“点线式”教学：让数学学习思路更明晰

数学教学要根植于教材内容，立足于学生已有的学习基础及活动经验，找准教学的逻辑起点，理清教学思路（思路决定出路），优化教学设计，有效实施教学.众所周知，知识是能力的基础，能力是知识的升华，思想方法是其灵魂，问题解决是知识的运用，是获得能力的途径.教学过程中，应注重学生对数学本质的认识与理解，注重思想方法的渗透与提炼，以此提高学生认识数学、理解数学、应用数学与体悟数学的能力.本文中以“二次函数图象和性质”教学为依托，通过教材整合，试图探索出以“点”为根（以核心知识点为出发点和落脚点向纵横延伸）、以“线”串“珠”（以线贯穿，形成联系）的课堂教学新思路，并让学生从中领悟“明晰学习思路”的重要作用与价值.下面以“二次函数图象与系数a，b，c的关系”教学为例，谈谈点线式教学法的探索与思考.

1 “点线式教学法”的内涵解读

这里的“点”是数学教学中的知识点，也是引出问题的切入点，展开问题的源点，通过点的变化与延伸，让学生自主发现问题，提出问题，在活动中将知识点串成线，构造成线状、线性的问题链.其中知识点的发展和变化为教学中的明线，数学思想方法的提炼为暗线，这里的“线”就是知识线、方法线、思想线.按照这样的线索，将分散的、孤立的知识，通过“点”的延伸变化，重新整合，让学生对知识的认识丰实、有序、成型.这里的“线”指的是知识体系、数学方法系列、数学思想系统及能力发展架构.

“点线式教学法”倡导“知识系统化，系统能力化”“知识问题化，问题线性化”.教师围绕知识点设计问题，学生围绕知识点回答问题、解决问题；教师沿线性螺旋上升式展开教学，学生沿螺旋上升式建构知识体系，形成数学能力.

“点线式教学法”基本模式如图1所示：

二次函数y=ax2+bx+c中的系数a，b，c的符号影响着抛物线的形状与位置，本课例围绕此知识点展开，通过整合教材（教材中没有现成内容），理清思路，双向探究，经历由数到形、再由形到数的学习过程，以“点”为根，不断生长“知识树”，并从中自然提炼出“数形结合思想”，让学生再次体会此思想方法的应用魅力.

2 “点线式教学法”的教学原则

（1）主动学习原则

学习应该是积极主动的，不能只是被动式的，不经过自己的脑子思考就很难学到新东西，就是说学东西的最好途径是亲自去发现它.“点线延伸，知识重构”课堂教学就是有序地提供了情境，让学生提出问题，并自行解决问题，方法让学生总结，结论让学生提炼，让学生主动学习，教师只起助推的作用.

（2）最佳动机原则

“点线式教学法”能提供一个令学生感兴趣的情境，可以是一个图形，也可以是一个问题.在教学中，“点线式教学法”课堂教学就是尽力促使学生形成最佳学习动机，使学生保持旺盛的学习劲头，积极自觉地投入到数学学习活动中去.

（3）循序渐进原则

波利亚将学习过程分为三个阶段：（1）探索阶段；（2）形式化阶段；（3）同化阶段.“点线面教学法”课堂教学就是通过创设情境，促使学生自主提出问题，主动探索，通过一个个问题的解决，形成解题方法；引导学生经历对比、类比、化归等过程，转化为自身的体验及收获.

（4）系统联系性原则

数学知识并非杂乱无章地堆积在一起，而是按一定的结构、层次相互联系、相互制约.数学“情境—问题”教学的基本模式强调四个环节密切联系，它们相互依存、相互制约，构成了“情境—问题（横向、纵向与综合）—解决—应用—情境—提问—解决—应用……”这样一个有机相联，首尾贯通，不断延伸、开放、动态的教学系统.在课堂教学中既可以从某个环节切入，也可以在适当的环节结束，从而发挥其系统功能，获得整体的综合效果.

3 “点线式”教学实践与分析

“点线式教学法”课堂教学设计是在深入解读课本、尊重学生差异、了解学生学习特点及年龄特征等基础上，精心设计数学学习问题和教学过程.因“点”循导，沿“线”展开；每节课串联就是一条线，学一法、会一类、悟一片，理解问题、思考问题、提出问题；再通过学生感悟及教师点拨，促进知识的生成和数学思想方法的提炼，注重发挥学生主体作用，促进学生知识整体的形成，养成良好的学习品质和学习习惯，在师生互动中自觉或不自觉形成学习策略，促进自信.

3.1 教学活动设计

环节1：知识回顾——由“数”想“形”

设置如下两个问题：（1）二次函数的定义是什么？（2）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴与顶点坐标公式是什么？以此让学生回忆学习过的知识，由数产生联想，在头脑中形成抛物线图形，从而实现“眼中有数，心中有形”的“点线模式”.

环节2：任务展示——“点”“线”着手

（1）“点”的知识：①由a，b，c及Δ的符号，确定抛物线在坐标系中的大致位置；②由抛物线在坐标系中的位置，确定a，b，c等字母或有关式子的符号.

