构建“有深度”数学课堂，引导深度学习发生

【摘 要】课堂作为数学课程实施的主要阵地，担负着发展学生数学学科核心素养的重要任务。在中学数学课堂教学中，教师可以通过情境激趣、问题驱动、体验积淀、道理感悟等方式，引领“情境—问题”教学，构建“有深度”数学课堂，引导深度学习发生。

【关键词】中学教学；核心素养；“有深度”数学课堂；“三度”数学课堂；正弦定理

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）11-0019-05

【作者简介】姜文，贵州师范大学（贵阳，550025）数学科学学院讲师。

有深度的数学课堂是指：教师在教学过程中以“教思考、教体验、教表达”为基本教育理念进行教学设计，同时依托教学环境实施教学，从而使学生在学习中达到深度学习的目标，进而落实学生核心素养尤其是数学学科核心素养培养。［1］本文聚焦构建核心素养导向下中学“有深度”的数学课堂进行探索，拟为一线教师的数学课堂教学提供参考。

一、核心素养导向下中学“有深度”数学课堂的实施途径

从实操层面讲，“深度学习”是指学生学习兴趣浓厚，能提出问题、解决问题，能自主地、探究式地学习，能理解学习内容的核心，能在表达、交流中促进所学知识的迁移和应用的学习方式。因而，深度学习应指向引领学生深层次、批判性思考。为此，一要有“核心问题”引领课堂学习，用问题激活学生思考；二要留出时间、空间，引导学生在探究中学习，获得知识再发现的体验；三要引导学生在生生、师生对话中把握知识的内涵，在自主解决问题的交流中加深思考。数学是思维的产物，数学教育重在培育学生的思维能力。数学学习，重在让学生在独立思考、自主探索中长见识、悟道理。因此，我们主张用“三教”引领“情境—问题”教学，构建“有深度”的数学课堂，促进学生“长见识、悟道理”，引导深度学习发生。

“有深度”的数学课堂利于学生养成“爱思考、重体验、善表达”的学习习惯：爱思考是引导学生深度学习发生的灵魂，重体验是引导学生深度学习发生的关键，善表达是引导学生深度学习发生的重点。［1］因此，结合“有深度”的数学课堂注重引导学生积极思考、自主体验、善于表达的特征［1］，我们认为核心素养导向下中学“有深度”数学课堂需要围绕如下四点实施教学［2］-［3］：

（一）情境激趣

教师要创设恰当的问题情境来激发学生数学学习的兴趣，特别是要恰当应用学习情境激发学生的学习兴趣。这里的问题情境要在考虑学生认知水平的基础上，注重趣味性与挑战性相结合，注重培养学生的创新思维和实践能力。情境可以与学生生活实际联系起来，但要注意情境中蕴含的数学元素和数学道理。

（二）问题驱动

教师要引导学生在对问题情境的探究中发现问题和提出问题，通过问题驱动，层层递进，引发学生的数学思考。这里，要注意问题设置的层次性和挑战性，教学中要关注学生个体差异，注重团队合作。

（三）体验积淀

教师要通过活动探索，促进学生学习体验的积淀；要引导学生在解决问题的过程中增长见识，获得知识“再发现”的体验。

（四）道理感悟

教师要鼓励学生批判、质疑，激发学生表达和求知的欲望，引导学生在表达交流中深度思考、感悟道理，促进学生长见识、悟道理。

二、核心素养导向下中学“有深度”数学课堂的教学案例

（一）创设情境，提出问题

情境：某地为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A和B。（如图1）现要确定A，B两点之间的距离。施工队的测量人员是这样做的：第一步，在岸边定出基线BC，测量出BC=78.35m；第二步，用测量仪器测得∠B=69°43′，∠C=41°12′；第三步，根据以上两步的结果计算AB的长。你知道测量人员为什么要这样做吗？

（图1）

【设计意图】通过巧妙设置数学情境，以学生熟悉的情境为载体，巧妙设置“角边角”型的解三角形问题，调动学生学习的积极性，让学生体验数学与生活的关联，体会正弦定理在解决实际问题中的应用。

