培养初中生函数与方程思想的策略研究

⦿ 江苏省如皋市外国语学校 陈志勇

函数与方程思想是一种重要的数学思想方法.在初中数学教学中,教师应重视函数与方程思想的渗透,让学生深刻理解、掌握函数与方程思想,并灵活应用函数与方程思想解决一些实际问题,感悟思想的魅力,提高学生的解题能力及思维品质[1].那么,在实际教学中应如何渗透呢?笔者结合教学经验谈了几点拙见,供参考!

1 认真研读教材,挖掘教学资源

教材是课程的核心资源和权威载体,远离教材的教学不利于教学目标的达成和学生学习能力的提升.因此,在数学教学中,教师要认真研究教材、立足教材,充分挖掘教学资源,通过合理开发与运用,提高教学有效性.渗透数学思想是课堂教学的重要任务,也是培养学生可持续学习能力的必经之路[2].为了更好地渗透函数与方程思想,教师应立足教材,选择和函数与方程相关的内容,充分挖掘二者之间的内在联系,让学生形成对函数与方程思想的正确认识和深刻理解.

例如,在学习“二次函数”时,为了能让学生建立二次函数与一元二次方程的联系,教师基于对教材内容的分析,明确了可以引导学生通过概念的对比发现二者的内在联系.教学中,通过师生互动,帮助学生理解并掌握形如“y=ax2+bx+c(a,b,c都是常数,且a≠0)的函数就叫二次函数”.在此基础上,引导学生回顾一元二次方程的知识,即“一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数,且a≠0)”.通过对比分析,引导学生发现“二次函数”与“一元二次方程”的联结点,让学生意识到当y=0时,二次函数就变成了一元二次方程,由此可以利用方程的知识来解决函数问题.

在实际教学中,教师应该引导学生去对比、去发现,这样通过有目的的渗透不仅可以激活学生的思维,而且可以激发学生数学探究的兴趣,有利于知识的深化.

脱离数学内容谈数学思想的培养是空洞的,也是难以理解的.教师需要充分挖掘教材资源,善于从联系的角度引导学生将相关内容进行对比,以此通过新知与旧知的有效沟通,逐渐完善个体认知体系,提高学生数学综合素养.

2 启发深度思考,培养转化意识

在函数教学中,教师要有意识地引导学生与方程的内容建立联系.如,在教学“一次函数”时,引导学生回顾“一元一次方程”的相关知识;在教学“二次函数”时,引导学生回顾“一元二次方程”的相关知识.学生通过深度思考,充分体会函数思想与方程思想相辅相成,这样既可以达到巩固已有知识的目的,还可以更好地理解函数与方程思想的本质.同时,通过二者的沟通与转化,有利于加深对函数与方程思想方法的理解,促进思维能力的发展和解题能力的提升.

例如,在教学“二次函数的图象和性质”时,为了渗透函数与方程思想方法,教师提出了如下问题:二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象与x轴交点的坐标与方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0)的解是什么关系?由此通过启发性问题,引导学生主动发现二者之间的联系.在问题的解决过程中,教师应引导学生分类讨论,即分为二次函数图象与x轴有两个交点、一个交点、没有交点三种情况.学生在教师的启发下积极思考,发现当二次函数的图象与x轴有两个交点时,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根;当二次函数的图象与x轴只有一个交点时,此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根;当二次函数的图象与x轴没有交点时,此时对应的一元二次方程没有实数根.这样,通过有效的启发,引导学生自主发现蕴含其中的数学规律,奠定了函数与方程思想的基础.

其实,函数与方程思想的本质就是相互转化.教学中,教师要善于通过启发性问题,引导学生将相关的知识建立一一对应的联系,进而通过深度思考与探究实现函数与方程的灵活转换,让学生深刻理解函数与方程思想,培养转化意识[3].

3 结合典型案例,增强解题体验

应用是强化知识、提炼方法、感悟思想的必经之路.教学中,教师需要结合具体案例让学生体验函数与方程思想方法的重要应用价值,以此强化学生应用函数与方程思想解题的意识,提高解题能力.函数与方程思想在解题中有着重要的应用,尤其在解决与生活相关的实际问题时,常常需要将具体情境抽象成函数模型或方程模型,然后运用函数与方程的相关知识解决问题.

例如,在初三复习教学中,教师给出了一道这样的练习:已知方程x2-3x+k=0有两个实数根,其中一个根大于1,另一个根小于1,求k的取值范围.分析题设信息不难发现,该方程的两根是不确定的,若从方程的角度去分析将很难找到解题的突破口.因此,可尝试从函数的角度出发,结合函数的图象及性质等相关知识寻找解题的突破口.基于此,不妨先将方程x2-3x+k=0视为对应的函数值为0的二次函数,方程的根即为函数值为零时自变量x的值.结合二次函数的图象及性质易于发现,该二次函数的图象为开口向上的抛物线,且与x轴有两个交点.已知方程的两个根分别为大于1和小于1的两个实数,故当x=1时,y<0.把x=1代入x2-3x+k=0,解得k=2,由此可以求出k<2.这样将方程问题转化为函数问题,运用函数相关知识即可灵活地解决,充分体现了函数与方程思想的优势,加深了学生对函数与方程思想的理解.

学以致用是教学的最终追求,是学生思维水平和学习能力的集中表现.在解决函数与方程的问题时,若遇到障碍,应尝试通过方程与函数的相互转化来寻找解题的突破口,培养应用函数与方程思想的思维习惯,提高数学应用能力.

4 引导总结回顾,内化认知结构

在传统教学模式的束缚下,数学教学过度强调机械记忆和盲目套用,这样表面上学生可以通过模仿和套用来解决问题,但是学生对知识、方法、思想的理解是浅层的,难以实现知识的内化,不利于解决问题能力的提升.对于函数与方程思想方法的理解亦是如此,若学生仅仅是简单机械地记忆函数与方程思想,不理解其本质,不主动重构,那么,他们又如何将其内化为自己知识结构的一部分呢?因此,在实际教学中,要少一些“机械记忆”,多一些“自主探究”,引导学生对探究过程进行及时总结归纳,重视提炼蕴含其中的思想方法,以此将其内化为自身的思想方法,提高数学素养.

例如,在解答“已知方程x2-3x+k=0有两个实数根,其中一个根大于1,另一个根小于1,求k的取值范围”这一问题后,教师不要急于结束该问题的探究,应引导学生对解题过程进行有效的反思,通过思路的梳理和数学思想方法的提炼来升华学生的认知.通过有效反思,学生会发现应用函数与方程的思想可使问题向直观化、简单化转化,使得问题的解决变得更加轻松、愉悦.当然,对于基础薄弱的学生来讲,他们的反思意识和反思能力相对欠缺,教师可以带领学生一起回顾,以通过教师的启发和引导,帮助学生理解问题的来龙去脉,认清问题的本质.例如,对于本题的解题过程,教师可以让学生重新审题,思考“为什么要转化?”“如何转化?”“转化后应用什么知识来求解?”这样,通过解题过程的反思,不但可以进一步巩固相关知识与方法,而且可以促进学生数学思想的内化.

总之,函数与方程思想方法的形成是一个循序渐进的过程,需要在日常教学中逐步渗透.教学中,教师需充分挖掘各种教学资源,通过引导学生经历发现、探索、应用、归纳等过程,帮助学生将函数与方程思想内化为自己知识结构不可分割的一部分,以此提升综合素养.