注重联系,关注生成,聚焦思维——因式分解(分组分解)教学设计及反思

⦿ 江苏省无锡市东林中学 卢晓雨

郭元祥教授指出：深度教学要基于知识的内在结构,通过对知识完整深刻的处理,引导学生从符号学习走向学科思想和意义系统的理解和掌握,并导向学科素养.学习的本质是理解学科思想,学会思维,创造新知.因此,设计真正能启发学生思维,让学生真正学会学习的数学课堂教学活动显得尤其重要.本文中以“因式分解(分组分解)”的教学设计为例,谈谈如何培养学生数学思维能力与学科素养.

1 课题分析

1.1 教学分析

“因式分解”是苏科版七年级下册第9章的内容.初中阶段,因式分解是代数式的恒等变形、解方程等的重要工具.因式分解内容安排在整式乘法之后,目的是让学生领会这两种变形的互逆关系及各自的功能,避免二者混淆.前面几节课已经学习了提公因式法因式分解,运用平方差公式(两项)、完全平方公式法(三项)因式分解,本节课主要解决四项多项式的因式分解问题.

1.2 学情分析

小学阶段,学生学习了分解质因数;进入初中,学生经历了由数到字母、由特殊到一般的过程,通过因式分解前面三节课的学习,知道了因式分解与整式乘法之间的联系,会运用提公因式法、公式法因式分解.四项多项式的分组分解有几种情况,学生不容易掌握,因此将其确定为本节课的重点和难点.

1.3 教学目标

(1)学会观察四项多项式的特征,能根据不同题目的特点,选择较合理的分组方法进行因式分解.

(2)通过整式乘法逆推得出分组分解法因式分解的过程,发展逆向思维能力和推理能力.

(3)体会整式乘法与因式分解的对立统一关系.

2 教学过程

2.1 回忆旧知,引入课题

练习把下列多项式因式分解：

(1)25x2-100;

(2)x2(a-b)-y2(a-b);

(3)2x2y-x3-xy2;

(4)81x4-72x2y2+16y4.

教学说明：通过这四道小题,将学过的两大方法作一个回顾与总结.因式分解时,通常先看能否提公因式;提完后再看一下还有几项,对于剩下两项或三项的分别观察能否用两种公式继续分解;最后检查分解是否彻底.这为接下来学习四项多项式的因式分解做好必要的知识铺垫.

2.2 探究新知,四项溯源

类型1：两项乘两项.

我们把多项式乘多项式法则再来回顾一遍：

图1

在计算(a+b)(c+d)时,注意先把(a+b)看成一个整体,即把多项式乘多项式转化成两次运用单项式乘多项式法则来处理,最后结果为四项(如图1).下面请同学们一起总结这一种类型的多项式因式分解的步骤.第一步,两两结合,结合的原则是每一组都能提公因式;第二步,分别提出每一组的公因式;第三步,再提公因式,此时公因式是一个两项的多项式.因式分解的最后结果是两项乘两项.

类型2：三项乘三项.

前面学习整式乘法时,教材上有一道例题是计算(x+y+4)(x+y-4),请同学们思考：如何运用乘法公式迅速计算?学生答：把x+y看成一个整体,先运用平方差公式计算,再运用完全平方公式展开.教师追问：为啥结果恰好为四项?由平方差公式计算得到两大项,其中(x+y)的平方项再用完全平方公式展开,由“一项”变成三项,最后的结果3+1,恰好也是四项.那么满足这种特征的四项多项式,你会因式分解吗?请同学们说说你的想法.学生：也是分成两组,但不像刚才那样两两结合,而是有一个组合里放三项,恰好是一个完全平方展开式,还有一项单独一组(如图2).先运用完全平方公式,再用平方差公式因式分解,最后的结果一定是三项乘三项.

图2

类型3：两项乘三项.

刚才我们研究了两项乘两项、三项乘三项都有可能得到四项式这两种情况.三项乘三项在不能合并同类项的情况下,结果应该为九项,但在满足一些特殊构造的情况下,很多项可以合并.那么,是否还有其他情况?大胆猜想一下：两项乘三项有没有可能得四项?在不能合并时,两项乘三项结果应该为六项,从六项减少为四项,少了两项,我们自然会联想到哪种情况?学生：运用平方差公式计算时,四项变成两项,减少了两项,其中有两项正好抵消了.

利用平方差公式计算时也有技巧,要尽可能运用公式,简化运算,而不是去套多项式乘多项式的法则.这里把a+b看成一个整体,第二个括号内的a-b看成一个整体来计算.结合的原则是：能用平方差公式分解的结合在一起,还有两项结合一般是能提公因式.

2.3 总结特征,科学分组

前面我们研究了三种类型的四项式,如果将一个四项多项式进行因式分解,在不能提公因式的情况下,如何根据题目的特征,迅速找到合理的分组方案呢?对于四项多项式的因式分解,通常是先分成两大组.有一种分组方式比较特别,它不是均衡地两两结合,而是其中的三项结合在一起,其他的情况大多都是两两结合.例如多项式a2-b2+ax+bx的特征,请同学们找找看.

学生：能找到两个平方项的差,可以两两结合,分成两组进行分解(如图3).

