高三数学微专题复习变式教学设计

摘 要：变式教学的本质是对相关概念及习题进行变式设计与呈现，引导学生在思维碰撞中洞见，在探索发现中获得体验，进而有效内化相关知识与技能，发展学科核心素养。高三数学微专题复习变式教学要立足“四翼”要求，围绕必备知识设计例题与变式问题，聚焦理性思维培养，考查学生的关键能力，在学生评价与教师评价的引导下，培养学生数学学科核心素养。

关键词：核心素养；高三数学；微专题；复习；变式教学

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）35-0115-05

新时代需要创新型人才，而培养创新型人才的重要一步是培养人的创新意识。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）对此提出了要求：通过高中数学课程的学习，学生能不断提高实践能力，提升创新意识［1］8。实践证明，在数学课堂教学的不同环节，教师呈现隐含规律的材料，通过变式吸引学生参与学习，让学生不断探索新知识，改变被动式学习的方式，在情境的不断变化中拓宽思路，打破思维僵化的局面，能够提高学生的创新意识。因此，从核心素养视角出发，深化高中数学变式教学，对培养学生的综合素质和适应未来社会的能力具有重要意义。

一、变式教学与高三数学微专题复习的契合点

“微专题”是指立足于学情，一些切口小、角度新、针对性强的微型复习专题。高三数学复习任务重，针对重难点开展微专题复习可以有效提高复习效率。在高三数学微专题复习中，教师通过编制一两道典型例题，并对例题进行变式，或改变条件，或改变结论，或交换条件与结论，深层次挖掘，由“一题多变”达到“多题归一”“一题多用”的效果，可以有效提高课堂容量及课堂效率。因此，在高三数学复习教学中，教师可以依托微专题设计关联性强、由浅入深的变式训练题组，以点带面，激发学生的思维活力，培养学生的创新意识，进而提升学生的素养与能力，为其终身学习奠定坚实的基础。下面，笔者以“解三角形中的三线问题和任意等分线问题”为例，论述如何立足微专题复习开展变式教学设计。

二、高三数学微专题复习变式教学案例

（一）课前分析

1.教学内容分析

本节课选自人教版普通高中教科书数学必修第二册第六章“解三角形及其应用”。解三角形的相关内容，在《课程标准》中是作为必修平面向量及其应用的内容出现的，《课程标准》对这一部分内容的要求是借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题［1］26。同时，本节课也是渗透化归与转化思想、方程思想、数形结合思想，培养抽象概括能力的重要阵地。本节课的学习，对学生系统地掌握几何特征在解三角形中的应用，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养都具有十分重要的意义。

2.学情分析

学生已经初步掌握了正弦定理与余弦定理的基本内容、定理常见变形和基本运用原则，并且能够运用定理解决单个三角形的问题，对三角形是否可解也有基本的认识。但没有深刻理解爪子形三角形问题的图形特征，难以找到两个三角形间的联系建立等量关系。

3.学习目标

掌握三角形的角平分线、中线、高线和任意等分线性质，能够灵活运用这些性质构建等量关系，并能灵活运用函数或不等式解决三角形的最值问题。

在构建等量关系的过程中体会方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。

4.教学重难点

教学重点：三线问题和任意等分线问题的解决策略。

教学难点：方程思想在解三角形中的应用和三角形最值问题的解决策略。

5.教学策略选择

以任务驱动，合作探究的方式围绕学习目标展开教学，以问题串和变式的形式引导学生主动建构，积极探究、思考。

（二）教学过程

1.高、中线、角平分线知识的梳理

问题1：在[ABC]中，若[AD]是边[BC]上的高，试问可以从哪些角度去求高线[AD]的长？并思考每一步操作背后的理论依据是什么。

生1：由面积公式可以得到[SABC=12BC·AD]，所以[AD=2SABCBC]。

师：（追问）理论依据是什么？

生1：等面积法。

师：（追问）若[h1、h2、h3]分别为[ABC]的边a、b、c上的高，则可以构建关于高的哪些等量关系？

生2：由等面积法可以得到[h1、h2、h3]之比等于[1a、1b、1c]之比，也等于[1sinA、1sinB、1sinC]之比。

师：求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度。可见高具有两个作用，一是构造直角三角形，二是与三角形的面积相关。

设计意图：通过复习三角形高的性质，让学生学会运用方程思想去建立等量关系。

问题1变式1：在问题1中，若线段[AD]改为边[BC]上的中线，又该如何去求中线[AD]的长？每一步操作背后的理论依据是什么？

生1：在[ABD]中，[cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD]，在[ABC]中，[cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC]，联立两个方程可得[AB2+AC2=2（BD2+AD2）]。

