构建“共生”课堂培养数学素养

摘要：构建“共生”课堂，可以发展学生的数学知识、数学思维、数学能力、数学意识、数学智慧，从而发展学生的数学核心素养.文章研究者以“平方差公式”的教学为例，从对“共生”的理解出发，详细阐述了“共生”课堂的实施，并提出构建“共生”课堂需在不断提问中推动思维生成，在互动交流中推动能力生成，如此才能培养学生的数学素养.

关键词：共生；平方差公式；数学素养

1 问题的提出

“共生”一词的提出源于一道思考题.上周的组内教研活动中，教师探讨这道思考题究竟有多少种解法，笔者给出了本班学生的各种解题方法，组内教师纷纷为学生开阔的思维所叹服.事实上，这源于全班的智慧共生，从而悄然萌生了“共生”课堂.

“共生”的本意即为“共同生成”，“共生”课堂就是让学生在与数学、与同伴、与教师、与教学内容的互动中生成思维、智慧和能力.因此，“共生”课堂应以学生为主体，以问题为依托，以体验为基石，以思考为关键，以发展为目的.唯有构建“共生”课堂，才能发展学生的数学知识、数学思维、数学能力、数学意识、数学智慧，从而发展学生的数学核心素养.那么，该如何构建“共生”课堂呢？下面笔者以“平方差公式”的教学为例，谈谈“共生”数学课堂的实施策略.

2 “共生”课堂的实施

环节1：巧妙设问，直接入课

问题1经过课前预学，想必你们对运用平方差公式进行因式分解已经有了一定的认识和理解，谁能阐述一下对它的理解？

学生活动：由于预学中学习单的引领，不少学生已然对其有了初步认识，从而很快作出阐述——我知道了平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”，就是经计算使得积的形式变成和的形式；而因式分解和它刚好相反，即将一个多项式的和的形式变成积的形式.

追问1：那是不是就是说“因式分解是逆用了平方差公式”？我们一起来观察a2-b2=（a+b）（a-b），该公式左边有什么特征？右边呢？

学生活动：学生很快给出解答“这个公式的左边是两项式，即两数平方差；而右边是两数和与两数差的相乘式”.

教师总结：从上述阐述可知，a2-b2=（a+b）[J]5（a-b）的左边两项式的符号为一正一负，而右边为两多项式的积.

问题2以下式子可以用平方差公式因式分解吗？请在尝试后一一说明.

①-1+x2；②-4-9x2；

③2x2-y2；④25x2-16y2.

学生活动：问题抛出后，学生自然而然地进行尝试，并很快有了想法.对于式子①，有学生认为该式为两个数之和，因此不能运用平方差公式；但这样的想法很快就被否决，因为有学生发现可以将其改写成x2-1，而两个数分别为x和1，符合且可以运用平方差公式.进一步，有学生提出式子②由于两个数是同号的，因此不可用平方差公式，其余学生一致赞同.同样，对于式子③，有学生立刻给出结论“可以运用”，因为两个数分别为2x和y；但他的表达很快被否定了，有学生提出“由于2不是平方形式，因此不可运用”.最后，学生一致认为式子④可以用公式，因为其可以视为5x和4y的平方差，从而得到25x2-16y2=（5x+4y）（5x-4y）.

问题3对于上述四个式子，你们的分析十分到位，那你们是如何理解“两数的平方差＝两数和×两数差”的？能具体说一说吗？

学生活动：运用平方差公式，两个式子要均可写成平方的形式，同时需满足两个式子异号，结果就是两个平方下的两项和与两项差的积.

环节2：自主提问，探究渐深

问题4下面就请一名学生出题，其余学生试着因式分解.

学生活动：“自主出题”这样的开放性活动是学生喜闻乐见的，学生争先恐后进行尝试.首先，一学生抛出问题“因式分解：4x2-16y2”，很快有思维敏捷的学生给出答案“可以将其视为2x和4y的平方差，因此答案为（2x+4y）（2x-4y）”.在该生给出结果后，一学生很快发现错误，并指出“括号内还有公因式，答案应为4（x+2y）（x-2y）”.与此同时，一名学生提出不同解法“先提取公因式，再用平方差公式，得到相同结果4（x+2y）（x-2y）”，这样就不会出现上面的问题，即“括号内仍有公因式”.接着，一名学生抛出一个有难度的问题“因式分解：（x-1）2-4y2”，这一问题极好地刺激了学生的数学思维.有学生在思考后给出想法“运用整体思想，两个数分别是（x-1）和2y，进而得到分解结果（x-1+2y）（x-1-2y）”.进一步，还有学生抛出一个难度更大的问题“因式分解：（x-1）2-4（x+2）2”.有学生认为这里的两数分别是（x-1）和4（y+2），计算出其结果为（x+4y+7）（x-4y-9）.对于上述想法，有学生很快提出质疑“这里应视为（x-1）和2（y+2）的平方差，若怕出错也可以看作（x-1）和（2y+4）的平方差，经计算得出其结果为（x+2y+3）（x-2y-5）”.其余学生也纷纷认为后一名学生的想法是正确的，并得出在运用整体思想解决这样的问题时，将二次项前的系数写成平方形式，可以杜绝错误的发生.