图3

形如ac+bc+ad+bd的多项式没有平方项,在因式分解的时候当然也就不可能运用平方差或完全平方公式了,所以这种类型的多项式一定是两次提公因式进行因式分解,而且一定有两种结合的方案,原则是能保证各小组可提取公因式.

2.4 例题教学,实践运用

例把下列多项式因式分解：

(1)4xy-1-2x+2y;

(2)x2-2x-y2+2y;

(3)x2-1-y2+2y;

(4)x3-x2-x+1;

(5)x4+x3+x2-1;

(6)x5+2x4+x3-x.

教学说明：根据刚才探究的规律解决实际问题,引导学生练习时先划好平方项,观察数量、符号的异同,迅速判断属于哪一种类型.教学时,可以让学生预判一下最后因式分解的结果是几项乘几项.

2.5 总结回顾,完善结构

学完了四项多项式的因式分解,请同学们完善因式分解的知识结构图.

教学说明：引导学生对因式分解内容进行整体回顾,并与整式乘法进行比较,形成知识体系.

2.6 分层作业,巩固提升

练习1把下列多项式因式分解：

(1)a2-ab+ac-bc;

(2)2ax-10ay+5by-bx;

(3)2a-a2+6b+9b2;

(4)4x2-y2-4x+1;

(5)1-m2-n2+2mn;

(6)4y2-2y+3x-9x2.

练习2在计算形如(a+b)(a2+ab+b2)的多项式乘多项式时,先用多项式乘法法则展开,结果为六项,其中有些项可以两两合并,最后结果也恰好为四项.结合整式乘法的计算过程,思考：

(1)多项式a3+b3+3a2b+3ab2如何因式分解?

(2)多项式a3+b3+na2b+nab2(n≥2且为整数)如何因式分解?

教学说明：练习1是巩固本节课所学内容,练习2让学生自己再从整式的乘法开始,探究因式分解的方法,体现了对知识的发生及形成过程的深刻认知.

3 教学思考

3.1 教学设计改灌输为深度探究

传统的教学设计是给出三种类型的四项多项式,然后着重讲解每一种类型多项式的因式分解方法,以及如何分组、如何提公因式或运用公式,最后再配套习题进行训练.这样的设计割裂了新旧知识之间的关联.我们经常埋怨学生的知识不成体系,孤立碎片化,遇到新问题思路打不开,其实,根本的问题还是在课堂探究上,课堂教学设计没有从源头上掌握数学分析问题、解决问题的方法,简单粗暴的训练仅仅让学生掌握了一些浅表层的知识,而且随着时间的推移还容易遗忘.本节课关注到多项式乘多项式结果为四项的可能情况,紧紧围绕新旧知识之间的联系,展开深度探究,既较好完成了教学任务,又再现了人类认知新领域、解决新问题的科学方法,培养了学生的数学学科素养和探究能力.深度课堂需要有深度的课堂教学设计.“深度”不是增加知识的难度和广度,而是设计要能体现数学知识的前世今生、演化和生成过程.在深度探究过程中认识和体会数学思想、方法的来龙去脉,培养学生的学科素养,提升解决新领域新问题的综合能力.

3.2 数学方法的背后要揭示本质规律

之前在讲四项多项式的因式分解时,因为对本质特征认识不深刻,在教学中,让学生去尝试,去试错,这样分组不行再换一种结合的方式.其实是对四项式特征、四项式来源认识不够深刻.为什么分组时,有的是两两结合,有的是一三分组?有的是两次提公因式,有的是运用平方差、完全平方公式?受条件中什么因素控制?原来无论是运用平方差还是完全平方公式至少都得有两个平方项,搞清楚本质特征、规律,可以高效地进行分组,可以对因式分解的结果进行预判.通过关注四项式的生成过程以及因式分解的过程,得到因式分解的通法,即提公因式、反复提公因式,公因式有时是单项式,有时是多项式,所谓的公式法只不过是走了一个捷径.比如运用最简单的平方差、完全平方公式进行因式分解,如果我们没有学过公式,那就要通过拆项、添项转化成四项式,两两分组,两次提公因式因式分解.

3.3 作业反馈再现课堂深度探究过程

课后的作业反馈,不仅仅是简单操练本节课所学的知识点达到熟练的目的,掌握基础知识是教学的基本表层目的,通过学科知识发展学生学科核心素养和学科关键能力才是教学的根本目的.郭元祥教授指出：“知识之后”是对符号知识的超越和追问,是对知识所隐含的思想、意义、思维方式的深层追问.因此,作业设计不仅仅是让学生掌握本节课必备的技能,更重要的是培养学生解决新问题的思维方式.两项乘三项结果为四项的另一种情况的因式分解,放在课后让学生通过整式乘法的计算过程探究因式分解的方法,是对学生思维品质的锻炼和提升,是技术主义取向基于知识处理对学生核心素养的发展和成长的关注.

总之,深度学习,打造思维课堂,要改变以往的浅尝辄止、追求短平快的速效课堂带来的学生囫囵吞枣、食而不化的现象.这需要我们在教学设计上下功夫,在知识的生成上还原演化过程,在新旧知识的关联处找切入点,在知识运用与迁移中把握本质规律.因此,我们的教学设计要让深度思维融入课堂教学的各个环节,让学生的核心素养落地生根,让探究能力开花结果.