植根数学思想 引导逻辑思维

沈佩佩

［摘 要］小学的几何图形问题是一个可以用一以贯之的逻辑基础封装的模块化教学内容。在平面图形和立体几何的教学过程中，教师可以逐步引导学生掌握周长、面积、体积公式以及图形和几何体的对称性、平移、旋转性质，从而帮助学生建立初步的数学逻辑体系。这一体系富有数学思想，并在数学学习方面有重要的意义和作用。

［關键词］几何图形问题；模块化教学；逻辑思维能力

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）29-0084-03

一、引言

小学数学是儿童开始接触数学逻辑的起点，也是培养他们数学思维的启蒙时期。随着国家科技发展的需要，基础科学人才的系统性培养越来越受到社会的广泛关注。其中，依托小学数学教学内容，对学生进行初步的科学逻辑思维培养正是其中重要的一环。这一类数学思维的引导和养成，无法通过增加教学内容的方式做到，也不能简单地通过对已有数学知识的拓展和介绍来实现。逻辑思维的养成应该是教师以具体的例子进行引导式教学，让学生在此类引导下实现逻辑思维复现，从而能体会数理逻辑的价值与魅力，并从中获得成就感，最终达成将逻辑思维方式内化为学生自身思考形式的教学效果。

小学数学的主要教学内容涵盖基本算术法则、几何相关计算和实际应用问题。如今的小学教学加入了一定的编程思维引导，如初步的编程课程，或者模块化编程思维训练。这就对算术和实际应用做了较为有效的逻辑补充。但同时应注意到，小学阶段的儿童在思维上存在较强的跳跃性，这就要求教师在教学时，不能长篇大论地进行数学论证，更不能过分要求学生完全按照编程的线性思维方式来思考数学问题。一个有效的教学方式就是在图形问题上对学生进行逻辑思维引导。

抽象思维和形象思维都是逻辑思维的重要组成部分。一方面，在小学课堂的教学过程中，形象思维的教学内容更易被学生接受。例如，在介绍“数的运算”时，教师常常采用学生熟悉的糖果、人物等具体形象开展教学引导；在教学四则运算和应用题时，也常常会采用数形结合的方式。另一方面，几何图形作为天生的形象思维载体，具有便于学生读题、便于学生理解和便于教师说明的特点。因此教师通过具体的几何图形的逻辑推演介绍几何结论，并展示逻辑思维的过程是合适且有效的。

笔者将以小学几何图形问题的教学内容为脉络，阐述笔者在各个教学阶段的教学经验和教学目的，从而论证小学几何图形问题在逻辑思维养成中的作用，对小学几何图形问题模块化教学方法进行总结。

二、小学几何图形问题的类型及特点

小学的几何内容主要分为平面几何和立体几何两部分。平面几何重点介绍了长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形、不规则图形和圆。立体几何主要包括长方体、正方体、圆柱和圆锥。另外，图形运动包含了图形的基本特征和图形刚体运动等的性质，例如对称、平移、旋转和反射。

从展现的形式特征上看，小学几何问题包含了反映几何图形性质的数量关系和几何图形在空间的简单位置关系。前者涉及图形的长、宽、高、面积、体积等概念，后者包含图形的对称性、割补性、边长和面积的大小关系等。这种形式上的区分反映了小学数学教学对儿童空间维度思考能力的拓展。同时，二维平面和三维空间是看得见、摸得着的，具有较好空间想象力和观察力的学生很容易就能将二维图形的一些性质推广到三维图形上。

从学生对几何图形问题接受的难易程度上看，圆的性质和相关问题的难度是有别于其他图形问题的。如何引导学生思考求圆的面积和周长以及圆锥的体积等问题将是小学数学教学中的一个重难点。说它重要的另一个原因是这个教学环节能够很好地反映数学思维的具体作用方式，反映人类思考此类问题的途径和动机，这也正符合“复现人类数学发展过程”这一教育理念。

从蕴含的逻辑内核上看，小学几何图形问题反映了人类的两种思维方式：整体系统的思维方式和局部变化的思维方式。这两种思维方式一直隐形贯穿于中小学数学教育始终，直至大学数学才显形地表现为高等代数和数学分析两门课程。具体来说，关于第一种思维方式，体现在讲授图形的对称、平移、旋转和反射等图形特点，其实是反映了几何图形的群论性质。这种将图形看作一个整体来分析的方法是直观且深刻的，在初中平面几何的位置关系判定，高中的圆锥曲线分类、射影几何初步，大学的线性代数都有体现。而第二种思维方式具体表现在求几何体的面积、体积，尤其是涉及圆面积、体积等问题，实质反映了几何图形尤其是弯曲几何体的分析。这种将图形局部分割后逐一分析的方法是基本且实用的，在小学的割补法，高中的立体几何、解析几何，直到大学的微积分都是这一思想的具体呈现。

这些特征都表明小学几何图形问题是教师传播数学思想和学生培养数学思维的有效途径和高效载体。

三、小学几何图形问题的各阶段教学目的与方法创新

根据《义务教育数学课程标准（2022版）》中“图形与几何”领域的内容要求，笔者在三个学段的几何图形相关问题教学过程中突显了思维引导和能力培养，将具体的学习内容落实为相应的能力培养过程，从而把每个知识点化作具体能力应用和思维方式发展的舞台，最终达到让学生养成数学逻辑思维能力的目的。

