一道中考探究题的教学启示

摘要：探究题是数学中考的热门考试题型，此类题型背景多变，方法新颖，对学生能力的要求高，学生大多对此类题型感到棘手;同时，对教师的教学具有重要启示作用.本文中以2023年福建中考数学第23题为例，对其解法进行探索，联系教材回归试题原型，进一步探讨实践活动课对于数学教学的意义.

关键词：中考；探究题；活动课；教学启示

在中考试题命题趋势的引领下，实践类试题将更引发教师重视与思考.帮助学生有效提升解决此类试题的方法就是运用好数学活动课.数学活动课不管是对于教师还是学生而言，都具有一定的难度.数学实践活动课是以数学知识为核心的活动课程，这些活动课程通常在一个章节的章末以材料的形式出现，但由于课时的限制，这些数学活动课程往往容易被教师忽视，这也导致学生通常对数学理论知识掌握得比较好，但实践应用能力较低.形式多样、开放性强、趣味性高的数学活动课程，不仅可以让学生更加主动、积极地参与课堂，发挥其主观能动性，而且能够帮助学生从理论层面结合实践进行操作，有利于发展学生思维、培养学生数学能力，真正实现综合素质的提升[J].本文中以2023年福建中考数学第23题为例，对其解法进行探索，联系教材回归试题原型，进一步探讨实践活动课对于数学教学的意义.

1 题目呈现

例（2023年福建中考第23题）阅读下列材料，回答问题.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1.

工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3.

问题请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量次数不超过4次，且测量次数最少，才能得满分．

评析：本题是一道创新类实践问题，综合性较强，考查两点间距离的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等基础知识；考查抽象能力、空间观念、几何直观、应用意识、创新意识等，考查应用所学知识分析与解决问题的综合实践能力、数形结合思想、模型观念等，考查能力较为全面.从设计意图上来看，要求学生能够运用提供的工具对模型进行变式与优化，培养学生的模型观念、创新意识和应用意识.

2 解法赏析

对于本题，先从两个测量工具的用途进行分析，皮尺的用途是测量长度，由于其测量长度小于AB的长，所以需要通过多次测量才能求出AB的长；测角仪顾名思义就是用来测量角度的大小.如果仅用皮尺来测量，可以通过相似三角形的“边角边”这一判定方法对问题进行求解，主要是对边这一条件的应用，但测量次数超过了4次.增加测量工具测角仪，实际上是在引导学生从角上面去寻求解题突破.而题目对于测量的次数要求要最少，所以对学生能力的要求比较高.基于已给解法和要求，得到如下解答.

法1：测量两角一边.

（1）在小水池外选点C，如图4，用测角仪在B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠BAC=β.

（2）用皮尺测得BC=a.

由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a.过点C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△CBD中，cos∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即tan β=asin αAD，所以AD=asin αtan β.

所以AB=BD+AD=acos α+asin αtan β.

故小池的最大宽度为acos α+asin αtan β.

法2：测量两边一角.

（1）在小水池外选点C，如图5，用测角仪在B处测得∠ABC=α.

（2）用皮尺测得BC=a，AC=b.

由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，BC=a，AC=b.过点C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△CBD中，cos ∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，根据勾股定理，得

AD=AC2－CD2=b2－a2sin2α.

所以AB=BD+AD=acos α+b2－a2sin2α.

故小池的最大宽度为acos α+b2－a2（sin α）2.

3 回归教材

本题是一道实践探究题，试题的原型在人教版第二十八章“锐角三角函数”的“数学活动”中，该活动主要有两个内容，活动1是通过制作测角仪，测量树的高度，活动2则是利用测角仪测量塔高，本试题的命题来自于对活动2的改编.

试题原型：利用测角仪测量塔高.

（1）在塔前的平地上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α（图6）；

（2）在点A和塔之间选择一点B，测出你由点B看塔顶的仰角β；

（3）量出A，B两点间的距离；

（4）计算塔的高度.

将试题和其原型对比，试题的原型是通过可操作性的步骤引导学生进行测量和表述，而试题是通过创新情境让学生结合所给工具独立设计方法解决问题，是对试题原型的拓展提升，旨在考查学生的创新意识.

4 教学启示

4.1 重视数学课程活动开展，引导学生在体验中领悟数学

数学课堂教学与数学活动是相辅相成、密不可分的，在教学过程中，如果充分发挥数学活动课的优势，将具体生动的实际情境重现于数学课堂，可以促进数学理论知识与实践应用的结合，培养学生的应用意识和创新能力.在利用测角仪测量塔高这一活动中，教师可以给学生提供按照比例缩小的具体实物模型，以小组的形式让学生通过测量、计算得到结论.在活动中，不仅有动手操作的过程，还可以帮助学生更深入地理解三角函数，运用所学知识解决实际问题，彰显“数学教学是数学活动的教学”，引导学生将实际问题数学化，从而找到解决问题的方法.就如2023年福建中考第23题的考点，不仅要有扎实的基础，还要进行方法的创新.虽说试题原型来源于课本，但其变式的思维难度更大，需要学生更深入地挖掘题目和解法背后所蕴含的数学思想.这一道探究题的设置也启示教师在初中数学课堂的教学中应当多给学生一些机会，让他们去体验；多给学生一些机会，让他们去找出答案；多给学生一些思维空间，让他们去体验，在数学活动课中渗透数学思维教学[J].

4.2 重视知识形成过程，培养学生数学思维能力

本试题要求学生要有扎实的基础，对“相似三角形的判定和性质”的灵活应用可为后续的推理顺利进行提供助力.想要学生在这类探究性问题上能有大的突破，教师在教学过程中就要保证学生有足够的参与度，注重知识的形成过程和前后联系，建构知识结构，让学生对知识的发展和深化过程有必要的了解，从而培养分析问题和解决问题的能力.2023年福建中考第23题实际上就是在对所学知识进行建构、重组，形成新的方案，从知识生长的角度对基本图形进行变式、迁移应用，通过解直角三角形的思路进行方法的延伸.本题跳出常见的用相似和通过解直角三角形求几何图形中某线段的长的套路，利用独立设计思路的形式进行考查，颇具匠心.

参考文献：

[1]方强.初中数学活动课之启示[J].江西教育，2016（6）：29.

[2]武晨.以“活动”引领课堂教学——谈数学活动课的教学意义[J].辽宁高职学报，2018，20（3）：39-41，44.