一道复合型路径问题的探究

⦿ 江苏省南通市启秀中学 吴燕琴

动点的路径问题是中考的一个难点,尤其是复合型路径问题,即直线型路径和圆弧型路径的综合.破解这类试题的关键就是抓住变化中的不变量,从几何关系入手.下面结合一道经典试题来分析复合型路径问题的解决方法与思路[1].

1 试题呈现

图1

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图2,设E是线段AC上的动点,F是线段BC上的动点,AF与BE相交于点P.

图2

①若CE=BF,试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数,并说明理由;

②若AF=BE,当点E由A运动到C时,请直接写出点P经过的路径长(不需要写过程).

2 思路分析

(1)将点A,B的坐标代人抛物线的解析式,用待定系数法即可解决.

(2)①由条件可以证明△BEC≌△AFB,由角间的关系可以得到∠APB=120°.

②情形1:如图3,当AE=BF时,点F从点B出发,沿线段BC向终点C运动,满足条件AF=BE,在整个运动过程中,△ABE≌△BAF,得PA=PB,此时,点P运动的路径是AB边上的高CH.

图3

情形2:如图4,当AE=CF时,点F从点C出发,沿线段CB向终点B运动,满足条件AF=BE.在整个运动过程中,△CBE≌△BAF,∠APB=120°,AB为定长,此时点P运动的路径是以A,B为端点的一段圆弧(120°).

图4

情形3:如图5、图6,设M,N分别是BC,AC的中点.当点E从A到N到C,点F从B到M到C,满足条件AF=BE,点P的路径是线段HG和以B,G为端点的一段圆弧BG(60°)组成的图形[2].

图5

图6

情形4:如图7、图8,设M,N分别是BC,AC的中点.当点E从A到N到C,当点F从C到M到B,满足条件AF=BE,此时点P运动的路径是以A,G为端点的一段圆弧AG(60°)和线段CG组成的图形.

图7

图8

3 解法探究

对于第(1)问,利用待定系法,易求得抛物线的解析式为

下面重点探究第(2)问的解法.

(2)①的结论:AF=BE,∠APB=120°.

所以∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°.

故∠APB=180°-60°=120°.

(2)②情形1:如图9所示,当AE=BF时,△ABE≌△BAF,则∠BAF=∠ABE.所以PA=PB,因此点P在线段AB的中垂线上.

图9

过点C作CM⊥AB于点M,则点P运动的路径是边AB边上的高CM.

情形2:如图10,当AE=CF时,点F从C向B运动,在这个过程中,△ABF≌△BCE,由①知∠APB=120°.因此点P经过的路径是以A,B为端点的一段圆弧,且∠APB=120°,则圆心角∠AMB=120°.

图10

过点M作MG⊥AB,垂足为G.

情形3:如图11,M,N分别是BC,AC的中点,当E从A到N再到C,点F从B到M再到C时,点P的运动路径是线段HG和以B,G为端点的一段圆弧BG组成的图形.

图11

当点E从A到N,点F从B到M时,有AE=BF,则△ABF≌△BAE,则∠BAF=∠ABE,所以PA=PB.

所以点P在AB的垂直平分线上,即此时点P的路径是一条线段GH(H为AB边的中点,G为等边三角形ABC的中心).

故此情形下点P运动的路径长为

情形4:如图12,M,N分别是BC,AC的中点,当点E从A到N到C,点F从C到M到B时,点P的运动路径是以A,G为端点的一段圆弧和线段CG组成的图形.

图12

当点E从N到C,点F从M到B时,AE=BF,则△ABE≌△BAF,则∠BAF=∠ABE,所以PA=PB,所以点P在AB的垂直平分线上,即此时点P的运动路径为线段GC.

所以此情形下点P运动的路径长为

4 结束语

常见的动点路径有圆弧和直线,解题时要结合题目条件和动点的运动特征,抓住变化过程中不变的量.当动点到定直线的距离不变时,或动点到定线段两个端点距离相等时,动点的路径是直线;当动点与一定点(可在定直线上或直线外)连线与定直线连接构成的角度不变时,动点的路径是直线;当动点到定点的距离不变时,动点的路径是圆;当定长线段所对的角为定值时,动点的路径是圆.利用这些特征准确确定动点运动的路径类型,然后结合几何关系(相似、全等、垂直平分线、勾股定理等)解题,是破解这类问题的关键[3].