新时代高等数学“金课”建设新思路设计与研究

杨娜娜 孟新友 马成业

摘 要：随着科技的发展、时代的进步，偏向于理论推导的“高等数学”课程传统教学模式已无法满足这个时代社会对人才的需求，而“金课”是知识、能力和素养的融合，不仅让学生获得知识、掌握技能，更重要的是培养其创造性思维和解决复杂问题的综合能力。本文将开展基于“金课”的“高等数学”教学研究工作，为进一步构建本科数学类金课课程提供积极探索，并以数列极限概念为例阐释其在高等数学“金课”探索中的应用。

关键词：金课建设；高等数学；数列极限

中图分类号：G642  文献标识码：A

Design and Research of New Ideas for the Construction

of "Golden Course" of Higher Mathematics in the New Era

—Take the Concept of Series Limits as an Example

Yang Nana Meng Xinyou Ma Chengye

Lanzhou University of Technology，School Science of Technology GansuLanzhou 730050

Abstract：With the developments of technologies and progresses of times，the traditional teaching mode of《Higher Mathematics》which is biased towards theoretical derivation can no longer meet the social demand for talents in this era，the "golden course" is the integration of knowledge，ability and accomplishment，which not only enables students to acquire knowledge and master skills，but more importantly，cultivates their creative thinking and comprehensive ability to solve complex problems.This paper will carry out the teaching and research work of "Higher Mathematics" based on "golden course"，and provide active exploration for the further construction of undergraduate mathematics golden courses，as well as explain its application in the exploration of "golden course" of higher mathematics by taking the concept of series limit as an example.

Keywords：Gold Course；Higher Mathematics；Series Limit

高等数学是大学数学类课程乃至其他专业课程学习的一门非常重要的基础理论课程，覆盖面广、学时多、影响面宽、在人才培养中发挥着举足轻重的作用［1］。与此同时，因其对學习专业知识和发展创新能力起着重要的作用，对培养学生的数学和创新能力、应用和探索精神有很大的帮助，对促进学生的个性与可持续发展能力具有文化教育和技术教育的功能。

同时，随着社会不断发展要求培育更多的高等教育人才，数学的学习与应用日益显现，与其他学科的交叉和融合也越来越紧密。然而，由于“高等数学”课程课堂知识点多、抽象性强、课时数有限，导致“教师难教，学生难学”的局面，特别是让大多数学生望而却步，严重影响教学效果。传统的教学方式（黑板+粉笔）已不能满足新时代打造“金课”的要求。如何建设高质量课程，提高学生的学习兴趣和课程教学质量，是打造“金课”的重中之重。本文以数列极限概念为例，探索新时代高等数学“金课”建设新思路。

一、“金课”建设背景

2018年8月，教育部正式印发了《关于狠抓新时代全国高等学校本科教育工作会议精神落实的通知》，将“消灭水课，打造金课”首次写入文件。从那时起，为了贯彻全国高等学校本科教育会议及相关文件的精神，各大高校积极动员教师参与“金课”的建设，围绕“金课”展开了一系列的讨论。2018年11月，原教育部高等教育司司长吴岩在“第十一届大学教育论坛”上，将“金课”归结为“两性一度”：高阶性、创新性、挑战度［2］。2019年10月，教育部正式发布了《关于一流本科课程建设的实施意见》，明确了“金课”的建设内容，阐述了“两性一度”的金课建设标准，即提升高阶性（课程目标坚持知识、能力、素质的有机融合，培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维）、突出创新性（教学内容体现前沿性与时代性，及时将学术研究、科技发展前沿成果引入课程，大力推进现代信息技术与教学深度融合）、增加挑战度（课程设计增加研究性、创新性、综合性内容，让学生体验“跳一跳才能够得着”的学习挑战，严格考核考试评价）。

进而，如何理解“两性一度”将成为高校课程建设“金课”的关键，针对不同学科、不同课程所具有的特点，“金课”的标准也应有所不同。而当前“高等数学”课程教学问题诸多，需要我们继续研究。基于“金课”的理念和思路，对于“高等数学”这门大学新生入校就会学习的基础又非常重要的科目来说，打造“金课”的意义是深远的，成为今后长期高等数学学科建设的重要任务。不断改革传统的高等数学教学思想、教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等，按照新时代“金课”的要求进行深入研究和实践。

