小学毕业生数学运算能力的现状及教学启示

田淑玲

本文系河北省教育科学“十四五”规划2022年度“双示范区”专项课题“创建基于课程标准的小学数学阶段性评价体系研究”（课题编号：2207014）研究成果。

摘   要：《义务教育数学课程标准（2022版）》提出的核心素养之一——运算能力倍受关注。选取近几年小学毕业生质量检测中的数据，通过分析标准差、得分率、试题区分度、平均分四方面的数据，了解目前小学毕业生的运算能力的真实状况，并力求通过分析典型案例得到教学的启示。

关键词：小学数学；毕业年级；运算能力；核心素养；教学启示

中图分类号：G623.5   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2024）01-0057-05

一、研究背景及问题

《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下简称《课标》）在“课程目标”中明确指出“数学课程要培养学生的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”并进一步指出：“在义务教育阶段，数学思维主要表现为：运算能力、推理意识或推理能力。”同时指出“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”还指出运算能力的具体内容是“能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。”培养运算能力的目的是“有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。”

自《课标》实施以来，许多专家教授着眼于小学生运算能力的研究，论述运算能力对提高学生核心素养的重要性。如上海特级教师曹培英老师从课堂教学的角度研究了如何培养小学生的运算能力，并提出一些培养策略。

在小学六年的数学学习中，几乎所有的学习内容都与数学运算分不开，学生是否形成良好的运算能力是检验小学数学学习质量的一个重要标准，同时良好的运算能力还是学生继续完成中学乃至大学学习的一块基石。作为教研员，笔者经常听到教师们抱怨学生的运算能力不如从前的种种说法，深入课堂听课时，发现很多教师知道运算能力特别重要，能引导学生理解算理，总结算法，并让学生反复练习，但学生在计算时仍会出现各种错误，一些学生的运算能力达不到目标要求，甚至有些时候会影响到进一步的数学推理和数学抽象。那么，经过六年的学习和教师悉心培养的小学毕业生的运算能力究竟如何？本文以区域教学质量检测的真实案例对小学毕业生运算能力现状做出研究和探讨。

二、研究数据及方法

本次研究选取某区一次小学毕业生质量检测中的数据及案例，受试学生5992名。此时的学生经历了暑假的休息，遗忘了不少记忆性知识，沒有任何前期复习，所以测试能客观地反应学生经历小学六年的学习所形成的的数学素养。

测试运用“海云天”网络阅卷系统中的试卷分析功能，分别对运算能力的平均分、标准差、试题区分度、得分率四方面的数据进行收集，通过后期的数据分析反应学生运算能力的获得状况。其中平均分反映的是考生分数的一般水平；标准差可以反映考生分数的波动性大小，标准差越大说明考生分数的波动性越大；试题区分度是反映试题对考生素质的区分情况，数值在-1～1之间，数值越高说明试题设计越好，一般区分度要在0.3以上。区分度与难度有关，中等难度的题目区分度比较好；得分率是平均分占总分的百分比。

三、数据分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）解读》一书中指出：运算能力是核心素养在小学阶段唯一作为“能力”要求的行为表现，主要包括四个方面：

1.能够根据运算律、运算法则和运算程序熟练的进行数的四则运算；

2.理解运算对象、运算律与算法之间的关系，感悟运算一致性；

3.能够通过运算解决数学问题和简单的实际问题；

4.能够通过运算探究、发现简单的数量关系与规律。

结合这次小学毕业生质量检测题目的特点，仅对以上四个方面的第“1”和第“3”两个方面进行了数据的统计（如表1）。为了方便研究，本文还从数学素养的推理意识、数感、符号意识、运算能力、空间观念、数据意识六个方面收集数据，以期通过对比，得到目前学生运算能力的现状。

