非可微r-不变凸函数的η-鞍点条件

袁静 李向有 刘文艳

摘 要：利用η-逼近法，定义了η-鞍点和η-Lagrange函数。研究了一类包含r-不变凸函数的非线性数学规划问题的鞍点条件，得到了η-近似优化问题下的η-鞍点最优性准则和原规划的最优解与η-近似优化问题下的η-Lagrange鞍点的等价性，用新的方法推广了相关鞍点结论。

关键词：η逼近方法；η-鞍点；r-不变凸函数；η-Lagrange函数

中图分类号：O221.6;O224

文献标志码：A

近年来，利用相关的向量优化问题设计新的方法来解决原有的多目标数学规划问题及其对偶问题受到了广泛的关注。ANTCZAK［1，2］提出了一种改进目标函数的新方法，分别用于求解包含不变凸函数的可微多目标优化问题和非线性标量数学规划问题，通过对任意但固定的可行点x处修改给定数学规划问题的目标函数和约束函数，从而构造出η-近似优化问题。进一步建立了它与原非凸数学规划问题的等价性。在文献 ［3-6］中基于对不同的目标规划问题中通过修改原规划问题的目标函数和约束函数，构造得到相关的η-近似优化问题，建立其原规划问题和η-近似优化问题之间的等价性，得到相关的最优性条件、对偶條件和鞍点。

在数学规划问题中拉格朗日乘子及其拉格朗日函数的鞍点已经被广泛研究（如文献［7-9］）。这一结果在最优化理论和经济学中具有重要作用。同时，凸性的假设也是十分重要的，但其具有一定的局限性。为了放宽充分最优性定理中的凸性假设，HANSON［10］推广了凸函数即为不变凸函数。后来，ANTCZAK［11］引入了一类新的（非凸）可微函数，并将其称为关于η的r-不变凸。 BHATIA［12］在多目标规划问题中讨论了其最优性和鞍点准则。HO［13］在多目标分式规划问题中讨论了r-不变凸函数的鞍点准则。ANTCZAK［11，14］证明了包含r-不变凸函数的约束优化问题的充分最优性条件和Wolfe对偶性条件，给出了关于另一种类型的η-不变性的条件。

本文进一步讨论了文献［2］中的方法，解决一类非线性数学规划问题的r-不变凸函数关于η相同函数的问题。通过研究文献［11］中提出的η-近似方法，在用该方法构造的η-近似优化问题中，引入了一个所谓η-鞍点的定义和的η-Lagrange函数的定义。进一步证明了η-近似优化问题中η-Lagrange函数的一个η-鞍点与原数学规划问题的一个最优解之间的等价性。

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（責任编辑：于慧梅）

η-saddle Point Condition for Non-differentiable r-invexity Functions

YUAN Jing， LI Xiangyou*， LIU Wenyan

（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，China）

Abstract：

This paper uses the η-approximation method to define the η-saddle point and η-Lagrange functions. The saddle point conditions of a class of nonlinear mathematical programming problems including r-invex functions are studied， and the η-saddle point optimality criterion under the η-approximation optimization problem and the optimal solution of the original program and the equivalence of the η-Lagrange saddle point under the η-approximation optimization problem are obtained， and the relevant saddle point conclusion is generalized by the new method.

Key words：

η-approximation method; η-saddle point; r-invariant convex function; η-Lagrange function