关联：指向深度学习的小学数学教学实践

鲁琪

［摘 要］“比例”是小学数学数与代数领域最后一部分内容。掌握正比例知识，有助于学生串联和审视整个数与代数领域内容，初步感受函数的思想方法。文章以人教版教材“正比例”教学为例，基于对影响“正比例”学习效果的因素分析，从学习进阶过程内容、数形结合思想方法、模拟社会实践价值等方面探寻指向深度学习的教学策略。

［关键词］正比例；深度学习；内容关联；思想关联；价值关联

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）29-0066-03

“正比例”是小学数学六年级“比例”单元中的内容，具有抽象、复杂等特点，学生通过学习“正比例”，初步理解抽象思维和函数思想，为将来学习函数知识打下基础。然而，学生在学习“正比例”的过程中，难免对概念认识不够深刻，对核心内涵模糊不清，遇到变式容易误判，解决问题时不能主动关联比例思想等。基于学生认知、情感、思维、应用等发展状况，笔者结合比例相关上下位知识、内容特点及教学方式分析，梳理影响“正比例”教学效果的因素，具体如下。

整体意识不强，孤立看待学习内容。课堂教学容易出现单独化、碎片化状态，导致学生觉得该内容突兀、难以理解，无法在同类情境下判断两个量是否成正比例，不能形成关于比例的学科整体观念。

思维程度偏浅，未能深入理解本质。六年级学生的思维虽然以抽象逻辑思维为主，但这种思维程度还比较浅显，仍与直观经验相关。因此，在学习“正比例”时，学生难以深入思考其内涵及意义，比如，为什么给出的数据只有几组？为什么画出的“正比例”的图像是一条可以无限延长的射线？

应用意识淡薄，缺少联系生活实践。虽然“比例”在生活中无处不在，但是由于其在生活中的呈现方式多样，加之学生的生活经验相对有限，应用意识比较薄弱，导致他们认为比例知识只能用于解决数学问题，不能应用在其他领域。

在数学学习的过程中，联系无处不在且形式多样，包括内容层面、思想方法层面及数学知识的应用价值层面等。教学中应注重引导学生在不同层面进行关联，实现深度学习，发展核心素养。

一、纵观·中观·微观：体悟学习进阶过程的内容关联

数学教材中一个大概念被分割成多个小知识点，分布在不同学期、不同单元中。教师教学时要避免因单元及课时划分等造成的知识断层，应以整体视角看待学习素材，把新知识融入知识体系中。

1.溯源纵观：学段视角解构

“数学是一门关系学。”这是张奠宙教授在《小学数学研究》一书中提出的。意思是，数学中不同的知识、方法、思想有着密切的联系。通过梳理教材可以发现，与正比例相关的前置知识，在第二、三学段均有出现，具体内容见表1。

由表1可知，“正比例”并不是突然出现和单独存在的。可以说，“正比例”是小学阶段“除法”“分数”“比”等内容的升华。在教学时，整理概念目标和内容，明确逻辑关系，注重关联性，引导学生建立新的概念与学过的数学概念的联系，让学生对新概念自然地扩展提升。

2.截面中观：单元视角解析

数学知识具有系统性和连贯性，新知识通常是在旧知识的某一连接点上生长的。因此，对于“正比例”的教学应该立足于大单元视角，及时捕捉前置资源，提前渗透相关内容。

【案例1】

“比例”单元第一课时“比例的意义”引入大小不同的国旗。它们的长、宽不同，但都是标准的。为什么它们看起来大小不同，形状却完全一样？通过这个问题引导学生从国旗的长、宽进行对比。经过计算，学生发现三面国旗的长、宽之比相等。

作为单元第一课，教材提供的例题是生活中常见的“正比例”知识的应用。虽然此时学生没有正式学习“正比例”知识，但是在解决问题的过程中，需要利用已有经验对相关的量进行充分对比。教师要引导学生感受比相等的内涵。比相等即比值相等，这是“正比例”的本质属性。

3.落点微观：课时视角解读

具体到课时，教学重心无疑会放在“比值一定”这个本质特征上。对于小学生来说，这是他们第一次正式接触变量，从固定的量到变化的量，从研究单一量到研究两个相关的量，是学生数学思维一次重大的飞跃。

【案例2】

课始，教师展示学生一年级和六年级时的照片，让学生观察、对比照片中的自己，说说感受。大家的身高、年龄、体重等都发生了很大的变化。教师引导学生理解，像年龄、身高、体重、时间等这些不断变化的量叫变量。

教师出示汽车行驶路程简图，引导学生找“路程”和“时间”这两个变量，并请学生简单描述这两个变量。学生会用“随着……也……”等关联词来表达路程和时间的关系。“路程”和“时间”这两个量是有关系的，还会互相影响，这两个变量叫相关联的量。

用最常见的行程问题，让学生交流并感受一个量变化，另一个量也随之变化，从而清楚地认识“相关联”，为理解“正比例”做好铺垫。

二、过渡·递进·交融：理解正比例概念建构的思想关联

“正比例”概念是对现实生活数量关系的抽象概括，是数学抽象逻辑思维的产物。小学生思维以直观形象思维为主，对高度概括、抽象的“正比例”概念的理解容易流于表面，达不到深度学习的效果。因此，教学时，应利用旧知识过渡、问题引领递进、数形结合等方式建构概念。