二、高等数学的教学存在的问题

（1）传统的黑板+粉笔教学模式比较浪费时间，并且高等数学的授课内容本身就比较枯燥，学生的听课状态不佳，课堂的教学效果比较差，学生活跃的思维和强烈的好奇心受到抑制，个性的发挥受到阻碍，兴趣得不到激发，难以调动学习的积极性。通过不断深入学习以及提升知识点的难度，很多学生失去了学习的信心，满意的教学质量和预期的教学目标无法实现。

（2）由于课堂知识点多，教师在实施教学进度时，容易忽视训练学生的思维能力，学生被动地接受知识，整个教学过程中教师进行“填鸭式”的知识灌输，没有学生的真正参与。大多数的教学还是以“教师为中心”的授课方式，学生学习的主体作用并没有得到最大限度的发挥。

（3）目前，“高等数学”课程要求教师讲解概念、定义，推演定理、性质，以及介绍算法。在这样的教学方式下，学生虽然掌握了一些数学知识，但还欠具备数学思维、应用以及创新的能力。如果遇到具体问题，依然有种无从下手的感觉，不能用学到的高等数学知识解决实际的问题［3］。

三、“金课”建设背景下探索高等数学教学新思路

在“金课”建设背景下，深入研究“高等数学”课程教学，努力提升作为高校一线教师的自身素质。通过引入数学文化、数学软件及数学建模的思想，对学生在教学过程中的地位加以改变，让具有被动学习状态的学生积极主动地参与到学习和交流中，对学生思维启发的同时，加强教师和学生、学生和学生之间的互动，以待提升教学的质量。

（一）引入数学文化、数学软件，助攻枯燥无味的课堂教学，使学生产生学习兴趣，提高对“高等数学”课程学习的积极性

课堂教学不再局限于数学知识的传播，而通过插入人文知识（如一些数学理论知识的起源、人物传记或数学家的成长故事），使看似冷冰冰的数学公式变得妙趣横生。传播这种文化底蕴可以提升学生品质，从中学习的不仅是数学书本知识，更是一种对研究的态度，将会受益终生。同时，利用数学软件将抽象的数学概念、定理、严谨的证明过程以几何直观、数值分析等方式直观地展示给学生，让学生更容易理解和掌握。

（二）多模式教学，向“以学生为中心”转变，提高教学质量和教学水平

“以学生为中心”这一新的教育教学理念，从本质上提高教学效率，尽量因材施教，整体提高我校的“高等数学”课程教学质量与水平。通过线上和线下的混合教学等模式，实现无缝隙的全方位教学，使学生的主体性得到充分发挥。

（三）注入数学建模的思想，让学生学以致用

重视讨论实际性问题，让学生看到数学与自然、社会科学和哲学的相互促进与联系，小到生活中的小事件，大到宇宙中的大奧秘，以及在其他学科领域呈现的多样化，带给学生崭新的视角——数学就在我们身边。“高等数学”课程教学中注入数学建模思想，不仅能拓展教学中知识面的深度和广度，而且还能激发学生的学习兴趣，推动他们去创造性地分析和解决实际问题，实现实际问题与数学模型，数学模型与解读自然的交互模式，真正做到学以致用。

四、数列极限概念在“金课”建设新思路下的教学设计

极限是高等数学中基本且重要的概念，包含了极限思想、辩证思想。现今各类教材大多采用“ε—语言”定义，这种定义比高中数学的概念层次更复杂、符号更抽象，往往使得刚进入大学的新生感到不易理解，特别是用定义证明极限，有种无从下手的感觉，成为高等数学教学中的难点之一。数列极限作为函数极限的特殊情形，需要学生深刻理解该概念的内涵。如果还是采用传统的教学模式，恐怕导致学生对极限概念理解模糊，难以掌握。因此，把握好极限这一概念的讲解，特别是数列极限概念，对学生学习高等数学以及后续数学类课程具有重要而深远的影响。本部分考虑到数列极限的重要性，结合“金课”背景，设计基于“金课”的数列极限概念教学。

（一）数学文化实例引入极限思想

在极限定义给出之前，事先引入极限思想。首先，提出我国古代战国时期庄子的一句非常有名的话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”（截丈问题），让学生猜测一下其中的含义。同时，手里拿着一根绳子演示，即将绳子对折再对折，提出：“这样一直对折下去，大家会发现，它是永远不会为0的，而对折之后的绳子形成一个数列，也就是12，122，…，12n，…。当n无限增大时，12n无限接近于0，但是不等于0，这就是万世不竭。那么，这是极限思想的早期体现。”

