“胡不归”问题的跨学科领域解决策略

【摘要】“胡不归”问题考查学生对知识的综合运用能力，是近些年各省市中考命题的重要考点.文章以丰富的实例，阐明了利用光程最短原理，从研究光的运动方向和运动路径着手，结合构造含特殊角的直角三角形，使“胡不归”问题的研究更加直观、形象，研究过程更简便、快捷，更容易被学生理解和接受，同时有利于学生形成运用跨学科知识解决问题的意识，逐步提升学生的学科核心素养.

【关键词】光程最短原理;胡不归问题;解决策略

0前言《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出：“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，带动课程综合化实施，强化实践性要求.感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.”[1]

在初中数学解题教学中，通过与其他学科领域的联系，可以帮助学生更好地理解数学本身，培养学生更加全面解决问题的能力[2].这既是落实数学课程标准的需要，也有利于学生形成运用跨学科知识解决问题的意识，逐步提升学生的学科核心素养，同时在某些情况下还能取得意想不到的教学效果[3].

平面几何中著名的“胡不归”问题注重考查学生对知识的综合运用能力，虽然主要考“垂线段最短”这个比较简单的知识点，但由于涉及动点和需要构造含特殊角的直角三角形，是近些年各省市中考命题的重要考点之一，学生研究起来普遍感觉很吃力、很困难，得分率一直不高.以前的教学，我们通常直接给学生讲，需要在什么点、在哪一侧构造含特殊角的直角三角形，更多的让学生在记忆的基础上勉强得出答案.而对于为什么要这样构造，由于学生尚处于初中阶段，还没有学习高中数学中的向量，对这类问题的理解存在认识上的一些天生不足，教师讲解很少，即使有些同学知道怎么做才对，可能也是知其然而不知其所以然，学生根本无法真正理解和掌握.

光程最短原理是由法国数学家费马提出来的，是一个物理学上面的知识.光沿直线传播，光程是光运动的最短路径，是初二上期就学习的内容.利用光程最短原理，从研究光的运动方向和运动路径入手，结合构造含特殊角的直角三角形研究“胡不归”问题，会有意想不到的作用和效果.1利用光程最短原理解决“胡不归”问题

例1如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，Q为线段AC上一动点，试求BQ+12AQ的最小值.

简析本题的难点有两个：一是引导学生构造含30°角的直角三角形，从而构造线段12AQ；二是在什么地方构造含30°角的直角三角形，为什么在∠BAC的顶点A处构造？为什么在∠BAC的边AC的右侧而不是左侧？

由于点B为定点，虽然点Q为动点，但线段BQ的系数为1，所以线段BQ不需要构造.我们不妨引导学生在线段AC上任选一点Q，假设光从点B出发，先到达线段AC上的点Q，然后从点Q到达点A.如图2，我们把光的运动方向和运动路径画出来后，根据光程最短原理，可以发现解这道题的关键在于构造线段12AQ，即用一条从点Q出发的新线段来代替12AQ，且保证这条新线段与12AQ相等同时新线段的运动方向与BQ运动方向更接近于一条直线.很显然，需要在∠BAC的顶点A处和边AC的右侧构造一个含30°角的直角三角形.我们以A为顶点、AC为边作∠CAM=30°，然后过点Q作QD⊥AM交AM于点D，则QD=12AQ且点Q到点D的运动方向比点Q到点A的运动方向与点B到点Q的运动方向更接近于一条直线.由于点B为定点，射线AM为确定射线，根据垂线段最短，我们过点B作BE⊥AM交AM于点E.因为BQ+12AQ=BQ+QD，所以BQ+12AQ的最小值为线段BE的长，所求符合条件的点Q为线段BE与AC的交点.在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠BAE=60°，AB=2，则BE=3，即BQ+12AQ的最小值为3.

通过此题的学习，学生很容易明白：因为30°的正弦是12，所以需要构造含30°角的直角三角形.通过画出光的运动路径和运动方向，学生也很容易弄懂为什么要在∠BAC的顶点A处和边AC的右侧而不是左侧构造.

例2如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=10，Q为线段AC上一动点，试求2BQ+AQ的最小值.

简析因为2BQ+AQ=2（BQ+22AQ），不妨在线段AC上任选一点Q，假设光从点B出发，先到达线段AC上的点Q，然后从点Q到达点A.如图4，我们把光的运动方向和运动路径画出来后，我们发现解这道题的关键在于构造线段22AQ，即用一条从点Q出发的新线段来代替22AQ，且保证这条新线段与22AQ相等同时新线段的运动方向与BQ运动方向更接近于一条直线.我们以A为顶点、AC为边作∠CAM=45°，然后过点Q作QE⊥AM交AM于点E，则QE=22AQ且点Q到点E的运动方向比点Q到点A的运动方向与点B到点Q的运动方向更接近于一条直线.由于点B为定点，射线AM为确定射线，根据垂线段最短，我们过点B作BF⊥AM交AM于点F.因为BQ+22AQ=BQ+QE，所以BQ+22AQ的最小值为线段BF的长，所求符合条件的点Q为线段BF与线段AC的交点.在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=60°，AB=10，则BF=53，即BQ+22AQ的最小值为53，所以2BQ+AQ的最小值为56.