1.旧知过渡

从数的角度出发，引导学生通过观察数，找变化规律，并利用文字、算式、代数式等方式表达两个变量之间的关系，达到理解概念的目的。

【案例3】

根據汽车加油的情境，让学生描述“总价”和“加油量”的变化情况。学生从横向观察数据的变化情况，发现总价与加油量的变化情况相同，并且总价÷油量=6，也就是汽油的单价不变（如图1）。

从表格中找规律是学生熟悉和擅长的。教师引领学生，不仅找“商相同”这个规律，也不忽视横向上的规律，一个量增加，另一个量也随之增加，学生充分感受横向对比时两个变量变化的关联性和一致性，加强对两个变量的关联性的理解。

2.问题递进

根据难点，教师设置不同梯度的问题。对内容、方法、思路、表达等方面的追问，让学生的思维外显，自然搭建知识学习梯度，避免了学生因被动学习而对概念理解不足的情况。

【案例4】

（1）如果加油量是80升，在不计算的前提下，推测总价对应的点可能是哪一个？（如图2）

（2）想象，如果这样的点足够多，会呈现怎么样的图？

借助有梯度的问题，提供良好的学习任务，帮助学生进入学习情境，激发学习动机，逐步完成“正比例”图像的构建。

3.数形交融

让学生会用数学语言表达现实世界，是教学目标之一。学生在用数表征“正比例”概念时，初步感知量的连续变化，初步感受两个变量的比值一定。在进行“形”的补充中，深挖图像背后的意义。数与形两种数学语言对比、交融，让深度学习发生。

【案例5】

观察图像（如图3），思考：这条线会拐弯吗？图中横轴表示一个变量，纵轴表示另一个变量，不变的量在哪里？

此环节将数的表征和图的表征进行对比和融合。结合多媒体动态的演示，学生发现两个变量的比值反映在图上是一个个点。随着点的不断增加，形成方向不变的直线。学生能清晰地感受到，随着一种量增加，另一种量也在不断增加，两个变量比值对应的点所在的直线不断向上延伸。学生经历了直观到抽象的过程，深刻理解了“正比例”和“比值一定”的本质属性。

三、对比·结构·延伸：实现模拟社会实践的价值关联

深度学习让学生形成自觉发展的核心素养，让学生的成长从提高解答试题的能力转向提高解决问题的能力。具体的知识作为解决问题的工具被探索、被发现的过程，就是实现深度学习的过程。

1.對比式沟通

判断两个变量是否成正比例，主要看这两个量的比值是否一定。让学生明确研究方向是两个变量的比值。

【案例6】

联系概念思考：不断变大的圆的周长和直径是否成正比例？（如图4）不断变大的正方形周长和边长是否成正比例？不断变大的正方形面积和边长是否成正比例？

学生通过辨析，得出圆周长和直径的比值是一定的，因此两者成正比例。正方形周长和边长的比值是一定的，因此两者成正比例。正方形面积与边长的比值不是一定的，因此不成正比例。

此环节选取对比性较强的素材。因此，学生在对比、辨析中巩固了“比值一定”这一概念核心。

2.生活化结构

学生在面对陌生、复杂的真实问题时，所表现出的能够创造性地分析、较快形成解决思路、迅速进行决策、快速整合资源解决问题的可迁移素养是学科育人的追求。教学中，要及时激活链接，让学生经历知识的迁移。

【案例7】

有什么办法可以测量出学校旗杆的高度呢？

学生想到旗杆旁边的小树和影子，通过计算小树的实际高度和影长的比值，再测量旗杆的影长，进而求出旗杆的长度。

旗杆是学生熟悉的物体，知道直接测量旗杆高度的不便性，因此想到用正比例知识解题。学生分析问题，关联知识，迁移应用等能力和素养，正是在解决问题的过程中逐步实现的，这就是深度学习的意义。

3.延伸性思考

学生提出问题、理解问题、解决问题及产生新问题的过程，就是获得知识的过程，也是深度学习的过程。在真实的生活中，许多正比例关系只有在严格的条件限制中才能成立。

【案例8】

解决问题：在科学课上我们见过弹簧秤，如果把弹簧的长度与所挂砝码的质量这两种变量用图表示，你觉得应该是怎样的？进一步思考——这条线可以向一端无限延长吗？

学生知道弹簧是有弹性的，可以得出在弹性限度内，所挂物体质量和弹簧拉伸长度成正比例关系。在教师的提醒下，延伸思考，不难得出：如果挂的物体太重，超过了弹簧的最大承受力，弹簧就不会再伸长了，因此表示弹簧的长度这条线也不会无限延长。

生活中很多数量变化往往在一定范围内。在对上述现象的反思中，学生感受到数据变化的受限性。像这样借助生活来理解数学知识，对学生多角度思考数学问题大有裨益，能促进学生形成求真、求实的思想品质。

通过学习内容基于整体视角的深度关联，学生感受到数学学习之“根”；通过学习过程中基于数学思想的深度关联，学生领悟到数学学习之“魂”；通过应用价值实践探究的深度关联，学生体会到数学学习之“利”。教师在数学教学中要以“深度关联”为抓手，探索教学新样态，让深度学习自然发生。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 陈丽.数形从分离走向结合，概念理解从浅显走向深刻：以六年级“正比例的意义”教学为例[J].小学教学参考，2022（11）： 29-30.

（责编 黄 露）