（二）模型抽象，问题探究

师：为了研究的方便，我们将情境中的问题抽出来，并对数据做特殊化处理，变为以下问题。

【问题1】如图2，在△ABC中，已知∠B =75°，∠C = 45°，BC = 4，求AB的长。

（图2）

这个问题学生会有多种思路，教学中教师要在肯定其他解决方法的同时，重点关注利于发现正弦定理的思路，把学生引到正弦定理的发现上来。例如，如下思路对发现和证明正弦定理具有重要啟发：

如下页图3，由题可知，∠A = 60°，作AC边上的高BD，记AB = c，BC = a。则sinC = [BDBC]，即BD = asinC = 4×[22] = 2[2]，同理BD = csinA=[32]c，因此[32]c = 2[2]，解得c = [463]。

这里，教师需要引导学生关注两个方面：一是该思路蕴含了等量关系asinC = csinA，即[asinA] = [csinC]（为引导学生发现正弦定理作铺垫）；二是直角三角形中一条直角边与其对角的正弦的比的几何意义是该直角三角形的斜边（为引导学生利用三角形外接圆证明正弦定理作铺垫）。

【设计意图】将实际问题抽象为利于研究的数学问题，为进一步研究一般三角形的情形作铺垫，同时也为发现和证明正弦定理作铺垫，在“体验”中培养学生数学抽象和直观想象素养。

【问题2】在△ABC中，已知∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 4，如何求AC的长？

【问题3】问题1和问题2的结果表明，在锐角△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则有[asinA] = [bsinB] = [csinC]。这是偶然还是必然？为什么？与同学交流。

【设计意图】为学生发现正弦定理提供线索、作铺垫，同时为学生“体验”从特殊到一般的思维过程提供平台。通过“教思考”，培养学生的逻辑推理和数学运算素养。

【问题4】我们已经知道在锐角△ABC中有[asinA] = [bsinB] = [csinC]，这个结论在直角三角形和钝角三角形中成立吗？为什么？

【设计意图】引导学生深层次、批判性思考，在表达、交流中促进所学知识的迁移和应用，促进深度学习；引导学生在问题的探究中增长见识，获得知识“再发现”的体验。同时，通过让学生回答该问题达到完善用作高法证明正弦定理的目的。

【问题5】你能用一句话来表述你发现的一般结论吗？

【设计意图】引导学生用简洁的语言正确表述正弦定理的内容，培养其表达能力，发展数学抽象素养。

（三）定理发现，证法研析

基于以上讨论，学生自主探究得到本节的重要定理——正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[asinA] = [bsinB] = [csinC]。其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边。

【问题6】你现在明白开始给的情境中测量人员那样做的原理了吗？对此，你有什么感想？谈谈你的认识。

【设计意图】引导学生借助正弦定理快速地解决情境中的问题，让学生体会数学与生活的联系。同时，在交流与表达中进一步激发学生学习数学的兴趣，增强其学好数学的信心，促进深度学习目标的达成。

【问题7】向量是沟通几何与代数的重要桥梁。同时，向量是解决许多数学问题的重要工具，特别是涉及长度、夹角等几何问题时，可以通过向量及其运算得到快速解决。对于正弦定理的证明，可以从向量的角度来思考吗？如果可以，怎么做？

【设计意图】在经历作高法证明正弦定理之后引导学生用向量法证明正弦定理，培养其发散思维。教学中，教师以锐角三角形为例引导学生思考，而把直角三角形和钝角三角形的情形留给学生课后完成，并要求学生撰写向量法证明正弦定理的体会和感想。

【问题8】正弦定理的形式非常优美，它给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系。结合这个关系式，你觉得正弦定理可以解决哪些类型的问题？

【设计意图】引导学生从定理本身的形式出发思考定理的用途——正弦定理可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题和“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。

（四）典例剖析，方法归纳

例1：在△ABC中，已知∠A = 15°，∠B = 45°，c= 3+[3]，解这个三角形。

【设计意图】直接利用正弦定理解决“已知两角和一边，解三角形”的问题。

例2：在△ABC中，已知∠B = 30°，b = [2]，c= 2，解这个三角形。

【设计意图】直接利用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题，同时启发学生关注对正弦定理解三角形中多解问题的讨论，特别是如何根据正弦定理判定解的个数问题。

