巧用“将军饮马”模型求解最值问题

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院 李传煜

最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结合特定的数学模型进行解决.本文中以全国各地中考题为例,对如何构建“将军饮马”模型求解最值问题进行了探讨.

1 “将军饮马”模型

基本模型：两定点+一动点.

图1

已知两定点A,B在直线l同一侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB最小.

解法：如图1,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与定直线l的交点P即为所求的点,且PA+PB的最小值就等于AB′的长,其基本原理是“两点之间线段最短”.

2 模型应用

2.1 求线段和的最值

图2

例1(2022年山东德州)如图2,正方形ABCD的边长为6,点E在BC上,CE=2,M是对角线BD上的一个动点,求EM+CM的最小值.

分析：由题可知C,E是定点,BD为定直线,M是BD上一动点,且定点C,E在BD的同侧.根据以上分析,可以联想到“两定点+一动点”的“将军饮马”模型.此类问题常通过平移、翻折、旋转等方法转化为“两点之间线段最短”来求出最小值.本题定点C比定点E更容易找到其对称点,进而将同侧两定点转化为异侧两定点,求出EM+CM的最小值.

图3

解析：如图3,由正方形的性质,可知点A,C关于直线BD对称.

连接AM,根据对称性可知AM=CM.所以(EM+CM)min=(AM+EM)min.

根据两点之间线段最短,当A,M,E三点共线时,AM+EM取最小值,即为线段AE的长.

因为BE=4,AB=6,所以

2.2 求几何图形周长的最值

图4

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式.

(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP的周长最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

分析：此处只分析第(2)问,要求△ABP周长的最小值,即求线段AP+BP+AB的最小值.由于A,B为定点,P为x轴上一动点,且定点A,B在x轴的同侧,因此可联想到“两定点+一动点”的“将军饮马”模型.由题意可知AB的长为定值,因此只需要求AP+BP的最小值即可.

图5

如图5,过点A和点B分别作x轴的垂线,交x轴于点D,E.

所以CE=AD.又OE=6,OC=3,所以CE=AD=3.

作点A关于x轴的对称点A′,连接A′P.

所以(AP+BP)min=(A′P+BP)min.

根据两点之间线段最短,当A′,P,B三点共线时,A′P+BP取最小值,即为线段A′B的长.

由题意得A′(2,-3),所以

2.3 求抛物线背景下的线段最值及点的坐标

图6

例3(2022年天津)如图6,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A(-1,0)和点B.

(1)若b=-2,c=-3,①求点P的坐标;②直线x=m(m是常数,1

(2)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点,F是y轴的负半轴上的动点,当PF+FE+EN的最小值为5时,求点E,F的坐标.

分析：此处只分析第(2)小问,由于P,N为抛物线上的定点,E为x轴上的动点,F是y轴上的动点,EF为定长,根据以上分析可联想到“两定点+两动点”的“将军饮马”模型.由题意可知EF为定值,因此只需要求PF+EN的最小值,再通过题意求出直线EF的方程,进而求出点E,F的坐标.

解析：(2)由抛物线与x轴交于A(-1,0),可知a-b+c=0,又3b=2c,则b=-2a,c=-3a,所以抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a(a>0).

所以由抛物线y=a(x-1)2-4a,得P(1,-4a).

图7

如图7,作点P关于y轴的对称点P′,连接P′F.

根据对称性,可知P′F=PF.

作点N关于x轴的对称点N′,连接N′E.

根据对称性,得N′E=NE.

所以(PF+FE+EN)min=(P′F+FE+N′E)min.

根据两点之间线段最短,当P′,F,E,N′四点共线时,P′F+FE+N′E取最小值,即为线段P′N′的长.

将x=2代入抛物线解析式,可得yN=-3a,则点N坐标为(2,-3a),所以N′(2,3a).

又点P′坐标为(-1,-4a),所以

设直线P′N′的解析式为y=kx+b.

解决“将军饮马”问题,究其本质就是利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”的基本原理,用几何变换将若干原本彼此分离的线段组合到一起,即“化折为直”[1],进而解决问题.