含绝对值的一元一次方程的解法浅析

罗明珍

【摘要】本文通过转化的数学思想，从“代数法”和“零点分段法”“解析法”三个方面出发，试图层层递进、由浅入深地去探索两类简单的含有绝对值的一元一次方程的解法.

【关键词】转化；绝对值；零点分段法

绝对值符号中含有未知数的一次方程，叫做含绝对值的方程，简称绝对值方程. 解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程求解.

题型1 只有一個绝对值里含有未知数，如x=－2.

这个问题学生容易错解为x=－2，但事实上，此问题等价于方程x=2，于是x=±2，只要掌握了这种方法，那么诸如x－1=－2、2x－1=－2等此类只有一个绝对值里含有未知数的方程，都能转化为此类题型轻松求解了.

题型2 两个绝对值里都含有未知数，且含有绝对值的两项同号，如x+1=2x－2.

②如图3，当－1

③如图4，当x≥1时，x+1=x+1，2x－2=2x－2，原方程可转化为x+1=2x－2，解得x=3.

因此，综上所述，x=3或x=1/3.

解法3 解析法

考虑到绝对值的几何意义本质上就是距离，于是可以把诸如题型2的问题转化为如下问题：

在平面直角坐标系中，已知点P（x+1，2x－2），若点P到两坐标轴的距离相等，求x的值.

如图5、图6，根据平面直角坐标系的知识，可知到两坐标轴的距离相等的点一定在象限的角平分线上，因此又可分为以下两种情况：

情况1 若点P在第一、三象限的角平分线上，则有x+1=2x－2，解得x=3.

情况2 若点P在第二、四象限的角平分线上，则有（x+1）+（2x－2）=0，解得x=1/3.

综上所述x=3或x=1/3.

可见如果将这类问题转化为平面直角坐标系中的问题，会变得更加形象、直观，也更加有趣，更重要的是方法上更加具有普遍意义.

题型3 两个绝对值里都含有未知数，且含有绝对值的两项同号，并含有常数项，如x+1=2x－2－2.

这个题仍然可以用题型2中的解法1和解法2进行分类讨论来求解，在此不作赘述. 接下来主要运用解析法来尝试解答.

形如x+1=2x－2这类两个绝对值里都含有未知数，且含有绝对值的两项同号的方程我们已经会转化为平面直角坐标系中的问题来求解. 现在x+1=2x－2－2只比x+1=2x－2多了一个常数项，有没有可能把题型3的问题转化为形如题型2的方程来求解呢？

沿着这个思路，我们先把题型3的问题转化为平面直角坐标系中的问题：

在平面直角坐标系中，已知点P（2x－2，x+1），若点P到x轴的距离比到y轴的距离少2，求x的值.

如果把平面直角坐标系向下平移两个单位，那么得到的新的点P′到x轴的距离与到y轴的距离就相等了，此时点P′的坐标为（2x－2，x+3）. 这样一来就转化成了题型2的问题，于是可以分为以下两种情况：

情况1 若点P在第一、三象限的角平分线上，则有2x－2=x+3，解得x=5.因此点P′（8，8）.

情况2 若点P在第二、四象限的角平分线上，则有（2x－2）+（x+3）=0，解得x=－1/3.因此点P′（－8/3，8/3）.

有趣的是，由于新的坐标系沿着y轴方向上下移动并不会改变横坐标的值，因此可得在原坐标系中，点P的横坐标也为8或－8/3，从而进一步可得x=5或x=－1/3.

含有两个绝对值的一元一次方程远不止本文中提到的类型. 本文旨在研究含有两个绝对值的一元一次方程的解法，希望能给初中孩子一些方法上的启发.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]张宁．初中数学竞赛中含绝对值方程问题的求解方法[J].数理化学习（初中版），2018（8）：38-41.

[3]南秀全.初中数学奥林匹克竞赛全真试题（省市精华卷）［M］.武汉：湖北教育出版社，2016．