妙解一道等腰三角形背景下的判断形状问题

孟祥云

【摘要】等腰三角形是初中幾何问题中的一个重要三角形之一.解决等腰三角形问题有两大思路：一是证明三角形的两个腰相等，二是证明三角形中的两个内角相等.本文介绍一道等腰三角形背景下的判断形状问题的几种解法，以供读者参考.

【关键词】等腰三角形；初中数学；解题技巧

对于等腰三角形背景下的判断形状问题，一般来说，需要判断的三角形的形状都是等腰三角形，也有可能是特殊的等腰三角形如等腰直角三角形、等边三角形等.在解答此类问题时要抓住等腰三角形问题的两大思路，寻找相同的角或者边，即可求解.以下是一道典型例题的四种解法.

题目   如图1所示，在正方形ABCD中，点P是线段CB的延长线上的一个动点，连接PA，PD，点M，N分别为BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q，判断△QPM的形状并加以证明.

图1

问题分析  对于此类判断形状的问题，在解题前可以先观察题目所给的图形大致判断形状，此题不难看出△QPM是等腰三角形.之后，以此结论为出发点，理清证明思路，在此过程中可充分利用全等或者相似三角形来得到角或者边相等的结论.

解法1  如图2所示，延长BC至点E，使CE=BP，连接AE.

因为PB=CE，

所以PB+BC=CE+BC，即CP=BE.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.

在△DCP和△ABE中，DC=AB，

∠DCP=∠ABE，CP=BE，

所以△DCP≌△ABE，故∠1=∠E.

因为点M为BC的中点，

所以MB=MC，MB+BP=MC+CE，

即MP=ME，

所以M为PE的中点.

因为N是AP的中点，

所以NM∥AE，

所以∠2=∠E，所以∠1=∠2，QP=QM，

所以△QPM是等腰三角形.

解法2  如图3所示，延长MN交DA的延长线于点E.

过点M作MF⊥AD于点F，则∠AFM=90°.

因为四边形ABCD是正方形，

则∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，

所以四边形ABMF，四边形FMCD均是矩形，

所以AB=FM=DC，AF=BM，FD=MC.

因为点M，N分别为BC，AP的中点，

所以MB=MC，AN=PN，AF=MC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AD∥BC.

所以∠E=∠NMP，

∠EAN=∠MPN，

所以△AEN≌△PMN，

则AE=PM，

所以AE+AF=PM+MC，

即EF=PC，

所以tan∠E=FMEF，tan∠DPC=DCPC，

所以∠E=∠DPC=∠NMP，

则QP=QM，

所以△QPM是等腰三角形.

解法3  如图4所示，过点N作NH⊥PM于点H，

则∠NHM=90°.

因为点M，N分别为BC，AP的中点，

所以MB=12BC，PN=12PA.

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD.

因为∠NHM=∠ABC=90°，

所以NH∥AB，

则NHAB=PNPA=PHPB=12，

所以NH=12AB=12CD，BH=12PB，

HM=BH+MB=12PB+12BC=12PC.

在Rt△NHM中，tan∠QMP=NHHM=CDPC.

在Rt△PCD中，tan∠QPM=CDPC，

所以∠QMP=∠QPM，QP=QM，所以△QPM是等腰三角形.

解法4  如图5所示，取AD的中点E，连接NE，NB，

则AE=12AD.

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠ABC=∠BAD=90°，

AD∥BC，AD=BC，

则∠ABP=90°，∠ADP=∠DPC.

因为点M为BC的中点，

所以BM=12BC.

因为AD=BC，

所以AE=BM.

因为点N，E分别为AP，AD的中点，

所以NE∥PD.

因为在Rt△ABP中，点N为AP的中点，

所以NB=12AP=NP=NA，

则∠NAB=∠NBA，∠NAE=∠NBM.

在△NAE和△NBM中，

NA=NB，∠NAE=∠NBM，AE=BM，

所以△NAE≌△NBM，

则∠AEN=∠BMN.

又因为NE∥PD，

所以∠AEN=∠ADP=∠DPC，

则∠BMN=∠DPC，

所以QP=QM，

故△QPM是等腰三角形.

结语

证明等腰三角形，除了常用的“等边对等角”，还可以使用相似或者全等三角形，计算两角的三角函数值等结论.需要注意的是，对于此类问题种比较复杂的情况，一般不会给出直接的条件，有时需要学生能够灵活构造出全等三角形，或者通过延长或者旋转的方法来得到所需条件.