问题驱动 挖掘本质 落实素养

【摘要】在解题教学中，教师应重视挖掘中考试题的教学价值.本文针对一道代数几何综合题，精心设计问题，引导学生多角度思考.通过一题多解，探寻解决问题的通性通法；通过变式探究，充分挖掘问题的本质，优化解题路径；通过师生总结，凝练解决问题的系统结构，落实学生的数学核心素养.

【关键词】问题驱动；通性通法；一题多解；变式探究

在“双减”大背景和“素养立意”的命题导向下，近几年的中考压轴题综合考查知识、方法、能力，凸显对数学核心素养评价的关注．中考的代几综合题，其命题大都立足方程、函数、三角形、四边形、相似图形等核心知识，融入几何直观、数形结合、分类讨论等基本思想方法，对学生数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象等素养都提出了很高的要求．破解这样的问题，广大一线教师需要全方位思考，挖掘问题的本质，引导学生归纳总结解决问题的通性通法．下面以广东省2022年中考第23题为例，阐述如何通过问题驱动探求解决问题的路径，从而寻找问题的自然解决之道．

（广东省2022年中考第23题）如图1，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

2试题分析

在“双减”大背景下，中考试题要有一定的区分度，但也要严格控制难度．本题的第一个特色是表现形式简单自然，层次分明，思维难度适中，让不同学生都有发挥的余地．第（1）问立足于教材，考查二次函数的基础知识，难度不大．第（2）问高于教材，对学生的思维能力提出较高的要求，难度较大，很多学生在这一问陷入了困境．教师引导学生多研究此类题目，有利于学生夯实基础，为后续学习作好铺垫．

坚持素养立意也是《义务教育数学课程标准（2022年版）》对学业水平考试提出的命题原则．本题的第二个特色是立意于几何直观、运算能力、推理能力和模型观念的考查．因为第（2）问需要先构造二次函数模型，再求二次函数的最大值，所以如何建立数学模型是关键．由于所求三角形的三个顶点有两个动点和一个定点，所以求三角形的面积有很多种构造的方法．选择的自变量不同，则构造的二次函数不同；选择的方法不同，则计算的复杂度也不同．

3教学功能

利用二次函数解决问题是历年中考的重难点所在，此类问题题型多变，可以与较多知识点综合考查．为了体现中考的选拔功能，中考命题时，二次函数只作为背景，与最值问题、模型问题、动点问题等综合命题，而动点问题常常以压轴题出现．此题作为代几综合题的压轴题，难度适中，思维全面，涵盖二次函数、一次函数、三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、铅垂法求三角形的面积等知识，非常适合作为第二轮复习的典型例题进行讲授，真正能起到“解一题，学一法，通一类”的深度学习的目的．

第二轮复习既要兼顾基础，又要在强化基础的前提下提升能力，关注学生综合能力的发展．在选题时不能盲目拔高，选题、讲题、练习都要注重基础性，从基础出发，逐步提升．第（1）问考查二次函数解析式的求法，学生可以用代入法求解，也可以用交点式快速得解．通过此问总结归纳求二次函数解析式的方法和技巧，促进学生对二次函数教学内容的整体理解与把握，培养学生的运算能力和推理能力．

第（2）问以抛物线作为背景，涉及动点问题的考查，只要学生认真分析，基础好的学生都能解决，但存在的普遍问题是学生不能将动态问题静态化和模型化．此问以三角形的面积最大值为纽带，重点考查学生分析问题和解决问题的能力，学生要分析图形的结构，挖掘图形的本质，寻找有效的解决路径．在解决问题的过程中，教师引导学生对不同的解法进行对比和反思，让学生能够更深刻、更全面地理解数学，促使学生的能力拾级而上，步步提高．

4教學实施

4.1基础设问，回顾旧知

第（1）问是对二次函数解析式的考查，知识简单，学生只需把点A，B代入求值即可．这一问还可以利用交点式直接写出二次函数的解析式，方法更加便捷，尤其是对于二次项系数比较复杂的二次函数，这种方法的优势愈加明显．

问题1除了直接把两个点代入二次函数的解析式，还有其它的方法吗？

问题2如果把抛物线的解析式变为y=38x2+bx+c，用哪一种方法求解更简洁呢？

解因为抛物线与x轴的交点是A（1，0），B（-3，0），可得y=38（x+3）（x-1）=38x2+34x-338.

