中考几何探究性压轴题解法突破——以2022年陕西省初中学业水平考试第26题为例

⦿陕西省西安市西大附中浐灞中学 樊王晔

1 链接中考

例1(2022年陕西省初中学业水平考试数学第26题)问题提出：(1)如图1,AD是等边三角形ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为______.

图1

图2

问题探究：(2)如图2,在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°,过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积.

图3

问题解决：(3)如图3,现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;

②作CD的垂直平分线m,交CD于点E;

③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线m于点P,连接AP,BP,得△ABP．

请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论．

解析：(1)∵AP=AC,

∴∠ACP=∠APC.

∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°,

∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°.

∴∠PCD=15°.

∴∠APC=∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°.

故答案为：75°.

图4

(2)如图4,连接BP．

∵AP∥BC,AP=BC,

∴四边形ACBP是平行四边形．

∴BP=AC=6．

∵∠ACB=120°,

∴∠PBE=60°．

又l⊥BC,

∵∠ABC=30°,

(3)由作法可知AP=AC．

∵CD=CA,∠CAB=45°,

∴∠ACD=90°．

图5

如图5,以AC,CD为边,作正方形ACDF,连接PF．

∴AF=AC=AP.

∵m是CD的垂直平分线,

∴m是AF的垂直平分线．

∴PF=PA．

∴△AFP为等边三角形．

∴∠FAP=60°,即∠BAP=15°．

故裁得的△ABP型部件符合要求.

方法运用：本题考查了等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线等,涉及的知识点较多,综合性强,有一定的难度,解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解.其中第(2)问求解四边形的面积,是通过添加辅助线,将其转化为三角形的面积问题来解决的;第(3)问探究三角形部件的剪裁是否符合要求,主要是根据作图的方法,通过添加辅助线来判断,其中构造正方形ACDF、证明△AFP为等边三角形是关键.

2 类题演练

例2(2021年陕西师大附中数学中考模拟卷第27题)(1)如图6,△ABC为等边三角形,AB=2 cm,则△ABC的面积为______.

图6

图7

(2)如图7,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5．如果P是AD边上一点,且AP=1,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.

图8

(3)如图8所示,有一个平行四边形花园ABCD,AB=300 m,AD=100 m,∠A=60°,点E在边AB上,且AE=AD．现需在花园内开辟四边形区域AEFD种植一种红色花卉．根据设计要求,F为花园内(含边界)一点,满足∠DFE=60°,同时过点F修建一条笔直的小路GH(点G,H为该花园入口,其中点G,H分别在平行四边形ABCD的边CD,AB上),且使GH平分该平行四边形花园ABCD的面积．那么是否存在这样的点F,使四边形AEFD的面积最大且使GH平分该平行四边形花园ABCD的面积?若存在,请求出此时四边形AEFD的面积及线段GH的长度;若不存在,请说明理由．(小路宽度忽略不计.)

解析：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为D.

∵△ABC为等边三角形,

∴AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°.

∵AC=2,

图9

(2)如图9,连接AC,BD交于点O,连接PO并延长,交BC于点Q.

∵四边形ABCD为矩形,

∴AO=CO,PO=QO.

又∠AOP=∠QOC,

∴△APO≌△CQO.

同理,可得△POD≌△QOB,△AOB≌△COD.

∴S△APO+S△ABO+SBOQ=SQCO+S△CDO+SPDO.

∴PQ平分矩形ABCD的面积.

过点P作PH⊥BC,垂足为H.

由上述证明,可知AP=CQ=BH=1.

∴HQ=BC-BH-CQ=5-1-1=3.

在Rt△PHQ中,

(3)如图10,连接DE,作DE的垂直平分线,再作FE的垂直平分线,两条垂直平分线交于一点O,以O为圆心,OE长为半径作圆,交CD于一点G.当点F位于点G时,四边形AEFD的面积最大,理由如下.

图10

∵AD=AE,∠A=60°,

∴当△DEF面积最大时,四边形AEFD的面积最大.

又△DEF的边DE为定值,且∠DFE=60°,

∴F为一个圆上的动点,且∠DFE为圆周角,DE,EF,DF为圆的弦.

∴作DE和EF的垂直平分线,交点O即为圆心.

再连接对角线AC,BD交于点P(如图11),连接GP,并延长交AB于点H,易得△EGH为等边三角形,所以GH=100 m．

图11

3 突破策略

解决中考压轴题可以遵循以下几个策略.

(1)认真分析题意,从整体上把握试题的特点与结构;

(2)认真审题,明确目的性,挖掘隐含条件,提高准确性;

(3)仔细分析条件与结论之间、图形与数式特征之间的关系,寻求合理的解题思路和方法;

(4)从较容易的小题入手,先易后难,步步为营,各个击破,逐步扩大“战果”.