1.第一学段 （1～2年级）：如何抽象描述图形

在小学第一学段，图形问题主要是引导学生将具体的客观事物抽象成一定的几何图形[参见人教版教材一年级上册第四单元“认识图形（一）”、一年级下册第一单元“认识图形（二）”]。这要求图形具有一定的理想性，比如点没有大小、线没有宽度、面没有体积等。几何图形的抽象如同具体数量被抽象成为自然数，并逐渐抽象出数的运算规则，最终建立起复杂完备的数的体系，这种抽象在数学研究和思考中具有基础性。

因此，在教学过程中，笔者会在课前布置任务让学生寻找生活中具有方形、圆形等几何形状的具体事物，并提炼出它们的共性。在课堂上，笔者会让学生就这种几何图形的共性进行讨论和描述。不少学生可以提炼出数的信息，诸如方形都是4条边，都是4个角，反映学生对数字的理解要快于对图形的抽象感知。另一方面也说明，1～2年级的学生在图形观察上还需要更多地培养观测能力和发散思维。

在课堂讨论之后，笔者会引导学生比较各种图形的几何特征，并希望学生尽可能多地从各种特性上区分不同的图形。这种开放性讨论有助于学生建立抽象图形和具体实像的对应，能帮助学生理解抽象图形的区别和图形的特点。最后，笔者会解释这些图形的中英文名称，并留下作业：如果让你来命名这些图形，你会叫它们什么？

在学生建立了对平面图形的初步感知之后，笔者常常在课堂上延展性地引入诸如七巧板这样的教具，让学生在游戏中初步理解割补法的原理。

2.第二学段 （3～4年级）：平面图形的代数和分析思考方法

粗略来讲，在第二学段，小学数学几何图形问题教学的主要目的包括熟悉各类平面图形以及图形的周长和面积（参见三年级上册第四单元“长方形和正方形”、三年级下册第五单元“面积”、四年级上册第五单元“平行四边形和梯形”、四年级下册第五单元“三角形”）；能结合图形的平移、旋转、轴对称现象，在感受图形的位置与运动的过程中，形成空间观念和初步的几何直观。这一阶段对培养学生的几何直观、分析能力和代数思维十分重要。因此，在这一阶段的教学中，笔者做了较长的铺垫。

首先，回顾了七巧板、俄罗斯方块和推箱子等游戏，让学生通过这类游戏发现不同的图形可能会有相同的大小（面积），而面积可以把图形分割后分别计算再求和得到。其次，以2×2的正方形和1×4的长方形为例，让学生自己总结计算矩形面积的方法。然后，通过不同的分割方式，让学生思考平行四边形、三角形、梯形的面积公式（80%以上的学生可以完成）。最后，通过分割正多边形求面积的方法，建立圆柱体积和圆柱底面周长之间的关系。

接着仍以“正方形和长方形”为例，让学生讨论总结出它们的周长计算公式。并让学生回去思考：为什么两个图形的面积相同，周长却不一样呢？这里面有规律吗？

在关于图形的刚体运动性质方面，以现实中的例子为导引，仍以平面游戏为切入点，让学生寻找各类图形在对称、平移和旋转过程中体现的性质。有些学生甚至发现了对称翻转和平移、旋转的不同，前者是一瞬间的，后者是可以慢慢移动得到的。这反映了学生开始思考连续和离散的区别。笔者以此为契机，让学生思考：是否可以通过平移和旋转的方法得到某种反射呢？有一部分学生（30%左右）经过思考能发现这是不能的，甚至有学生将图形的正反两面涂色做区分。在这部分教学的最后，笔者让学生课后思考：旋转一个图形得到一个轴对称图形需要什么条件？

3.第三学段 （5～6年级）：立体图形的推广和技巧性方法

第三学段，几何图形问题的主要教学目的在于让学生建立立体图形的表面积、体积公式以及其他深入的几何理解（参见人教版教材五年级上册第六单元“多边形的面积”、五年级下册第三单元“长方体和正方体”、六年级上册第五单元“圆”、六年级下册第三单元“圆柱与圆锥”），其中立体图形体积为教学难点。

通過第二学段的教学，学生已经初步建立了以几何概型为直观背景的逻辑推理方式。教师稍加引导，学生就可以直接跳过具体例子的抽象环节，直接从长、宽、高的概念入手建立起正方体、长方体的体积公式。从立体图形的高这一概念入手，教师进一步引导学生拓展研究圆柱体及其他一般柱体的体积公式。

在立体图形体积问题上，教学的难点是引导学生建立圆锥的体积公式。笔者先通过实验法向学生展示这个公式。经过笔者的教学引导，有一部分学生是不满意这种论证方式的，这说明通过几何图形问题让学生初步建立数理逻辑已初见成效。针对这部分学生，笔者进行了课外兴趣拓展。在兴趣拓展中，笔者先引导学生思考圆锥的体积公式应该还是三个维度的乘积，可能是圆柱体积公式乘上一个固定的比例系数。为了确定这个系数，只需要考虑如何做一个平行于底面的截面将圆锥一分为二，使得下面的圆台和上面的小圆锥合起来的体积等于和上面的小圆锥等底等高的圆柱的体积。通过耐心讲解，这一具有竞赛难度的问题还是被部分学生理解。

四、总结

在小学的几何图形这一专题上，教师可以通过寓教于乐、逐步引导的方式逐渐引导学生建立初步的数学逻辑思维体系，并应用这种思维体系建立平面图形和立体图形的面积、体积公式；建立图形和几何体的对称、平移、旋转性质。这种数理逻辑体系是严格的，富有数学思想的，在学生今后的数学学习中具有重要的意义和作用。

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（责编 杨偲培）