巧用“平行”求“面积”，独辟蹊径破瓶颈

评价学校教学质量的重要指标是中考成绩，众多一线初三教师肩负升学重担，披星戴月，全力以赴，迎战中考.在初三第二学期“百日誓师”以后，我校集备组做出精准举措，备战中考，精心做好基础训练与中上压轴题的专题导学案，全力提高整体成绩与拔尖成绩，为中考冲刺奋力拼搏.笔者认真分析了近年各地中考试题，对常规压轴题的解法有所感悟.如近年中考的综合压轴题中，二次函数面积类综合题，也是各地中考压轴题的热点，对于广大学生来说，更是难啃的骨头.笔者推敲了该类题的解题策略，其中，“平行线”条件的巧妙应用，可以破解“面积类”压轴难题的“瓶颈”.笔者从长年的初中毕业班数学执教经验出发，以2022年广东省的最后一题压轴题的变式教学为例，在“面积类综合题”的突破教学中，巧妙运用“平行线”，建立面积变换模型，破“瓶颈”为“坦途”，一题多变，由浅入深，逐层递进地充分发挥一道题的作用，从而厘清知识的内涵与外延，拓宽学生思维能力，达到把“不能做的难题”当成“一眼望穿窿”的效果，让学生迅速得到解法，点燃学生对压轴题、难题的解题希望，唤醒学生对数学学习的激情与内驱力，从而提升复习效率.

1 真题再现，命题剖析

1.1 真题再现

中考原题（2022年广东省卷第23题，12分）如图1，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的

最大值，并求此时点P的坐标.

1.2 命题剖析

本题是以二次函数为背景的综合压轴题，考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质等核心知识，传统解法是通过求解三角形面积进行组合，或铅锤法分割再组合.本题综合性较强，中上难度，深入考查函数与方程思想、数形结合思想、建模思想等，后一问有点难度，突破技巧性强，题型重要，是历年各地中考命题的热点，是一道能考查核心基础与能力又有区分度的好题.

2 策略解读，思路突破

2.1 策略解读

第（1）小问是基础（送分）题，先求出点B的坐标，再用待定系数法，将点A，B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解.

第（2）小问有不同的解法，笔者认为，最简易的方法是优先从“PQ∥BC”入手，构建三角形相似（关于面积）模型，运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”性质列式，求出△APQ的面积，再求出△APC的面积，从而构建“S△APC－S△APQ”所得图形的面积模型，即表示出△PCQ的面积，最后就可以用二次函数的性质求出面积最大值.

2.2 思路突破

对于第（1）问，根据A（1，0），AB＝4，求出B（-3，0），把A，B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可得解析式为y＝x2+2x-3.

对于第（2）问，如图2所示，设P（m，0），则PA＝1-m.

易求得抛物线的顶点C为（-1，-4）.

由PQ∥BC，证得

△APQ∽△ABC.

所以S△APQS△ABC=APAB2，即

S△APQ12×4×|－4|=1－m42，

从而用含m的代数式表示出：

S△APQ=12m2－m+12;

再用含m的代数式求出：

S△APC=12（1－m）×4

=2－2m.

易得：

S△PCQ=S△APC－S△APQ

=（2－2m）－12m2－m+12

=-12（m+1）2+2.

最后，根据二次函数的性质可知，

当m＝-1时，S△PCQ取得最大值2，即△CPQ面积的最大值为2，此时点P的坐标为（-1，0）.

3 解后思考，方法赏析

面积类的综合压轴题常用的解法有直接面积公式法、铅锤线法、割补组合法等，但是当条件中有“平行线”时，优先用“平行线”建立三角形相似的模型，运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质，求得相关三角形的面积，其中有关面积相等或面积倍数关系则常用到“两平行线间的距离相等”“等底（高）的三角形面积比等于高（底）的比”等面积变换模型.这些“轻飘飘”的结论或模型，能够畅通无阻般破解面积类难题的瓶颈，往往对解决面积类的压轴题，有意想不到的效果.

4 变式生长，“平行”破题

4.1 变式生长

如图3，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在B的左侧），交y轴于点C（0，-3），已知AB=4，对称轴在y轴左侧.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物

线上，且S△PBC=92，

请求出点P的坐标.

（3）将（2）变

式：

①若S△PAB=2S△ABC，

求点P的坐标；

②若S△PBC=2S△ABC，

求点P的坐标；

③若点P在x轴上方，

S△APC=S△APB，请求出点P的坐标.

4.2 “平行”破题

（1）设点A的坐标为（n，0），则点B（n+4，0），抛物线为y=（x－n）（x－n－4）.将C（0，-3）代入，得－3=（0－n）（0－n－4）.解得，n=－3，或n=-1（舍去）.

故抛物线的解析式为y=（x+3）（x－1）.

（2）如图4，在AB上取点M，使S△MBC=92，然后过M作BC的平行线，与抛物线交点就是所求的点P，列方程组可出求点P的坐标.

（3）①如图5，在y轴上取点E，使EO=2CO.过E作AB平行线，与抛物线的交点就是所求的点P.理由：等底的两个三角形面积比等于高的比.

（3）②如图6，在x轴上取点F，使FB=2AB，过点F作BC平行线，与抛物线的交点就是所求的点P，列方程组可求出点P的坐标.

理由：等底的两个三角形面积比等于高的比.

（3）③如图7，AP为公共边，则BC∥AP，过点A作BC的平行线，与抛物线的交点就是所求的点P，列方程组可求出点P的坐标.

理由：等底等高的两个三角形面积相等.

5 教学反思，学习建议

“平行线”构造的面积变换模型是初中数学中的重要模型，合理利用该模型可以直接获得面积关系，这样可以绕过常规的“铅锤法”“面积公式法”等的复杂思维及繁琐计算，从而容易破解面积类的压轴题，把“难缠”的压轴题变得容易解决.

常言道：“授之以鱼，不如授之以渔.”在中考复习冲刺阶段，教师不能再直接以定理和规律的重现来讲解平面几何理论知识，而应关注学生通性通法的形成与积累.让学生在数学活动中感知、感悟和体验，逐步形成解题的思想、方法与能力，形成相关知识的模型架构.从模型的角度出发，借助积累的模型结论帮助学生打开思维，促进学生对知识的理解和应用，促使学生形成数形结合意识，形成其知识结构和思想方法，培养学生逻辑推理能力，最终形成自己的解题技巧，激发学数学的兴趣，增强自信心，发展学生核心素养.

参考文献：

[1]刘军.突破定式，另辟蹊径——由一道几何题的变式教学引发的思考.中学数学，2021（2）：54-55.

[2]韦志海.立足几何直观的平面几何中考复习——以“平行四边形”为例.中学数学，2021（2）：31-32.

[3]张久旺.模型构建直观突破，解读反思思维提升——以一道中考函数与几何压轴题为例.中学数学，2021（4）：53-54.