构造图形，以形解数

汤爱花

摘要：构造图形解决代数问题的依据和思路是数形结合思想，通过由“数”到“形”的巧妙转换，将原本繁琐的代数问题转化为简洁的几何问题来解决，具有“化繁为简，直观易懂，便于解答”的特点.构造几何图形的关键是善于通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想到相应的几何图形，建立数学表达式，并应用其性质找到解决问题的途径.本文中通过对典型例题的解析、方法对比与“一题多解”式的拓展演练，从一个侧面展示了运用构造法解题的优越性.

关键词：以形解数；典例解析；方法对比；变式演练；一题多解

用构造法解题是一种间接、简捷的解题思路，它不是直接去解决某个问题A，而是构造一个与问题A有关的辅助问题B，通过对问题B的解决来实现问题A的解决，而问题B的解决显然更简便、直观.

在初中数学解题中，数形结合思想有着广泛的应用，其中通过构造几何图形来解决代数问题就是数形结合思想中“以形解数”的一种常见的方法与技巧［1］.当问题条件中的数量关系具有明显的几何意义，或能以某种方式与几何图形建立起联系时，可以考虑通过构造图形将题设条件与结论在图形中反应出来，然后，借助图形的性质，解决待求或待证明的问题.

借助几何图形的直观性既能够看出“数”之间的某种关系［2］，例如统计图表，同时也有望从“形”中获得灵感，得到启发，找到解决问题的方法，例如在列方程解应用题时画的分析示意图等.

1 典例解析，方法对比

已知正数a，b，c，x，y，z，满足a+x=b+y=c+z=k，求证：ay+bz+cx

证法1：因为a，b，c，x，y，z为正数，且a+x=b+y=c+z=k，所以k3=（a+x）（b+y）（c+z）

=ay（c+z）+bz（a+x）+cx（b+y）+abc+xyz

=（ay+bz+cx）k+abc+xyz>（ay+bz+cx）k.

又k＞0，所以k2>ay+bz+cx.

思路与总结：通过观察已知条件式中的a与x，b与y，c与z的平列关系及求证式中左边的轮换对称形式，启发我们，可尝试从k3=（a+x）（b+y）（c+z）入手，经过恒等变形和适当缩放，即可得到欲证的不等式.

證法1是站在代数的角度思考，采用综合法来证明.但是这种方法的缺陷也较明显，主要表现在思路不易畅通，较难看出或建立已知与未知的联系，如果缺乏敏锐的观察能力和较强的恒等变形能力，以及缺乏适当去掉一些正项的技巧，就很难实现从未知向已知的转化.

证法2：如图1，

作边长为k的正三角形ABC，

在其三边上分别取点P，Q，R，使AP=a，BR=b，CQ=c，

则CP=x，AR=y，BQ=z.

由S△APR+S△BRQ+S△CQP

整理，得ay+bz+cx

思路与总结：证法2是从a+x=b+y=c+z=k>0，联想到以k为边长的等边三角形.这种证法思路开阔，摆脱了仅对“数”与“式”进行变形的束缚，在全面深入观察、合理联想的基础上，构造了边长为a+x，b+y，c+z（都等于k）的等边三角形，又从结论联想到面积公式，得到了一种新颖的证明方法.与证法1相比较，证法2显然更简捷.

2 变式演练，一题多解

例题  求15°的三角函数值.

解法1：如图2，作Rt△ABC，∠C=90°，∠BAC=30°，

延长CA到点D，使AD=AB，连接BD.

在Rt△ABC中，因为∠BAC=30°，设BC=a，则AB=2a，AC=3a.

在△BAD中，AD=AB=2a，所以∠D=∠DBA=15°.在Rt△DBC中，BC=a，DC=DA+AC=（3+2）a，所以BD=BC2+DC2=a2+（3+2）2a2

=2a2（1+3）2=（1+3）2a=（6+2）a.

所以sin15°=BCBD=6－24，cos15°=DCBD=6+24，

tan15°=BCDC=2－3.

解法2：如图3，作Rt△ABC，

∠C=90°，∠BAC=30°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，则∠DAC=15°.设BC=a，则AB=2a，AC=3a.又设BD=x，CD=y，则x+y=a.

由AD是∠BAC的平分线，得xy=ABAC=23，

即

2y=3x.①

将y=a－x代入①式，得x=2（2－3）a.

所以y=a－x=（23－3）a.

