微专题引领二轮复习 函数思想解范围问题

高小娟

【摘要】高三二轮如何高效地复习？依托针对性比较强的“微专题”，帮助学生对基础知识进行梳理、对题型进行归纳、对数学思想进行提炼，解决某类问题并掌握该类型问题的通性通法，不仅能梳理知识结构，并且能强化学生对知识的理解，提高数学素养.解三角形范围问题是学生学习的难点，也是高考的重点，借助函数的思想将解三角形的范围问题转化为函数的范围问题，是通性通法.笔者通过设计利用函数思想解三角形范围问题的微专题复习，让学生掌握解三角形范围问题的要义，并且对这一类问题进行融会贯通，做到学生学有所得.

【关键词】微专题；函数思想；解三角形

1  引言

新课标提出“四基”“四能”，对学生的要求由“双基”向“四基”转变，在以前的基础知识、基本技能上，增加了基本思想和基本活动经验，意味着学生不能只是简单地掌握知识和题型，而要从中提炼出数学思想方法，并且要参与到课堂过程中，让学生了解知识的产生过程，通过探究总结出技能和方法，在探究中收获学习的经验，渗透数学核心素养［1］.

2  微专题引领高三二轮复习

复习课是高三教学的主旋律，也是一种常态课.学生在一轮复习之后，需要对知识进行重新整合，而很多教师的二轮复习则是从高考的几大主干知识按模块或者思想方法进行大专题复习，范围广主线不明显，显然效果不是很好，并且多以习题课为主，过量的习题评讲会让学生疲惫不已，学习效率低，学生获得少，如何解决这个问题呢？笔者觉得“微专题”复习是种有效的教学策略.

微专题复习的特点的“微”、“小”，教师可以根据高考中的高频考点、难点、或者某种思想方法进行针对性讲解，进行专项训练，变式训练，不断强化［2］.依托针对性比较强的“微专题”，帮助学生对基础知识进行梳理、对题型进行归纳、对数学思想进行提炼，解决某类问题并掌握该类型问题的通性通法，不仅能梳理知识结构，并且能强化学生对知识的理解，培养数学素养.

3  函数思想在解三角形中的重要性

解三角形是高考数学中的高频考点，其中求范围或最值的问题更是常见，这类问题比较综合，且题型比较灵活，是学生学习的难点，如何让学生从本质上掌握这类问题的解法，掌握通性通法，是高三老师需要探究的问题.笔者认为需要引导学生从思想的层面把握，借助函数的思想将解三角形的范围问题转化为函数的范围问题，那么此类问题将迎刃而解.利用函数思想研究最值问题，能帮助学生理解数学知识，同时也促进了自身的思维能力，培养了学生的数学核心素养［3］.笔者通过设计利用函数思想解三角形范围问题的微专题复习，让学生掌握解三角形范围问题的要义，并且对这一类问题能够融会贯通，做到学生学有所得.

4  教学过程的实施

依据本微专题的设计理念设计课堂教学，让学生通过感受体会，进行数学抽象，建立目标式的函数关系式，转化为函数的最值问题，拓展学生的思维，发展逻辑推理的能力.

4.1  數学情境，感知解三角形范围问题背景

例1  （2011年新课标Ⅰ）△ABC中，B=60°，AC=3，则AB+2BC的最大值为    .

让学生共同探讨来解三角形，并提出问题1：你能解这个三角形？为什么？

4.2  数学探究，抽象解三角形范围问题特征

问题2  解一个三角形需要已知什么条件？

学生  需要知道三角形中的三个量，知三求三.

师生活动  本题中已知一边一对角，无法解出三角形，还需增加一个条件.

问题3  需要引进什么变量？

师生活动  需引入一个新的变量，凑足三角形的三个条件.本题已知B=60°，∠A与∠C关系确定，满足∠A+∠C=120°，可以相互表示.不妨引进一个角θ作为变量，则C可以用120°-θ来表示，可以借助正弦定理把所求的两边用θ有效表示出来.

解析  设A=θ，由于∠A+∠C=120°∠C=120°-∠θ，θ∈0°，120°

由正弦定理得，BCsinA=ACsinB=2BC=2sinθ

ABsinC=ACsinB=2AB=2sinC

=2sin120°－θ=3cosθ+sinθ，

所以AB+2BC=3cosθ+5sinθ

=28sinθ+φ=27sinθ+φ，

其中tanφ=35，

因为θ∈0°，120°，所以当θ+φ=90°时，AB+2BC的最大值是27.

设计意图  数学探究环节通过问题串引领学生思考，引导学生对于解三角形的范围问题，当已知量不够时，可以通过引进一个变量，将目标式转化为关于变量的函数解析式，进行求出函数的范围.