综合分析上表，发现本次测试中数学运算试题的区分度分别为0.53和0.65，仅低于数据意识的区分度0.83，且1>0.53>0.3，1>0.65>0.3说明本次测试考察运算能力的试题命制较其他题目更合理、科学，能较好的区分学生的运算能力的高低；在各项能力指标中数学运算得分率为0.79和0.67，仅高于符号意识0.66，说明本次测试中学生在数学运算方面的得分低于数感、符号意识、直观想象，且仅高于数学抽象；同时数学运算的标准差最高，说明存在较强的两级分化现象。整体看，在小学数学各项能力中，数学运算的能力偏弱。

进一步分析运算能力的两个层次，统计结果显示学生在第“1”方面“能够根据运算律、运算法则和运算程序熟练地进行数的四则运算”上的得分率高于第“3”方面“能够通过运算解决数学问题和简单的实际问题。”说明第“1”方面的能力高于第“3”方面的能力，并且第“3”层次的标准差远远高于第“1”层次，说明第“3”层次的运算能力存在较高的两极分化现象。

四、现状分析及对策

基于上面的统计结果，值得思考的两个问题是“为什么会有这样的结果？面对这样的结果我们该怎么做？”我们不妨从学生的答题情况寻找答案。

从本次测试看，多数学生完成计算题和解方程题时，不论是否能运用简便算法，都做到了算法正确，算理明晰。可见教师在平日教学中对学生的要求是到位的，传统的计算教学是卓有成效的。

但是，细观学生的答题过程，发现目前仍存在学生对四则运算的意义理解不到位，对法则、规律的特征把握不准导致运算能力缺失的现象。选取其中出错频率较高的题目，针对答题的实际情况，挖掘提高学生运算能力的空间。我们一共发现了6种现象如下：

（一）分数、小数不能合理互化，造成计算难度加大，或计算错误

小数、分数互化的知识是在小学五年级学习的，通过本次测试发现部分学生没有掌握分数、小数互化的方法，并且运算过程中不能判断分数、小数是否需要互相转化。如：当算到4.6x=289.8时，可得到x=289.8÷4.6，不需要把4.6转化成分数。但学生把4.6化成分数进行计算，转化出现错误，导致结果错误。学生把4.6化成分数计算，虽然计算结果正确，但加大了运算的难度。同理，学生把分数化成小数计算，互化出现错误，导致结果错误。

（二）解题方法多样化，但有些方法、过程缺乏优化

《课标》指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”教学过程中，学生经历自主运算的过程后必然出现算法多样化的现象，此时教师引导学生对不同的算法进行对比优化很有必要。通过本次测试发现学生解答计算题时用到的方法比较多，但缺少优化。如：一道解比例的题目，运用比例的基本性质，将2.5：12=：x转化成2.5 x =12 ×，再解方程是最佳方法，但学生先把比转化成除法，使比例式转化成方程再解方程，尽管计算结果正确，但加大了运算的难度。

（三）不能根据题目特点寻求合理简洁的运算途径，导致结果错误

乘法分配律的知识是在小学四年级学习的，之后教材上便很少出现利用运算定律解决问题的例子，教师们在教学中多少有些忽视，导致学生们在运算时出现一个怪现象，即只有要求用简便方法计算时才意识到使用运算定律简算。而本次测试恰恰没有要求学生用简便方法计算，很多学生便没有简算的意识了。虽然不用简便方法算不会丢分，但能够根据题目特点寻求合理简洁的运算途径解决问题是运算能力的内涵之一，学生简算的意识缺失也是运算能力缺失的一个方面。如：利用乘法分配律进行计算是最简洁的方法，但部分学生对乘法分配律的特征没有掌握，或者说是没有养成用简便方法计算的习惯。还有一些学生把分数转化成小数或是把小数转化成分数计算，虽然都能计算，但是难度明显加大，而且发生错误的几率也明显增加。

针对以上问题，建议教师在小学低年级就重视学生的运算能力，积少成多，才能蜕变成蝶。平时的教学中还要细心发现来自学生的不同算法，并善于把几种算法都呈现出来，让学生们经历观察、比较、思考的过程，自主发现计算简捷、步骤精炼的最优的运算方法，让学生掌握一定的计算技巧。