师：我们把这个等量关系称为中线长定理，这种求法的理论依据是什么？用到了什么样的数学思想方法？

生1：不同三角形中同一个角的余弦值相等，用到了方程的思想。

师：（追问）除通过同一个角的余弦值相等构建等量关系外，还有别的做法吗？

生2：还可以分别在[ABD]和[ADC]中利用∠ADB和∠ADC互补来构建等量关系。即[cos∠ADB+][cos∠ADC=0]，[AD2+BD2-AB22AD·BD]+[AD2+CD2-AC22AD·CD]=0，又因为[BD]=[CD]，化简整理得[AB2+AC2=2（BD2+AD2）]。

师：（追问）这两种方法都是用余弦定理来构建等量关系。之前我们是利用什么工具来研究余弦定理的？

生3：向量。

师：（追问）那是否也可以从向量的角度去求解中线长呢？

生4：由[AD=12AB+AC]，则[AD2=14AB+AC2] [=14AB2+14AC2+12ABACcosA]所以[AD2=14][b2+c2+][2bc cosA]。

设计意图：对于中线长问题，学生可能会比较容易想到利用余弦定理去构建等量关系，即通过两角的余弦值相等或互补的两个角的余弦值互为相反数构建等量关系，不太容易想到从向量的角度去构建等量关系。通过复习和引导，让学生明白解三角形问题不仅可以通过正弦定理或余弦定理构建等量关系，而且可以从向量的角度去建立等量关系。

问题1变式2：如若把问题1中的线段AD改为边BC上的角平分线，则AD的长又该如何求？背后的理论依据是什么？

生1：可以用等面积法求解。因为[SABD+SACD=][SABC]，所以[12c·ADsinA2+12b·ADsinA2=12bcsinA]，所以[b+cAD=2bccosA2]，整理得[AD=2bccosA2b+c]（角平分线长公式）。

师：若AD为[ABC]的内角∠BAC的平分线，则[ABAC=BDCD]，我们把该比值称为内角平分线定理。你可以用多种方法证明该定理吗？

生2：在[ABD]中，[ABsin∠ADB=BDsin∠BAD]，在[ACD]中，[ACsin∠ADC=CDsin∠CAD]，由此可以推出[ABAC=BDCD]。

生3：该结论也可以由两三角形面积之比得证，即[SABDSACD=ABAC=BDCD]。

教学分析：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪形结构，就可以转化为向量了，一般地，涉及三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决都较为简捷。

设计意图：由中线问题过渡到角平分线问题，让学生体会其中的异同点，抓住本质不变的东西，即方程思想的应用。通过设置合适的铺垫，循序渐进地推进学习的进程，让学生能够构建合理的知识结构，进而培养学生的思维能力，提升其逻辑推理素养。

2.任意等分线知识的梳理

问题1变式3：如图1，若问题1中D是线段BC上任意一点，且[BDCD=mn]，则又该如何求线段AD的长度？

生1：类比中线问题和角平分线问题的求法，可以考虑从向量的角度去求解。根据向量的平行四边形法则和三角形的相似比可以得到[AD=nm+n][AB]+[mm+n][AC]，两边平方就可以得到线段AD的长了。

师：我们把该等量关系称为“爪子定理”。

师：（追问）如若把以上问题中[BDCD=mn]改为[BD]=[λ][BC]，则线段AD又该如何表示？

生2：只要算出线段BD和线段CD的比值，就可以类比上一个问题表示出AD了。即[AD=1-λ][AB]+[λ][AC]。

设计意图：由高到中线、到角平分线再到任意等分线的梳理和过渡，符合由特殊到一般的认知规律，让学生抓住解三角形问题的一般思路和方法，提升学生的数学抽象素养。

3.综合应用，融会贯通

例1 在[ABC]中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且[A=π3]，D为线段BC上一点，且AD=[3]。问题：若线段AD为[∠BAC]的平分线，求[c+2b]的最小值。

学生活动：经过前面的复习和铺垫，学生很容易得到[AD=2bccosA2b+c=3bcb+c=3]，即[bc=b+c]，要求[c+2b]的最小值，有学生马上想到利用均值不等式，[b+c≥2bc]，即[bc≥2bc]，所以[bc≥4]，所以[c+2b≥][22bc≥42]，由此得到[c+2b]的最小值为[42]。