教学说明先展示学生的解法，然后教师提出两个问题，引导学生对比不同解法的优缺点．

归纳二次函数的一般式是y=ax2+bx+c（a≠0），当表达式中含有三个参数时，需要代入三个点解方程组；当含有两个参数时，需要代入两个点求解；当含有一个参数时，只需要代入一个点即可．当已知二次函数图象与x轴交于两点，优先选择交点式；当已知二次函数的顶点坐标时，优先选择顶点式．通过以上的分析，教师引导学生在求二次函数解析式时要灵活、恰当地设二次函数解析式，从而化繁为简，化难为易．

4.2问题驱动，探寻通法

对于求三角形的面积，学生最熟悉的是三角形的三个顶点为“三定”或者“两定一动”的，这里变为“两动一定”求最大值的问题，难度加大，但是表示三角形面积的方法是不变的，教师要引导学生对△CPQ的面积进行巧妙地转化．

思路1利用“现成图形”割补

问题3设P（m，0），你能用含有m的式子表示哪些线段呢？

问题4你能用含有m的式子表示哪些三角形的面积呢？

教学说明通过问题3，引导学生用含有m的式子表示图形中的线段，如PB，PO，PA，PQ，AQ，CQ等，为求△PCQ的面积进行定向引导，引导学生有目的地寻找问题的解决策略．通过问题4，引导学生用含有m的式子表示某些三角形的面积．通过计算和思考，学生自然联想到用现有的图形进行割补，从而得到解法1，2．

解法1（利用相似的性质求高）如图2，设P（m，0），则PA=1-m，因为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，所以求得C（-1，-4），因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以QECF=APAB，从而求出QE=1-m，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，因为a=-12<0，所以当m=-1时，S△CPQ有最大值，且最大值是2，此时点P的坐标是（-1，0）.图2

解法2（利用相似的性质求面积）如图2，设P（m，0），因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以S△APQS△ABC=APAB2，即S△APQ8=1-m42，从而求出S△APQ=（1-m）22，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，从而得证.

思路2利用“直接法”求面积

当三角形的底和高比较容易求（或表示）出时，经常采用直接法．

问题5你能求出△CPQ的高吗？

教学说明通过问题5，引导学生用含有m的式子表示△CPQ的高，从而得到解法3，4．

图3解法3如图3，过点P作PM⊥AC，垂足为点M．首先利用平行线分线段成比例定理得关系式CQAC=BPAB，求出CQ=5（m+3）2，接下来只须求出高PM即可．在Rt△AMP中，易得PMAP=sin∠BAM=25，求得PM=2（1-m）5，从而求得S△CPQ=12CQ·PM=12·5（m+3）2·2（1-m）5=12（m+3）（1-m），从而得证．图4

解法4如圖4，利用相似的性质，得PQBC=APAB，即PQ25=1-m4，求得PQ=5（1-m）2．过点C作CM⊥PQ，垂足为M，只须求出CM即可．利用两平行线间的距离相等，联想到过点P作PN⊥BC，垂足为N．在Rt△BNP中，易得PNBP=sin∠ABC=25，求出PN=2（m+3）5，从而得证．

解法3，4是利用相似求出三角形的一边，再求出对应边上的高，直接求出三角形面积.求三角形的高的方法有等面积法、相似、三角函数、平行线间的距离、勾股定理等.解法3利用∠BAM的正弦函数求高，也可以利用三角形相似的性质求高.解法4利用了平行线间的距离相等和∠ABN的正弦值求高.