4.3  数学体悟，概括解三角形范围问题要义

问题4  提炼上述解三角形的范围问题的思路

引入新变量？偼t正弦定理（边用角来表示）？偼t消元（化为单一变量）？偼t构造三角函数（注意自变量的取值范围）？偼t求函数的最值

聚焦解三角形问题，学生认知的起点就是正弦定理和余弦定理，其一般方法是知三求三.通过例题1，让学生感知两个变量无法解三角形，必须再引进一个新的变量.选取角作为自变量，利用正弦定理，借助三角函数的有界性来研究最值，让学生感受到求解三角形范围（最值）问题的一般方法，提炼出函数思想的重要性.利用函数求最值是通式通法，其关键是要巧妙选取变量，提出本节课的重点——如何巧设变量来求解三角形的范围问题.

4.4  数学内化，辨析解三角形范围问题内涵

例2  （2019全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

问题5  如何满足△ABC为锐角三角形？

师生活动  只要角A和C为锐角即可.

问题6  应如何选取自变量？

解析  （1）B=π3（过程略）.

（2）方法1  因为△ABC是锐角三角形，B=π3，由A+B+C=π得到A+C=23π，

故0

不妨设C=θ，则A=23π-θ，

由正弦定理asinA=csinC，c=1，

可得a=csinAsinθ=sinAsinθ=sin2π3－θsinθ

=32cosθ+12sinθsinθ=32tanθ+12，

由三角形面积公式有：S△ABC=12ac·sinB=34a=381tanθ+38.

又因为π6<θ<π2，tanθ>33，

故38<381tanθ+38<32，

故38

故S△ABC的取值范围是38，32

问题7  能否引进边为变量呢？

方法2  引进变量a，不妨设a=x，

由余弦定理b2=a2+c2－2ac·cosB=a2+1－2a=x2+1－2x  ①，

由于△ABC是锐角三角形，

所以有b2+a2>1，b2+1>a2，

将①式代入得2x2－x>0，x2+1－x+1>x2，

解得12

所以三角形△ABC的面积为S△ABC=12ac·sinB=34x∈（38，32）

问题8  总结解三角形范围（最值）问题的一般思路.

设计意图  通过例2，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等建立所求量的边或角的关系，转化为边或角的函数关系，进而求函数的最值.辨析解三角形的范围（最值）问题的方法，引导学生选取自变量来构造函数，借助函数思想求解范围问题，凸显函数思想的重要性.

4.5  数学应用，深化解三角形范围问题理解

例3  △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=π3，△ABC为锐角三角形，且a+c=2，求b的取值范围．

分析  本题多加了锐角三角形这个条件，如果选取边作为变量，直接运用余弦定理求解会导致a的范围不准确.关注到对三角形形状有所限制，所以考虑以角为自变量展开研究.利用正弦定理将b用角来表示，根据锐角三角形，可以限制角的范围，进而借助三角函数的相关知识来解决.

5  教学思考

微专题复习旨在让学生学有所得，在高中数学解三角形范围问题的复习过程中，此部分内容也是比较基础和重要的部分，学生掌握得不理想，基于此利用微专题进行复习是非常有必要的.

5.1  微专题复习的时机要恰当

微专题复习要与大专题模块复习相结合，作为大专题模块复习的补充，应该在大专题模块复习中或者复习之后，有针对性地选择专题复习.微专题复习要选择恰当的时机，比如在大专题模块复习时学生对某块知识理解有困难的点、学生易错的高频考点、针对某种数学思想方法、大专题模块复习结束之后等安排微专题复习.微专题的复习要与专题有机结合，才能达到最好的教学效果，促进学生深度学习［4］.

5.2  微专题复习要把握学生学习的“困难点”

教师要明确考点，洞悉考情，了解学情，针对高频考点，或者学生学生困惑的点安排微专题复习，教学中要取长补短，通过专项突破，帮助学生建立相应地问题解决意识、对知识运用的意识，提升学生的数学思想方法.

5.3  微专题复习要突出学生的深度参与

微专题的复习要突出学生的主体性，教师是微专题的设计者、主导者，要让学生参与表达、活动、思维的过程，才能实现深度学习，体现微专题的价值，实现深度复习的目的，真正做到学有所得［5］.

6  结语

本微专题设计旨在解不确定的三角形中的范围问题，通过巧取变量来构造函数，从函数的角度来求范围，渗透函数的思想，从而可以高效地解决此类问题.通过解三角形范围问题的微专题复习，给学生提供了解一类范围最值问题的方向，凸显函数的工具性，帮助学生解决难点，以不變应万变，促进学生的习得.

参考文献：

［1］李宣欧.数学新课标中“四基”“四能”的落实与优化［J］.长春教育学院学报， 2020（10）：7.

［2］孙家和.“微专题”引领学生深度学习的思考［J］.中学数学教学，2021（2）：40-42.

［3］马建文.基于函数思想的高中数学解题教学策略［J］.学周刊，2021（23）：153-154.

［4］孙家和朱金凤.“微专题”引领学生深度学习的思考——以“解三角形范围类问题”为例［J］，中学数学教学，2021（002）：40-42.

［5］张俊.高三数学微专题复习的实践与思考［J］.教学与管理，2020：55-57.