师：（提出疑问）这里用到两次基本不等式，等号成立的条件是否一致？

师生活动：学生马上意识到等号成立的条件不一致，第一次等号成立的条件是[b=c]，而第二次等号成立的条件是[c=2b]。有学生提出将[bc=b+c]两边同除[bc]得到[1b+1c=1]，再利用“1”的代换即可得到[c+2b]的最小值，还有学生提出利用正弦定理将边化角，最终利用三角函数求最值。教师让学生比较两种方法的优劣。通过对比，学生普遍认为利用基本不等式求解计算量比较小。教师趁热打铁，抛出变式训练。

设计意图：例题的设计立足大单元思想，不仅考查了角平分线的性质，还考查了解三角形中学生普遍觉得比较难的最值问题。大题条件设置[AD]的长为定值，但没有说明[AD]是什么线，是为后面的变式做铺垫，达到一题多变，系统复习三线问题和任意等分线问题，同时又可以改变最值的问法，达到同时复习最值问题的目的，一举多得。

例1变式1：若线段[AD]为[BC]边上的高线，求[ABC]面积的最小值。

本题学生很容易想到利用等面积法去构建等量关系，即[12a·AD=12bc·sinA]，得到[2a=bc]，再利用余弦定理[a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc]，得到[bc22]=[b2+c2-bc≥2bc-bc]，所以[bc≥4]，当且仅当[b=c]时等号成立，此时[SABC=12bcsinA=34bc≥3]，得到[ABC]面积的最小值为[3]。此题的解法学生意见都比较统一，基本上不会往边化角三角函数的方向去想，说明经过例1的训练之后，学生积累了活动经验，有了优化算法的意识，数学运算素养得到提升。

设计意图：此题除了考查高的性质，还考查面积最值问题，由角平分线过渡到高，由和式最值过渡到积式最值，学生体会其中的异同点，在变化中找到不变的特性，提升分析问题和解决问题的能力，进一步提升逻辑推理和数学运算素养。

例1变式2：若D为BC边上的中点，求[ABC]面积的最大值。

由高变到中线，让学生体会解三角形问题的本质都是利用边角关系或向量构建等量关系，体会方程思想在解三角形中的应用，提升其数学抽象素养。构建关于中线的等量关系，学生主要有以下三种方法。

生1：[cosB=AB2+BD2-AD22AB·BD=AB2+BC2-AC22AB·BC]，即[c2+a22-322c·a2=c2+a2-b22ca]，由此推出[a2=2b2+2c2][-12]，再利用余弦定理[a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2][-bc]，两式联立消去[a2]得[b2+c2=12-bc≥2bc]所以[bc≤4]，当且仅当[b=c]时等号成立。所以[SABC=12bcsinA=][34bc≤][3]。

生2：[cos∠ADB+cos∠ADC=0]，即[AD2+BD2-AB22AD·BD]

+[AD2+BD2-AC22AD·BD]=0。化简整理得[AB2+AC2=][2BD2+AD2]，即[a2=2b2+2c2-12]，其余同上一位同学的解法。

生3：由[AD=12AB+AC]，得[AD2=14AB+AC2]，即[AD2=14AB2+14AC2+12ABACcosA]=[14b2+c2+][2bc cosA=3]，所以[b2+c2=12]。因为[b2+c2≥2bc]，所以[bc≤4]，当且仅当[b=c]时等号成立。此时[SABC=][12bcsinA=34bc≤][3]。

教师让学生对比三种方法的优劣，学生一致认为向量法比较简单，所以自然而然地把向量法纳入解决中线问题的最优策略。一题多解培养了学生的思维活力。教师顺势抛出例1变式3。

例1变式3：若[BD2=12DC2]，求[b+2c]的最大值。

由中线变到三等分线，由面积的最值问题变到和式的最值问题，让学生学会迁移前面学过的知识，即由特殊的高、角平分线、中线问题迁移到三等分线问题，甚至进一步迁移到任意等分线问题，由面积即两数积最值问题迁移到两数和最值问题，进一步迁移到形如[λb+μc]的最值问题。有前面梳理的知识作为铺垫，学生不难想到利用“爪子定理”去构建等量关系，即[AD=23AB+13AC]，所以[AD2=23AB+13AC2=][49AB2+49AB·AC+19AC2=49c2+49cbcosA+19b2=3]，即[b2+2bc+4c2=27]，即[b+2c2=2bc+27≤b+2c22]+27，[b+2c≤6]，当且仅当[b=3、c=32]时等号成立。