在Rt△DAC中，因为∠C=90°，∠DAC=15°，

所以tan15°=DCAC=2－3.

又AD=DC2+AC2=（23－3）2a2+（3a）2=（32－6）a，

所以sin15°=DCAD=6－24，cos15°=ACAD=6+24.

解法3：如图4，

在Rt△ABC中，因为∠BAC=∠B=45°，

所以BC=AC.

作∠DAC=30°，

∠BAD=15°.

过点D作DE⊥AB于点E，则

∠BDE=45°，BE=ED.

设BE=DE=x，则BD=2x.

在Rt△ADC中，设DC=y，则AD=2y，AC=3y.因为AC=BC，所以2x+y=3y，x=6－22y.因为∠BAC=∠B=45°，所以AB=2AC=6y，AE=AB－BE=6y－6－22y=6+22y.

所以sin15°=EDAD=（6－2）y212y=6－24，

cos15°=AEAD=（6+2）y212y=6+24，

tan15°=EDAE=2－3.

解法4：如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，所以∠ABC=∠C=75°.

过点B作BD⊥AC于点D，所以∠ABD=60°.

设BD=x，在Rt△ABD中，AB=2BD=2x，AD=3x，所以DC=2x－3x=（2－3）x.

在Rt△BCD中，BC2=BD2+DC2=x2+（2－3）2x2

=［（6－2）x］2，则

BC=（6－2）x.

所以sin15°=DCBC=（2－3）x（6－2）x=6－24，

cos15°=BDBC=x（6－2）x=6+24，

tan15°=DCBD=（2－3）xx=2－3.

解法5：如图6所示，在正方形ABCD中，作正三角形DOC，连接AO，BO，过点O作EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F.设边长AB=2a，因为△DOC为正三角形，所以DF=AE=a.因为∠FDO=60°，所以∠DOF=30°，DO=2DF=2a，

FO=3a.所以EO=EF－FO=2a－3a=（2－3）a.

因为∠CDO=60°，所以∠ODA=30°.因为DA=DO，所以∠DAO=∠DOA=75°，则∠OAE=15°.在Rt△AOE中，AO2=AE2+EO2=a2+［（2－3）a］2=（8－43）a2，

所以AO=（6－2）a.

所以sin15°=OEAO=6－24，

cos15°=AEAO=6+24，tan15°=OEAE=2－3.

思路與总结：由于15°是一个特殊的角，它等于30°的一半，因此要求它的三角函数值，除了“利用凑角或拆角、利用三角函数的诱导公式”等代数方法外，还可以考虑构造一个含有15°的直角三角形，然后再利用三角函数的定义及直角三角形的边角关系来求解.其中解法1就是利用三角形的外角作Rt△ABC，使∠BAC=30°，且使∠BAC是等腰三角形的外角，求出各边，再利用三角函数的定义求解；解法2是利用30°角的角平分线得15°角，再由角平分线性质求边的关系，进而求解；解法3是利用45°与30°的差是15°，使问题转化为线段的比而获解；解法4是利用75°与60°的差是15°，通过构造直角三角形来求解；解法5是利用90°与75°的差是15°，通过构造正方形、正三角形、直角三角形等图形来求解.本题旨在考查解直角三角形知识的灵活运用能力，尤其适合训练学生如何根据题意巧妙构造几何图形、寻求一题多解的综合解题能力.

综上所述，构造法是通过对条件和结论的敏锐观察与广泛联想，在已知与未知间架起了一座桥梁，即通过构造一定的数学模型巧妙地完成解题.上述典型例题的解析与一题多解的实战演练，就是灵活运用数形结合思想“以形解数”的精彩呈现，让我们充分感受到了构造图形法解题具有“构思精巧、手法灵活、形象直观、化繁为简、简捷实用”的巨大优越性，值得参考与学习［3］.在教学过程中，学生在运用构造图形法解决代数问题时，要在深刻理解题意的基础上，确保构图的准确性与完整性，避免“胡构”“乱造”和“碰运气”，教师要引导学生从不同的角度去分析、思考、比较，形成多样化的解题方法，最终才能达到事半功倍的解题效果.

参考文献：

［1］李明，张锐.构造几何图形解决代数问题［J］.数学教学研究，2012（2）：67-68.

［2］李国峰.构造几何图形，解决代数问题［J］.中学数学，2020（8）：49.

［3］杨诗婷，马绍文.构造几何图形 妙解代数问题［J］.数学学习与研究，2022（29）：134-136.