一道中考题的解法探析与教学建议

⦿ 福建省漳州市第三中学 张小英

1 问题呈现

图1

如图1,△ABC内接于⊙O,AD∥BC交⊙O于点D,DF∥AB交BC于点E,交⊙O于点F,连接AF,CF.

(1)求证：AC=AF.

2 解法探析

2.1 思路1

图2

(2)如图2所示,作辅助线连接AO,CO,由第(1)问的结论,已知顶角度数,利用等腰三角形的性质得两底角的度数,再由同一段圆弧所对的圆心角等于圆周角的两倍,得圆心角∠AOC=150°,最后利用弧长公式求出弧长.

解法一：∵AD∥BC,DF∥AB,

∴四边形ABED是平行四边形.

(或∵AD∥BC,∴∠D=∠DEC.

∵DF∥AB,∴∠B=∠DEC.)

∴∠B=∠D.

∵∠B=∠AFC,∠D=∠ACF,

∴∠AFC=∠ACF.

∴AC=AF.

(2)如图2所示,连接AO,CO.

由(1)得∠AFC=∠ACF,又∠CAF=30°,

∴∠AOC=2∠AFC=150°.

∵⊙O的半径为3,

2.2 思路2

图3

图4

解法二：(1)如图3,AD∥BC,DF∥AB,

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∴∠ACF=∠AFC.

∴AC=AF.

(2)如图4所示,连接OC,OF.

∵∠CAF=30°,

∴∠COF=60°.

∵⊙O半径为3,

∴⊙O的周长为2πr=2π×3=6π.

由(1),可得AF=AC.

2.3 思路3

(1)如图5,根据已知条件,结合所给图形,连接AO,FO,CO,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形这一判定定理,得四边形ABED是平行四边形,由平行四边形对角相等的性质得∠B=∠D;再由圆周角定理,可得∠AOC=∠AOF;又因为圆的半径相等,所以根据“SAS”得△AOC≌△AOF;最后根据全等三角形的对应边相等,得到AC=AF的结论.

图5

解法三：(1)如图5,连接AO,FO,CO.

∵AD∥BC,DF∥AB,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∴∠B=∠D.

∴∠AOC=∠AOF.

∵AO=FO=CO,

∴△AOC≌△AOF.

∴AC=AF.

(2)由(1),得△AOC≌△AOF.

∴∠CAO=∠FAO.

∵∠CAF=30°,

∵OA=OC,

∴∠CAO=∠ACO.

∴∠AOC=180°-2∠CAO=150°.

2.4 思路4

(1)根据已知条件,结合图6,由在同一圆中同一段弧所对的圆周角相等,得∠1=∠2,∠4=∠5;由两直线平行,内错角相等,得∠5=∠6,∠2=∠3;再由等量代换,得∠1=∠3,∠4=∠6,接着将其两两相加可得∠AFC=∠ACF;最后,由三角形中等角对等边,得出AC=AF的结论.

(2)同解法一.

图6

∴∠1=∠2,∠4=∠5.

∵AD∥BC,DF∥AB,

∴∠5=∠6,∠2=∠3.

∴∠1=∠3,∠4=∠6.

∵∠AFC=∠3+∠4,
∠ACF=∠1+∠6,

∴∠AFC=∠ACF.

∴AC=AF.

(2)同解法一.

通过多种解法的探讨,可以看出选择不同的解题思路,所涉及的知识点和运算方法不同,这样就可以实现“会一题懂一类”的解题训练追求．

3 考生常见解题错误

3.1 平行四边形与菱形混淆

3.2 对圆周角、弦与圆弧的关系一知半解

3.3 角表达错误

有部分考生解题过程基本正确,但是角的表达形式却出现错误,例如将“∠AFC=∠ACF”表示成“∠F=∠C”等错误.可见,考生在平时的学习中不注重细节.

3.4 弧长公式表达错误

4 教学建议

从考生的整体答题情况来看,当届考生对于定义、性质、定理等初中数学基本知识理解不透彻,将文字语言转化为符号语言的能力不足,逻辑推理能力不足,反映了学生几何直观素养的培养有所欠缺.

教师在平时的教学中应该注重定义的引入与讲解,保证学生能透彻理解每个定义,这也有助于学生对于定理的学习;对于有相互联系的定义或者定理,应该教会学生如何区别与记忆,并及时提供相关配套练习,使学生能够熟练掌握;在平时教学中应该让学生加强记忆,利用课堂时间进行小测,促使学生将公式牢记于心.

此外,2022年福建省数学中考卷的第21题属于几何证明题,逆向思维是解决几何证明题非常重要的思维方式,因此教师在平时教学中应该加强学生逆向思维的训练,增加此类型的题目,在讲解时多引导学生如何从结论出发通过逆向分析来解决问题.对于难度较大的题目,通常需要将正向思维与逆向思维相结合,根据结论和已知条件展开分析.

最后,初中数学几何知识主要包括图形、线、角等各方面的知识,其中包含各种基础概念与计算公式,教学中应以概念、定理的讲授为基础,注重培养学生的数学核心素养,重点提升学生的图形转换能力,善于将信息技术融入课堂教学,全面培养初中生的几何解题能力.