例3如图5，在正方形ABCD中，AB=2，点P是对角线BD上一动点，若PA+PB+PC的值最小，试求点P的位置及PA+PB+PC的最小值.

简析本题除了可以运用解决“费马点”问题的方法解答外，也可以利用解决“胡不归”问题的方法解答.由正方形的轴对称性可知：PA=PC，則PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+12PB）.

不妨在线段BD上任选一点P，假设光从点A出发，先到达线段BD上的点P，然后从点P到达点B.如图6，我们把光的运动方向和运动路径画出来后，我们发现解这道题的关键仍然在于构造线段12PB，即用一条从点P出发的新线段来代替12PB，且保证这条新线段与12PB相等同时新线段的运动方向与AP运动方向更接近于一条直线.我们可以以B为顶点、BD为边作∠DBM=30°，然后过点P作PE⊥BM交BM于点E，则PE=12PB且点P到点E的运动方向比点P到点B的运动方向与点A到点P的运动方向更接近于一条直线.由于点A为定点，射线BM为确定射线，根据垂线段最短，我们过点A作AF⊥BM交AM于点F.因为PA+12PB=PA+PE，所以PA+12PB的最小值为线段AF的长，所求符合条件的点P为线段AF与线段BD的交点.在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠ABF=75°，AB=2，则AF=6+22，即PA+12PB的最小值为6+22，所以PA+PB+PC的最小值为6+2.

例4如圖7，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为线段CD上一动点，试求PB+32PD的最小值.

简析以D为顶点、DP为边作∠CDM=60°，然后过点P作PE⊥DM交DM于点E.因为sin60°=32，则PE=32PD且点P到点E的运动方向比点P到点D的运动方向与点B到点P的运动方向更接近于一条直线.由于点B为定点，射线DM为确定射线，根据垂线段最短，我们过点B作BF⊥DM交DM于点F，如图8.因为PB+32PD=PB+PE，所以PB+32PD的最小值为线段BF的长，所求符合条件的点P为线段BF与线段CD的交点.易证点A，D，E在同一直线上，在Rt△BAF中，∠BFA=90°，∠BAF=60°，AB=6，则BF=33，即PB+32PD的最小值为33.

例5如图9，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，AD⊥BC于点D，点M是AD上一点，则BM+35AM的最小值为________.

简析以A为顶点、AD为边作∠DAG交BC于点G，使sin∠DAG=35，然后过点M作ME⊥AG交AG于点E.因为sin∠DAG=35，则ME=35AM且点M到点E的运动方向比点M到点A的运动方向与点B到点M的运动方向更接近于一条直线.由于点B为定点，线段AG为确定线段，根据垂线段最短，我们过点B作BF⊥AG交AG于点F.因为BM+35AM=BM+ME，所以BM+35AM的最小值为线段BF的长，所求符合条件的点M为线段BF与线段AD的交点.利用等面积法，易求BF=7，即BM+35AM的最小值为7.2利用光程最短原理解决“胡不归”问题的主要解题步骤

通过上述实例，可以得出“胡不归”问题的主要解题步骤如下：

一找：找带有系数k的线段ka；若k>1，则将ka+b转化为k（a+1kb）；

二构：画出光的运动路径和运动方向，确定在哪一点（含系数线段的定点）和哪一侧（不含系数线段定点的异侧）构造特殊角，使构造的特殊角的正弦=k（01）；过动点作垂线构造Rt△;哪条线段带有系数，就以它为斜边构造直角三角形；

三化：将线段ka转化为线段c；

四求：使得ka+b=c+b，利用“垂线段最短”转化为求相应垂线段的长度.

利用光程最短原理，结合构造含特殊角的直角三角形研究“胡不归”问题，从研究光的运动方向和运动路径入手，使“胡不归”问题的研究更加直观、形象，研究过程更简便、快捷，也更容易被学生理解和掌握，能较大幅度地提高课堂教学效益.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：人民教育出版社，2022.4：78-88.

[2]孙晓天.如何理解和把握作为核心素养的数学思维：《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“三会”视角下[J].教育研究与评论，2022（05）：35-40.

[3]刘加霞，刘琳娜.“综合与实践”领域的主旨、特征与实施建议：《义务教育数学课程标准（2022年版）》内容解读[J].湖北教育（教育教学），2022（06）：8-10.

作者简介

黄树明（1972—），男，重庆江津人，高级教师;主要研究跨学科领域的初中数学解题教学.