其次，提出我国古代魏晋时期数学家刘徽在割圆术中的思想“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”此时，启发学生自己理解该极限思想（以学生为中心），并展示动画（数学软件绘制），让他们更深刻、直观地体会这一思想，解释：“想要得到圆的面积，按照割圆术的思想，将其进行分割，分割一次得正6邊形，分割两次得正12边形，分割n次得正6×2n-1边形，这样一直分割下去，正多边形的面积形成一个数列。当n无限增大时，正多边形的面积无限接近于该圆的面积，但不等于该圆的面积。这就是极限思想的深刻体现。”

最后，由前两个实例在引入极限思想的同时，点明民族自豪感（毫不夸张地说，刘徽这一思想甚至可以与古希腊的同类思想相媲美，成为人类文明史中不朽的篇章。），以增强学生的文化自信，激发他们的爱国主义情怀。进而提出问题：“无限接近意味着什么？它的等价含义是xn与常数a要多接近有多接近。一般来说，两个值之间的接近程度由它们之间的距离表示，也就是这个距离可以任意小，即xn-a任意小。对于截丈问题，12n-0任意小，这是一种描述性定义。”虽然描述性定义容易理解，但是缺乏精确性的定量定义。因此，教师在“金课”理念下潜移默化、深入浅出地指导，学生通过直观感受对数列极限思想有了全面而初步的认识，这比教师直接给出定义使学生更容易深刻理解数列极限的概念。

（二）深层次挖掘数列极限的定义

定义［4］：设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论多么小），总存在正整数N，当n>N时，不等式xn-a<ε都成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a，记为limn→∞xn=a，或xn→a（n→∞）。若不存在这样的常数a，则称数列{xn}极限不存在或发散。

下面是与该概念相关的解释：

（1）严密的ε-N语言定义：ε>0，N>0，当n>N时，xn-a<ε。

（2）几何含义：当n>N时，所有的点都落在（a-ε，a+ε）区间内，只有有限个（至多只有N个）落在其外。

（3）ε是任意给定的正数，与N有关。

（4）N与前面的有限项无关，可以看作是确定的也是任意的，确定是因其可以按照人们的需求而确定；任意是因其的存在不唯一，例如对数列1n+2，ε=0.01时，N=99，100，…，在用定义证明极限时一般采用放缩的方法求解［5］。

（5）定义中包含着丰富的辩证思想，如常量和变量、过程和结果以及近似与精确等对立与统一的关系［6］。

（三）数列极限的思考

学生死记硬背概念，并不能表明从真正意义上理解该概念，需要对其进行探索、剖析。请思考以下说法说明了什么问题。

（1）ε>0，N>0，当n>N时，恒有xn-a<2ε。

（2）ε>0，都有无穷多项xn满足不等式xn-a<ε。

（3）ε>0，都只有有限项xn满足不等式xn-aε。

通过对上述说法的思考，可以加深理解数列极限的概念，从而真正把握此概念的本质，融会贯通地掌握知识。

参考文献：

［1］王立冬，张春福，陈东海，等.高等数学教学中创新思维培养：问题与对策［J］.数学教育学报，2019，28（4）：8184.

［2］吴岩.建设中国“金课”［J］.中国大学教学，2018（12）：49.

［3］张利英.课程思政背景下应用型本科高校金课建设问题研究［J］.黑龙江教师发展学院学报，2022，41（5）：4547.

［4］同济大学应用数学系.高等数学（上册）（第6版）［M］.北京：高等教育出版社，2007：35.

［5］付夕联，张玉峰.极限概念教学的系统分析［J］.数学教育学报，2013，22（1）：8388.

［6］王茜，袁伯园，杨永.课程思政对“金课”建设的引领助推作用［J］.教育教学论坛，2023，3：147150.

基金项目：兰州理工大学2022年度高等教育研究项目“‘金课建设背景下高等数学课程教学改革探索”（GJ2022B2）成果；兰州理工大学2022年度高等教育研究项目“线上线下混合式‘金课建设探索与实践——以‘数学建模与数学实验课程为例”（GJ2022B4）成果

作者简介：杨娜娜（1986— ），女，汉族，甘肃人，博士研究生，副教授，研究方向：控制理论方向；孟新友（1980— ），男，汉族，江苏新沂人，博士研究生，教授，研究方向：应用数学；马成业（1972— ），男，回族，硕士研究生，副教授，研究方向：计算数学。