教师总结：你们真是会思考、会反思、会提炼的好孩子！上述问题都是和a2-b2形式相同的二项式的差，不过此处的a和b可以是单项式和多项式中的一种.

环节3：深度探讨，提炼方法

问题5下面，老师出一道题考考大家.因式分解：x2-4y2-2x+1.请大家相互讨论，是否可以运用今天所学知识解决问题？

学生活动：学生展开了火热的讨论，很快有了想法，x2-4y2-2x+1中存在一个完全平方公式，可以将x2-2x+1转化为（x-1）2，从而原题即可转化为（x-1）2-4y2，这样就和刚才的问题相同了.

教师总结：非常棒！你们可以灵活运用所学知识完成四项式的分解，真是太让老师惊喜了！事实上，这种解法在后续的学习中还会用到……

环节4：有效变式，拓展延伸

问题6求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）.

学生活动：学生自主进行讨论，并很快有了见解——根据今日所学观察这个式子，都是两数之和，那么配个两数之差即可.因此，可以将原式乘（2-1），从而得出结果232-1.由此可见，解决这样的问题是需要技巧的，观察到原题中没有两数之差，那就给其补上两数之差，这样就能使用平方差公式了.

问题7本题还可以延伸吗？

学生活动：有了上述问题的引领，学生各显神通，得到如下变式：

变式1求值：

（2+1）（22+1）（24+1）……（22n+1）.

变式2你能求出（2+1）（22+1）（24+1）……（216+1）个位上的数字吗？

变式3求值：（3+1）（32+1）（34+1）……（316+1）.

变式4你能求出（4+1）（42+1）（44+1）……（416+1）个位上的数字吗？

…………

3 “共生”课堂的感悟与思考

3.1 在不断提问中推动思维生成

在“共生”课堂中，教师提出问题并引领学生自主进行深度思考和探索，探寻解决问题的策略，获得思维的进阶.与此同时，教师抛出问题引发学生提问，让学生在质疑与争辩中唤醒思考、挑战、质疑、发现、超越等思维的激情，培养学生提出问题的能力，发展数学思维[J].本课中，教师抛出一个能引发学生质疑的问题，学生兴致勃勃地参与到提出问题的环节中去，随着思维的深入，所提的问题越发具有深度，使得学生在不断提出问题和解决问题的过程中磨砺思维，极好地发展了高阶思维能力[J].

3.2 在互动交流中推动能力生成

对于数学学习而言，整个过程都应是学习者与数学的共生过程.一是学生心灵与数学的共生过程，很好地在自主探究中生成数学能力；二是学生与学生围绕数学的共生，也就是在互动交流中生成数学能力；三是师生间围绕数学的共生，也就是教师作为引导者、合作者和指导者，围绕数学知识提出问题，为学生能力的生成提供帮助.对于一节课而言，新知的构建、能力的发展都是通过师生共生，在互动交流中完成的[J].本节课中，教师在课始直接抛出问题引发学生的探索欲望，之后让学生自主提问暴露思维，深化对平方差公式的理解，再通过拓展延伸深化学生的理解和认识.这样的学习过程就是数学与师生的共生过程，从而有效推动了数学能力的发展.

总之，构建“共生”课堂就是教师将数学教学中所有要素进行有机整合，以最恰当、最有效的方式呈现出来，共同生成精彩的教学活动.在这样的“共生”课堂中，师与生、生与生、数学与师生互动共生，最终达到培养数学素养的目的，实现学生的最优发展.

参考文献：

[1]温建红.论数学课堂预设提问的策略[J].数学教育学报，2011，20（3）：4-6.

[2]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013，56（6）：5-8，66.

[3]张勇.在体验中走向共生——初中数学共生课堂体验式教学的尝试与思考[J].理科考试研究，2017，24（8）：35-36.