例谈巧设问题链促进学生数学思维发展

毛晶晶 王喆

【摘要】等比数列求和涉及错位相减法，公式的推导过程比较抽象和繁琐.为了激发学生的学习兴趣、突破教学难点，在教学过程中，如何巧妙设置问题链，启发学生一步步地探索公式，促进学生数学思维发展，是本节教学设计的关键问题.

【关键词】高中数学；等比数列求和；错位相减

等比数列求和公式的推导过程中采用自主探究教学法.师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体.以问题为导向，启发学生自主探索公式.课堂导入部分提出植树相关的等比数列求和的问题，让学生构建等比数列求和的模型.继续通过问题引导学生发现逐项相加的方法求和比较繁琐，须引入等比数列前n项和公式进行求解，体会引入公式的必要性.通过“锦囊提示”引导学生开展探究性学习［1］，以小组讨论的方式一步步地推导等比数列前n项和公式，以加深对错位相减法的理解.最后提出问题，让学生利用公式解决前面的“问题2”，体会数学来源于生活又应用于生活.

1  创设情境，引入问题

请学生观看北京沙尘暴视频，思考怎样才能改善沙尘暴的问题.

为改善沙尘暴现状，市民王师傅决心用10天的时间植树：第1天，他自己种1棵树；第2天，他发动一个人和他一起，各种1棵树；第3天，这两个人每人再发动一人加入种树行列，各种1棵树.如此继续下去……问10天一共需要采购多少棵树苗？

问题1  你能计算出前5天他们一共需要采购多少棵树苗？

1+2+4+8+16=31.

问题2  王师傅坚持不懈地发动群众种树，那么种树10天他们一共需要采购多少棵树苗？（各小组讨论）

1+2+4+8+16+32+64+128+512=1023.

小结  比较两问的答案，5天需要31棵，而10天竟然需要1023棵树苗.相信只要群众都有植树的意识，加入植树的行列，沙尘暴的问题一定能够改善.

请学生思考能否用逐项相加的方法计算100天所需的树苗呢？

答案：可以，但是计算量比较大.

2  构建模型，推导公式

引导学生通过观察发现每天所需树苗构成等比数列，100天所需树苗就是计算数列前100项的和.下面我们来研究等比数列前n项和公式.

问题3  若 an是以a1为首项，q为公比的一个等比数列，如何计算前n项和Sn呢？

一般地，设an是一个公比为qq≠0的等比数列，则它的前n项和

Sn=a1+a2+a3+…an－1+an.①

简述三国时期刘备给赵云三个锦囊的故事，激发学生的学习兴趣.下面以“三个锦囊”的形式提示大家一步步完成公式的推导过程.计算有困难可以拆锦囊1.

锦囊1  ①式两边同乘以公比q.

qSn=a1q+a2q+a3q+…an－1q+anq

=a2+a3+a4+…an+an+1. ②

接下来计算有困难可以拆锦囊2、3.

锦囊2  寻找①和②相同的项.

相同的项为：a2，a3，a4，...，an，接下来如何计算呢？如果没有思路可拆锦囊3.

锦囊3  作差消去相同的项.

①-②得：（1－q）Sn=a1－an+1，

当q≠1时， Sn=a1－an+11－q=a1－anq1－q ；

又由于an+1=a1·qn，

所以Sn=a1－a1·qn1－q=a11－qn1－q .

问题4  当q=1时，如何计算Sn？（各小组讨论）

解  当q=1时，

即a1=a2=a3=…=an－1=an，

所以Sn=a1+a2+a3+…an－1+an=na1.

…小结  等比数列前n项和公式为：

Sn=a1（1－qn）1－q（q≠1），na1（q=1），

或Sn=a1－anq1－q（q≠1），na1（q=1）.

3  运用公式，学以致用

问题5  如何用公式计算“问题2”中10天需要采购多少棵树苗？

解  每天种树的棵数构成的数列为 ：

1，2，4，8，16…

所以a1=1，q=2，n=10，

由公式Sn=a11－qn1－q，

所以S10=1－2101－2=1023.

答：10天需要采購1023棵树苗.

4  结语

本节课创新了教学设计，通过以植树为题材设计等比数列求和相关问题，让学生直观感受环境问题日益严重、植树造林的重要性.接着通过设计一系列有梯度的问题，让学生发现用逐项相加的方法在项数较多时计算较繁琐，需要引入等比数列前n项和公式.而在传统教学中学生探究公式存在困难，所以教师在课前自制三个锦囊，内藏三条提示，学生在锦囊提示下一步步地完成了公式的探究过程.这一环节能有效提升学生的学习自信心，加深对错位相减法的理解，突破教学难点.公式的推导过程运算技巧性强，条理清晰，有利于提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养［2］.最后由特殊到一般，用公式来解决前面的问题，让学生学以致用、体会数学的应用价值.

教师在课前设计好具有启发性的问题，以问题为导向，引导学生了解知识产生和发展的必要性和合理性，并学会利用新学的知识和方法解决实际生活中的问题，这对提高课堂教学的实际效果和培养学生的数学学科核心素养方面具有十分重要的意义．

参考文献：

［1］隋雪梅.中学数学中探究性学习的实践分析［J］．文理导航（中旬），2022（04）：10-13.

［2］于秀娟.浅谈中学数学学科核心素养的培养策略［J］.当代家庭教育，2020（24）：35-37.