（四）运算的法则、方法缺失

分数除法、乘法、约分的知识是在小学五年级学习的，通过测试发现，部分学生一直到小学毕业也没有突破了这个难点。如：学生在遇到分数除以分数时，不会计算两个带分数的除法，或对约分的知识不敏感，导致错误。等式的基本性质是小学五年级的知识，但多数学生在解方程时不愿意使用或使用不当。比例的基本性质是六年级的知识，学生运用时常发生内外项的错乱。如： 2.5x=，往下算时，运用乘法各部分间的关系“一个因数=积÷另一个因数”出现问题。遇到这样的问题时，约70％的学生会自觉地运用乘法各部分间的关系继续往下算，如果学生运用等式的基本性质，将方程的左右两边同时除以2.5，就会避免错误的发生。还有对比例的基本性质掌握不好导致的错误。有学生不愿意接受方程的性质，嫌弃书写繁琐的原因，更有教师教学的因素，建议教师认真领会教材的编排意图，加强校本研修，改进教学方法，加强算理教学，让学生感受计算的合理性。

（五）不关注细节，因小失大现象较多

小学生除了学习数学知识外，更重要的是要养成良好的学习习惯，为今后的人生奠定良好的基础。本次测试发现学生因为心里毛糙，解题步骤书写不全，或书写乱、反复涂改导致结果错误的现象较多。遇到结果不能除尽时，有的学生在计算时出错、有的在保留近似值的时候出错，这样的错误人数约占总参考人数的15.1%。建议教师平时多发现学生书写的问题，并给学生提供自我查找问题的机会，知道提高运算能力要关注细节，书写完整、整洁可以避免小毛病的发生。

（六）在综合运用已掌握的计算方法、运算法则、选择适当的方法求得结果时，分步计算的結果出错严重

整体上，从《课标》提出的学生学习的四个层次看，学生在了解、理解、掌握三个层面的学习效果优于运用层面。如，学生能分别理解、掌握单位换算、计算时间和按比例分配问题，但当把单位换算、计算时间和按比例分配三个问题综合起来放在一个情境下时，学生就出现各种各样运算的问题。如：

小明和小强两家相距2.4千米，星期天两人约好从各自家里步行出发相向而行，见面后一起去图书馆。他们上午8：50出发，9：10分见面了，小明和小强步行的速度比是11：13。小明和小强每分钟各走多少米？

本题参考答案如下：

经过时间：9点10分-8点50分=20分

单位换算：2.4千米=2400米

速度和：2400÷20=120（米/分）

小明走的路程：120×=55（米/分）或120÷（11+13）×11=55（米/分）

小强走的路程：120×=65（米/分）或120÷（11+13）×13=65（米/分）

分析答题情况统计数据（见表2）发现，在所有答题出现的错误中，分步算式计算结果出现的错误占到错误总量的（7.73%+8.25%+9.75%+11.15%+0.41%）38.29％，近40％ ， 这是一个值得思考的数据，里面隐含了巨大的提升空间。

表2 答题情况统计表

五、教学启示

尽管这次检测仅是一次评价，数据也有一定的偶然性，但从一个侧面反映出小学毕业生运算能力的实际状况，即目前小学毕业生的运算能力弱于其他各项素养，并且只有当学生面对现成的计算题，需要直接运用法则求得结果时，才会表现出较好的的运算能力，而当他们面对一个实际问题，需要理解算理和运算对象，分析数量关系，选择运算方法求得结果时，表现出的运算能力较弱，并且两极分化严重。分析学生答题情况给我们的启示是提高小学生的运算能力需要日积月累，第一，从计算的合理性入手，理解算理和运算的一致性是关键，而非单纯地练习口算；第二，不能忽视计算的技巧性，要重视计算方法、技巧的总结，特别是在解决问题的过程中也要重视运算的技巧性；第三，适度练习，才能提高计算的准确性。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版集团，2022.4.

［2］义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］.北京：北京师范大学出版集团，2022.8.