（五）课堂小结，延伸思考

1.课堂小结

教师引导学生从以下三方面作小结：一是本节的基础知识和基本方法；二是正弦定理的发现过程；三是在定理的发现和证明过程中感悟了什么道理。

2.延伸思考

思考1：如果[asinA] = [bsinB] = [csinC] = k，那么實数k的几何意义是什么呢？它可否由△ABC的某个（些）元素来确定？

【设计意图】每个三角形都可以当作是某个圆的内接三角形，而三角形的边均变成了圆的弦。［4］从数学历史发展的角度来设置问题，为给出正弦定理的完整形式作铺垫的同时，引出正弦定理的外接圆证法。

思考2：利用正弦定理能否推出余弦定理呢？与同伴交流。

【设计意图】余弦定理、正弦定理和射影定理是解三角形的理论依据［5］，但是教材中没有突出射影定理，因此教师可以引导学生论证正弦定理和余弦定理的等价性，以此深化学生对这两个定理的认识，从而实现学生深度学习。

三、结束语

“有深度的数学课堂能够促进学生对科学思想方法的感悟”［1］，其前提是以教师精心设计的问题来引领学生思考、体验和表达交流。作为“有深度”数学课堂指导思想的“三教”是一个整体，教师通过问题和情境引导学生在思考中体验，在体验中思考，在思考和体验的基础上更准确地表达，并在体验和表达中产生新的思考，进一步促进学生长见识、悟道理。故而，在设计教学时，问题之间的逻辑结构就变得十分重要，“问题与问题之间是否具有内在的统一性和递进关系，决定着课堂学习推进的程度，看似独立的问题，也应当成为学生思维发展的台阶”［6］。“有深度”的教学要求教师首先要对数学知识有深刻的理解，只有抓住数学的本质，才能引发学生的思考。因此，教学中需要教师在充分理解数学本质的基础上精心设计隐蔽型的问题，并将学习的多重目标融入其中。这里，隐蔽型的问题不是“简单”的问题，而是要尽量使问题体现“追求简洁表面下的思维汹涌，用尽量简洁的语言蕴藏丰富的数学知识”［6］。

上述教学案例从一个精心设计的问题情境出发，引导学生研究情境中蕴含的数学问题，并对数据进行特殊化处理，通过问题串的形式引导学生在分析问题和解决问题的过程中发现原理（正弦定理），进而证明原理的正确性，体验从特殊到一般的思维方式。同时，学生在获得正弦定理之后进一步用它解决问题，感受正弦定理在解决问题中的“威力”。通过引导学生“思考”“体验”和“表达”，在经历定理的发现、证明及应用的过程中促进学生深度学习，促进学生发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养。值得注意的是，新课标将“解三角形”内容放在“平面向量的应用”中，其目的是“体现向量学习的整体性”［7］，“意在为向量的应用提供一个重要载体，使学生进一步领悟向量法所蕴含的数学思想，掌握用向量运算解决几何问题的基本要领和方法的同时，完善三角形的认知结构”［8］。因此，向量法证明正弦定理是需要教师引导学生训练的。受课堂教学时间的限制，教师将在课堂上无法完成的部分布置给学生课后完成，让学生有足够的时间和空间体验正弦定理的不同证法之间的比较（特别是向量法），并撰写心得体会。这有利于培养学生的数学表达能力，进而利于学生对思想方法的深度理解和把握，促进学生数学思维能力的提升。因为文字的表达需要学生经过周密的思考，“没有思考就没有体验，没有体验就难以表达，表达是思考和体验的结果”。

【参考文献】

［1］严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的一些思考［J］.数学通讯，2023（9）：6-9.

［2］唐海军，吕传汉.数学教学为什么需要“教思考、教体验、教表达”——“三教”教学理念与实践的再探析［J］.中小学教师培训，2019（10）：51-55.

［3］李龙梅，严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的再思考［J］.兴义民族师范学院学报，2023（4）：64-69.

［4］张小明.正弦定理的证明：从历史到教学［J］.数学通报，2015，54（7）：15-17，22.

［5］黄汉禹.对正弦定理和余弦定理的研讨［J］.数学通报，2011，50（6）：21-23，26.

［6］陈薇，沈书生.小学数学教学中深度问题的研究——基于专家教师课堂提问的案例分析［J］.课程·教材·教法，2019，39（10）：118-123.

［7］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书A版数学必修第二册［M］.北京：人民教育出版社，2019：14.

［8］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：152.