设计意图：通过改变线段[AD]为角平分线、高、中线、三等分线，让学生体会爪子形三角形的一般解法，即都是利用方程思想去构建边角的等量关系，只要知道[D]分底边[BC]的比，就可以利用向量关系即“爪子定理”构建等量关系，进一步求解出面积或周长或[λb+μc]的最值问题。这样设计巧妙地覆盖了解三角形中的两大重难点——三线、任意等分线问题和最值问题，既夯实了双基，又避免了题海战术，大大提高了课堂效率，很好地发展了学生的数学学科核心素养。

师：（追问）此题还可以怎么变？请你根据自己设计的变式题写出解答过程。

教学分析：学生的变式主要围绕三个方面展开，一是将三等分点变成四等分点、五等分点……二是将[b+2c]的最值问题变成形如[λb+μc]的最值问题或面积最值问题，三是限定三角形的形状为锐角三角形或钝角三角形。接着学生开展合作探究，解决变式问题，发现有些和式的最值问题不能再用基本不等式解决，只能用边化角三角函数的方法去解决，从而复习了解三角形大题最值问题的两种重要思想方法——基本不等式法和函数法。

设计意图：让学生由解题者转变为出题者，使其站到一个更高的角度去看待问题，从而抓住问题的本质，摸清出题者的意图，实现由“考什么”到“怎么考”的顿悟，做到知其然知其所以然。

4.评价反馈，优化教学设计

教师最后给出课堂实施过程性评价表（如下页表1所示），课后收集学生的评价反馈，并反思改进教学设计。

三、高三数学微专题复习变式教学设计思考

（一）围绕必备知识，夯实“四基”“四能”

教学设计应以大单元为指导，围绕内容与问题沟通整个教学活动，建立数学的逻辑性、系统性和科学性网络，主问题的设计要紧紧围绕“四基”和“四能”开展，如案例中的必备知识是三角形高、中线、角平分线、任意等分线有关性质，三角形面积的求法，利用基本不等式求最值等，例题和变式题的设计均紧紧围绕必备知识进行，先假设线段AD为高，再把AD变为角平分线、中线、三等分线、任意等分线，设问由求面积的最值变到求线段长的最值，充分夯实“四基”和“四能”。

（二）突出理性思维，考查关键能力

解决“三线”问题和任意等分线问题，核心是构建关于“三线”和任意等分线的方程，而构建方程的入口较宽，分析问题时需要合理选择解题路径，并有必要在操作前对所选路径中可能遇到的运算概况进行预判，从而迅速锁定解题最佳路径。本研究以变式教学为手段，通过设置具有思辨性的变式问题，培养学生灵活提取和运用已储备的知识和方法，使其善于运用辩证思维来分析问题和解决问题，并懂得灵活变通，让思维更加灵活和严谨，不断提升学生的关键能力和思维品质。

（三）立足“四翼”要求，突出核心素养培养指向

“四翼”即“基础性、综合性、应用性、创新性”，回答“怎么考”的问题。响应“四翼”考查要求，教师应注重以必备知识和方法为起点，借助典型例题，挖掘更多的探究点，进行归纳、类比、迁移，提升学生发现问题和解决问题的能力，进而培养学生的创新意识，让学生的综合能力得到发展。同时，在教学过程中要善于捕捉学生学习过程的亮点，让探索与创新的交织推动学习活动发展，培养学生的创新思维。

（四）基于评价，把控学生核心素养培养走向

变式教学的评价应关注四个方面。第一，评价教学内容、评价变式目标、评价问题设计是否符合学生的认知规律，能否激发学生的学习好奇心，以此为基础判断学生数学学科核心素养水平，以达到重新调整和优化教学设计的目的。第二，评价变式教学中学生思维的发展，根据学生思维结构的差异判断是否创设合适的数学情境，提出有深度有内涵有层级的问题，以学生思维广度、深度等作为评价重点。第三，评价教学过程，保障教学过程评价的及时性和有效性，判断教师对教材的逻辑组织能力、教学互动氛围、学生学习态度和兴趣爱好等方面是否达到目标，以数学学科核心素养为主线指导和贯穿整个教学过程，判断是否有助于推动学生与教师的发展。第四，基于上述三个过程评价，对学生学科核心素养的发展进行评价，检验变式教学活动的有效性。

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］潘晓杭.变式教学在高三数学复习中的实施策略［J］.教师教育论坛，2021，34（02）：92.

注：本文系柳州市基础教育科学“十四五”规划2023年度立项课题“‘三新’背景下基于学科核心素养培养的高中数学变式教学策略研究与实践”（2023-C26）的研究成果。

（责编 刘小瑗）