（2）“线”的联系：①“数”与“形”之间的联系；②二次函数图象与其他函数图象间的联系.

环节3：探索归纳——“数”“形”转换

师生共同探究抛物线的位置与系数a，b，c及Δ的关系（如图2）.先由图象得出系数符号；再由符号得出图象大致位置；然后总结归纳：

（1）a的符号决定抛物线的开口方向；（2）a，b决定抛物线对称轴的位置；（3）c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置；（4）b2-4ac的符号决定抛物线与x轴交点的个数.

环节4：学以致用

（1）由“形”看“数”

抛物线y=ax2+bx+c如图3所示，试确定各图对应的a，b，c及Δ的符号.

（2）由“数”得“形”

若agt;0，bgt;0，cgt;0，请你画出y=ax2+bx+c的大致图象，并写出图象与坐标轴的交点个数.（图象如图4.）

（3）“数”“形”相依

如图5，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）.

环节5：小结与归纳

从知识、方法、思想以及学习思路方面加以归纳（略）.

3.2 教学活动设计探析

本课教学活动设计遵循如下“点线式”思路：（1）“数形关系”的感知与提出——引起学生关注，养成勤于观察、思考和提出问题的习惯；（2）“点”的知识与“线”的联系的提炼；（3）“数形关系”的探究——通过由“数”到“形”，再从“形”得“数”两个纬度，进行探究活动，培养学生探究精神及从多角度、多方向分析问题、发现问题、解决问题的能力；（4）“数形”思想的归纳提炼——培养学生归纳能力，从中进一步体会知识的生成、规律的发现、数学思想的形成等历程，感悟学习的乐趣；（5）“数形结合”问题再现——呈现知识的内化过程，巩固强化训练，形成数学方法；（6）“数形结合思想”的应用与提升——凸显数学本质，突出数学思想；（7）“数形结合”方法延伸与回味——体现知识升华，展示数学魅力，体现数学发展.

4 “点线式教学法”的教学思考

“好课堂”是始于有形、终于无形.我们依托课堂情境，从学生的实际生活出发，构建出丰富多彩的“点线式”课堂教学，突出学生主体，注重学生的体验和参与度，引导学生自主探究学习，真正地唤醒学生的灵魂.那么如何体现这一点呢？“点线式”的教学以“五提”加以体现，“五提”即提供情境、提出问题、提取方法、提炼思想、提升能力.

（1）提供情境.教师基于教学内容、数学思想方法、学情等设计数学场景.这个数学场景是以“点”为根、“线式”生长的，充满生机、富于变化的；由点少到点多，由单一到综合，由简单到复杂，由一般到特殊，由集中到发散等.

（2）提出问题.师生设计适合情境的数学问题.有思考才能有问题，有思考就会提出问题，学生不善于提问，其实是缺乏思考，所以教师需要创设“点线式问题”，关注问题间的联系.要经常鼓励学生发现问题、提出问题，并敢于表达自己的想法，激发学生解决问题的热情，同时让学生感受到主动提问的必要性和重要性.

（3）提取方法.在知识归纳、知识应用、一题多解、多题一解的学习中，会发现不同的问题所涉及的方法相同或相似.从知识的重构与问题的拓展中提取、总结出这些“线性”问题的通解通法，有利于学生思维的自然生长，同时实现了探究一个知识，掌握一种办法，解决一类问题，即解一题，学一法，通一类，悟一片.

（4）提炼思想.数学思想是数学教学的核心，是数学学习的价值所在.学生要理解学习过程中涉及到的数学思想，领会发现问题、思考问题进而解决问题的基本途径.问题由浅入深，注意数学知识的纵横联系，深入浅出，在分析问题和解决问题的过程中抽象出数学模型并加以归纳概括，提炼数学思想，揭示数学本真.

（5）提升能力.领会了数学思想，就可以识别数学模型.对数学模型的识别不可能“一眼望穿”，要沿着“识别—建构—再识别—再建构”的路径发展下去，提高学生数学能力.教师通过让学生自主探究、合作学习，有计划、有针对性地培养学生问题意识和思考习惯，促进学生各方面能力的提升.

“点线式教学法”下的课堂教学主要是针对某一教学内容、某一概念、某一问题或某一专题的细致讲解与分析.对学生来说，对某一知识点内容的掌握，犹如一颗颗珍珠般的“点”状的学习与理解.因此，选择一个适当的切入点，引发学生的思考，学会从不同的角度、不同的板块来分析，从而使一个个“点”状知识串成串、连成线，由线的积累形成面，再由面的积累形成体，从而重新建构成一个完整的知识体系，让学生的数学学习思路更明晰.在一节课中通过经历提出问题、分析问题、解决问题，学生看到的不再是一个个孤立的点，而是由这些点串成的问题串，形成知识线条，并从中提炼出数学方法、思想，形成一个丰富多彩、充满活力的知识系统.