思路3利用铅垂法分割三角形

在二次函数中用铅垂法求三角形的面积是非常方便、快捷的，也是学生更容易联想到的方法．在考试中很多学生尝试用铅垂法来解决问题，但陷入了困局，归其原因是没有真正掌握铅垂法的本质．

问题6你能用铅垂法求出△CPQ的面积吗？

教学说明通过问题6，引导学生用不变的方法来解决变化中的三角形的面积，进而让学生对“铅垂法”求面积有更深刻地理解．

解法5如图5，过点P作PM⊥x轴，交直线AC于点M．容易求得直线AC的解析式是y=2x-2，可设M（m，2m-2），所以PM=2-2m.过点Q和C分别作QE⊥PM，CF⊥PM，垂足分别为E，F．S△CPQ=12PM（xQ-xC）=12（2-2m）（xQ+1），所以只须求出xQ即可.因为直线BC的解析式为y=-2x-6，所以可设PQ的解析式为y=-2x+n，把点P（m，0）代入可求出解析式为y=-2x+2m，联立直线AC和PQ的解析式y=2x-2，y=-2x+2m，解得x=m+12，从而得到xQ=m+12.

解法6（根据Q所处三角形的特点考虑）如图6，根据抛物线的对称性可得AC=BC，所以∠ABC=∠BAC，根据PQ∥BC，可得∠APQ=∠ABC，所以∠APQ=∠BAC，可以得到△APQ是等腰三角形，过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，则E为AP的中点，所以可以求得E1+m2，0，从而得证.

解法7（借助相似或三角函数）如图6，先利用△APQ∽△ABC，所以AQAC=APAB，从而求出AQ=5（1-m）2，过Q作QE⊥x轴，垂足为E，利用三角函数可以求出AE=1-m2，所以xE=xQ=1-1-m2=1+m2，从而得证.图7

解法8（过点C作铅垂高）如图7，过点C作CM⊥x轴，交直线PQ于点M．容易求得直线BC的解析式是y=-2x-6，从而求得直线PQ的解析式是y=-2x+2m，则M（-1，2m+2），所以CM=2m+6．

那么如何求xQ-xP？过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，由解法6可知，△APQ是等腰三角形，则E为AP的中点，所以PE=12AP=1-m2，S△CPQ=12CM（xQ-xP）=12CM·PE=12（2m+6）·1-m2，从而得证.

解法9（过点Q作铅垂高）如图8，9，设P（m，0），过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，交直线PC于点M.

（1）当m≠-1时，求得直线PC的直线解析式是y=4m+1x+4m+1-4，由解法6，7，8可知xE=xQ=xM=1+m2，从而yM=4m+1-2，所以由tan∠BAQ=EQAE=2，AE=1-1+m2=1-m2，所以EQ=1-m，可得yQ=m-1.所以QM=yQ-yM=m+1-4m+1，xC-xP=m+1，

S△CPQ=12QM·xP-xC=12m+1-4m+1·m+1=12（m+1）2-2=-12（m+1）2+2<2；

（2）当m=-1时（如图10），S△CPQ=12×4×2=2.

综上所述，当m=-1时，△CPQ的面积有最大值.

归纳本问旨在让学生通过不同的方法求△CPQ的面积，拓宽解题思路，积累数学活动经验，加深对铅垂法的深刻理解.

4.3变式探究，挖掘本质

问题7请你结合原题，设计一个求三角形面积的题目.

教学说明学生设计的问题有以下几种：（1）如图11，设抛物线与y轴交于点M，求△BCM的面积.（2）如图12，点P为线段BM下方抛物线上的一点，求△PBM的面积最大值.（3）如图13，点P为线段AB上的一个动点，过点P作PN∥AC交BC于点N，求△PCN的面积的最大值.（4）如图14，点P为线段AB上的一个动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q，过点P作PM⊥x轴，交直线BC于点M，求△PMQ的面积最大值……教师对学生发现和提出的问题进行梳理，帮助学生透过题目表象发现数学本质，寻找解决问题的最佳路径.问题（1）是一个“三定点”的三角形，学生可以利用铅垂法、直接法、补图作差法等方法解决；问题（2）是“两定一动”求最大值的问题，铅垂法、补图作差法、等积转换法是常用的方法；问题（3）与原题第（2）问类似，可以用来检验学生对例题的掌握情况；问题（4）是“三动点”问题，可以利用“直接法”求三角形的面积，对学生的能力要求较高.通过这个环节，学生经历了画图、猜想、计算、验证等活动，设计出不同类型的变式，以此提高学生发现问题和解决问题的能力.

