心知识点来转，只是变了一个形式，是知识的不同角度、多方位的解读和训练，是检测认知结构是否牢固的试金石，从而加强知识间的内在联系.

反思与总结 上面围绕求线段最值建构了求线段最值的知识体系，通过原题练习及拓展的分析，更系统理解这些定（公）理内容及适用条件.同时，在研题过程，我们又从不同角度，不同知识去解决同一问题，多种解法培养发散思维，寻找各种解法共性，聚集关键知识点与思想方法；而通过不同知识解决同一问题，加强不同知识间的关联，把不同知识联系起来，使学生形成一个最佳的认知结构，真正体会异曲同工之妙.在解决问题同时又培养学生模型、转化、构造等数学思想方法，在此过程培养学生数学核心素养，在系统化知识理解同时，又增加了学生体验，补充了学生数学思想，完善学生数学抽象、模型、转化、构造核心能力.同时，从一个更高角度指导学生去解决问题，培养了学生学习素养，提高学生学习力.它们之间的关联可用图13表示.

4 结束语

罗增儒教授认为，数学核心素养并非独立于数学知识，而是寓于数学知识之中.它不是通过直观获得的，而是通过不断探索、实践和思考而形成的.在教学中，我们注重从学生已有的基本活动经验出发，引导学生学会思考，重在建构知识体系与积累核心方法.對于动态问题的解决，它需要我们以静制动，动中找静，把握问题的本质，寻找最佳的解决方案.这是一个复杂的过程，需要丰富的数学思想和方法，但只有这样，我们才能真正提高学生解决数学问题的能力，让他们学会独立思考，发现问题的本质，找到解决问题的方法.

参考文献

［1］俞凯.用好“三个一”，讲好一道题［J］.中学数学教学，2016（04）：36-37.

［2］奚喜兵.谋定而后功：几何动点问题的解决策略［J］.中学数学，2015（10）：79-80.

作者简介 陈丹盛（1982—），女，浙江舟山人，中学一级教师;主要研究课堂教学方法与实践;曾获浙江省新生代数学优质课评比一等奖，全国初中青年教师数学优质课评比二等奖.