方程与不等式代数综合推理题的剖析

⦿ 广西壮族自治区南宁市第二中学 甘晓云

一元一次方程与一元一次不等式是初中代数最基础的知识,学生一般对它们的解法都能够熟练掌握,但将二者结合后,情况就不尽如人意了．下面结合实例,剖析一次方程与不等式综合的代数推理题的解法．

1 求取值范围

例1(1)已知x-y=4,且x>3,y<1,求x+y的取值范围．

解得2

法二:由x-y=4,得x=4+y.

由x>3,可得4+y>3,则y>-1.又y<1,所以-1

同理,可得3

所以2

由a-b=4,a>1,得a=b+4>1,所以b>-3.

所以a+b>-2.

由a-b=4,得a+b=2b+(a-b)=2b+4,又b<2,所以a+b<8.

综上,-2

点评：第(1)问,“法一”增设变量,建立并解出与x,y有关的方程组,再根据条件中x,y的范围建立并解出不等式组,进而求出x+y的范围;“法二”通过方程变换主元,建立不等式并求出x,y的范围,再运用不等式的性质求出x+y的范围．

第(2)问,先解含参方程组,并根据“方程组的解是正数”建立不等式组,再变换已知等式“a-b=4”确定b的范围,并反复运用a,b之间的关系解不等式(组)确定a+b的上下限,求得结果．

2 新定义求值

(2)若[4x+3]=2,则x的取值范围是______;

解得4

又m为非负整数,所以m=5或6或7或8.

3 求代数最值

例3(1)已知2x+y=2,x≥0,y≥0,试确定4x+3y的取值范围．

(2)若设(1)中的4x+3y=m,n=|m-2|+|m|,求n的最大值与最小值的差的平方根．

解：(1)由2x+y=2,得y=2-2x.由y≥0,得2-2x≥0,则x≤1．又x≥0,所以0≤x≤1．

设m=4x+3y,则m=4x+3(2-2x),可得m=6-2x.由0≤x≤1,得4≤m≤6.

所以4x+3y的范围是4≤4x+3y≤6．

(2)由4≤m≤6,得m-2>0,m>0.

所以n=|m-2|+|m|=m-2+m=2m-2.又4≤m≤6,所以n的最大值是10,最小值是6．

故n的最大值与最小值的差的平方根是±2．

点评：第(1)问,变换主元,确定x为主元,并根据x≥0,y≥0建立不等式组,求得x的取值范围;再将待求式转化为含x的代数式,根据x的范围,即可解得4x+3y的范围．其实,也可参照本文“例1”的“法一”解答,同学们试试看．

第(2)问,先确定绝对值中式子的范围,再进行绝对值的化简,最后根据m的范围求出n的最值,进而求得答案．

4 生活实际问题

例4(2022·德阳)为发展特色产业,红旗村花费4 000元采购了A种树苗500株,B种树苗400株,已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．

(1)求A,B两种树苗的单价分别是多少元?

(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种,其中A种树苗不多于25株,在单价不变,总费用不超过480元的情况下,共有几种购买方案?哪种方案费用最低?最低费用是多少元?

答:A种树苗每株4元,B种树苗每株5元.

(2)设再购买A种树苗a株,则购买B种树苗(100-a)株.记购买两种树苗总费用为w元.

又a是整数,所以a取20,21,22,23,24,25.

因此,共有6种购买方案.

方案一:购买A种树苗20株,B种树苗80株.

方案二:购买A种树苗21株,B种树苗79株.

方案三:购买A种树苗22株,B种树苗78株.

方案四:购买A种树苗23株,B种树苗77株.

方案五:购买A种树苗24株,B种树苗76株.

方案六:购买A种树苗25株,B种树苗75株.

因为w=-a+500,所以w随a的增大而减小.当a=25时,w最小,故第六种方案费用最低,最低费用是475元．

答:共有6种购买方案,费用最省的购买方案是购买A种树苗25株,B种树苗75株,最低费用是475元．

点评：本题考查了在实际生活中建立数学模型、运用数学知识的能力与意识．读懂题意,根据题意建立二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数表达式,并运用它们的性质解决问题．解题的关键是找准等量关系,正确列出方程组、不等式组以及函数表达式,熟悉每种类型模型的性质,再进行应用．

5 求整数解

A.-18 B.-15 C.-3 D.0

又-3-2-1+0+1+2=-3,故选:C．

点评：求解含参不等式组与含参方程组是初中代数中的典型问题.本题需运用方程组的解为非负数、不等式组有解的条件建立不等式组,并解出不等式组,进行综合对比,得出符合条件的m值．

一元一次方程与一元一次不等式相结合的代数推理问题,一般有一定的综合性与层次性．解题时要读懂题意,用数学符号表述题目的关键信息,对题设信息进行分析、转化,找出题目中不同量的关系,运用定义、公式、运算法则、运算律、(不)等式性质等得到具体的数或代数式的相等(或不等)关系,再进行推理与计算,实现解题目标,并正确表述．