4.4小结提升，凝练结构

师生共同完成本节课的思维导图，见图15.

5教学启示

5.1重視一题多解，探寻通性通法

专题复习课教学中，教师要充分挖掘教材或中考题的资源，实现和发挥试题的价值和功能.本题作为中考题的压轴题，很多一线教师对此颇有看法，故在备考中大部分教师简单练随意评，然后再找同一类型的题目进行反复训练，这样做就丧失了它应有的价值，学生的能力也没有得到提升.教师应通过“一题多解”引导学生寻找解决问题的通性通法，凝炼解题的数学思想和方法，让学生达到心中有“法”，但无定“法”的境界.如本题第（2）问求三角形的面积可以选择不同的“割补”方法，其中解法5，6，7是铅垂法的变式，这是教师在教学中常忽略的方法.当用铅垂法求面积时需要考虑过哪一个点作铅垂高，这是问题解决的关键所在.当动点P位于两个定点之间时，显然直接过点P作铅垂高即可求出，但是如果过点C作铅垂高，学生会陷入了困局，因为铅垂高与一条动直线相交，需要用到求含参的函数解析式.如果学生不会求含参的函数解析式，用铅垂法求三角形的面积难道就无法解决了吗？此时在△CPQ中，只有C是定点，我们可以选择过点P或Q作铅垂高，可以发现过点P作铅垂高是比较可取的.教师要引导学生发现铅垂法求三角形面积的本质：过一动点作x轴的垂线，交另外两点所确定的直线（定直线）于一点，从而确定铅垂高，这也是解决斜三角形面积最大值问题的通法.只有这样，教师才能引导学生探寻问题的本质，从而更好地培养学生思考问题和研究问题的能力.

5.2凸显主体地位，发展核心素养

章建跃博士提出，“理解数学，理解学生，理解教学，理解技术”是提高课堂教学效能的奠基工程[1].在这“四个理解”中，只有理解学生才是提升教学效能的关键.本课设计的问题1，2意在唤醒学生对二次函数解析式的回忆和再认识.问题3—6立足学生已有的数学经验，让学生经历寻找最优解法的过程.江苏特级教师卜以楼倡导教学生学习具有生长力的数学，让学生发现、让学生发明、让学生发展，让学生把握数学学习、数学认识过程中最具有活力的东西，从而在数学上找到可以传承的“硬核芯”[2].问题7是一个开放性的问题，学生从已有知识和方法出发，创造出不同类型的变式，通过这个问题促进了学生思维的有序生长，培养了学生的几何直观能力、推理能力、运算能力、数学抽象能力和创新意识.教师引导学生盘点本节课的研究内容、研究方法和研究路径，从而让学生得到解决这类问题的“一般观念”，也可以类比得到解决其它几何图形的“一般套路”.在复习课上，教师应引导学生构建完备的知识体系，探寻解决问题的策略和方法，让学生逐步掌握研究几何的“硬核芯”，进而提升学生的数学核心素养.

参考文献

[1]章建跃.数学教育随想录：上卷[M]．杭州：浙江教育出版社，2017：600.

[2]卜以楼.生长数学教学概论[M]．西安：陕西师范大学出版总社，2022：55-56.

作者简介王广锋（1982—），男，山东济南人，中学高级教师，广东省张青云名教师工作室助手，东莞市教学能手;主要研究课堂教学改革探索和中考试题;发表论文10余篇.

基金项目东莞市教育科研“十四五”规划课题“基于核心素养的初中数学单元整体教学的实践研究”（2023GH084）.