鞍点在FC-度量空间中新不动点定理中的运用

朱玲芳

摘 要：本文通过对PC-度量空间中转移紧开值的新不动点定理进行分析基础之上，借助KKM技巧获得FC-度量空间中的相交定理、极大元定理、鞍点定理、极大极小不等式定理，通过对现有文献成果结论加以统一、改进并推广。

关键词：FC-度量空间;新不动点定理;鞍点

Park该名学者于1999年首次提出了超凸空间的开值映射不动点定理，于2000年Kirk基于该理论提出了超凸空间中转移开值映射不动点定理。后2005年有研究者在研究中通过在原有理论基础之上，获得了新的超凸空间不动点定理，重合定理，极大元定理以及鞍点定理和抽象经济平衡存在定理等。后Wen于2007年提出了L-凸度量空间不动点定理、匹配定理、鞍定定理、抽象经济平衡存在定理，通常来讲拟平衡问题系统解存在定理等。直至2010年研究至今将FC-度量空间引入研究，并对其中的Browder不动点定理、R-KKM定理以及匹配重合定理、定性对策平衡存在定理展开研究分析。本文也将探索鞍点在FC-度量空间中新不动点定理中的运用，对相关研究成果结论进行总结。

1.基础知识

假设X≠θ，通过对X的一切非空有限子集的族，以及所有X子集的族，均采用X及2X表示，将由e0，…en质检的顶点n维标准单形采用表示，将FC-空间采用（X，φn）表示，假若X作为拓扑空间，那么对应N={x0，...，xn}∈<X>，之间存在连续性映射：φn：→X，而X的FC-子空间采用表示，较N={x0，...，xn}∈<X>，，假设X与空间不等，则称之为映射T：作为R-KKM映射，假若={x0，...，xn}∈<X>，则存在，让，则可得。

通过假设度量空间采用（M，d）表示，则在M中Kuratowksi非紧性测度采用μ表示，FC-度量空间采用（M，d，φn）表示，假若度量空间为（M，d），那么FC-空间则为（M，φn），因此对应公式N={x0，...，xn}∈<M>，。

通过假设拓扑空间为X，Y，对单值连续性映射采用C（X，Y）表示，的族，假设X，Y≠θ，，可得映射定义，假设拓扑空间为，那么集值的最终映射值T为X→2Y作为转移值。假若对于与任意的非空集，因此，对应存在的，通过让。

在以上基础知识前提下将定义引入其中：

定义（1）假设FC-空间用表示，那么A，B则集值映射则采用表示，其中A相对于B来讲作为相对FC-凸值，因此对于：

（1）

（2）

由上定义（1）通过基于相关研究者的现有成果基础之上，定义A，B作为相对FC-凸值产生的。

定义（2）假设FC-空间用表示，那么实数表示则采用，对应两个泛函则表示。其中有关y相对g的F--拟凸表示f。因此假若对于：

（3）

根据如上公式（3）可得出非空子集：

（4）

有，其中f作为y相应的F--拟凸。

由上该定义（2）实现了对Kirk定义的统一推广，并基于Wen概念基础之上对F--拟凸进行界定，因此可以引出以下原理：

通过将定义（1）引理其中，假设FC-空间用表示，那么实数表示则采用，对应A，B：分别定义：

（5）

（6）

假设在X≠θ中拓扑空间运用Y表示，那么实数则用表示，泛函g：X×Y→作为相关y作为-转移紧下半连续的。

2.主要结论

定义（3.1）假设拓扑空间用X表示，FC-度量空间采用（M，d，φn）表示，那么完备FC-度量空间中的非空子集则用Y表示，A，B：作为两个映射，能够满足以下条件：（1）B作为非空值;（2）B-1作为转移紧开值;（3）A相对于B来讲作为相对FC-凸值;（4）。

证明：根据（1）能够得出：X=

因此可以断定对于，存在：

与。

假若不是则存在，对于，可得：

（7）

定义G：Y→2M，即G（y）=，在的条件下可以得出，，所以R-KKM的映射即G，再加上根据以上能够得出。由于B*作为转移紧闭值，因此以f连续性为依据可以证实G同样作为转移紧闭值。进而得出公式如下：

（8）

根据以上公式（8）能够得出：

（9）

因此根据以上公式（8）和公式（9），能够得出，该结果矛盾于。

那么根据以上的推导求解证实，存在

N=，与结合考虑，能够得出，因此可得：

（10）

根據，可以得出：

（11）

综上界定的定义（3），实现了的对Park学者提出原理的统一改进推广，并基于Wen定理中的2.1、3.2、2.5、3.3与3.2定理基础之上，实现了最终定理的推导求解。直接运用定理（3）能够存在极大元定理。

定义（3.2）中假设拓扑空间用X表示，FC-度量空间采用（M，d，φN）表示，那么完备FC-度量空间中的非空子集则用Y表示，A，B：X→2Y作为两个映射，能够满足以下条件：（1）B-1作为转移紧开值;（2）;（3）A，B是相对FC-凸值的;（4），存在能够得出。

根据该定义作为基于Kirk及Wen学者的定理基础之上推理得出。

定理（3.3）中假设拓扑空间用X表示，FC-度量空间采用（M，d，φN）表示，那么完备FC-度量空间中的非空子集则用Y表示，A，B：X→2Y作为两个映射，能够满足以下条件：

（1）B作为转移紧闭值;（2）;（3）A的连续性选择为f;（4）A*相关于B*相对FC-凸值，可得。

证实：首先针对，可得：

（12）

据此可得：

（13）

根据以上条件中的（1）能够发现，根据条件（2）可以发现B-1作为转移紧开值，根据条件（3）能够得出，因此可以得出：

，根据条件（4）与定义（3.2）结合能够发现，据此最终可得。

定义（3.4）假设拓扑空间用X表示，FC-度量空间采用（M，d，φN）表示，那么完备FC-度量空间中的非空子集则用Y表示，，实数运用表示，两个泛函，具体满足条件如下：（1）;（2）y的-转移下半连续有关g（x，y）;（3）f对于x来讲相对g作为F--拟凸;（4）。

分别界定A，B：X→2Y作为：

（14）

（15）

因此可得：

（16）

（17）

定义（3.5）假设拓扑空间用X表示，FC-度量空间采用（M，d，φN）表示，那么完备FC-度量空间中的非空子集则用Y表示，，实数运用表示，泛函，具体满足条件如下：

（1）有关y作为0-转移紧下半连续，有关x作为0-转移紧上半连续;

（2）;

（3）

（4）x有关f作为F-0-拟凸，有关y作为F-0-拟凸。

因此f作为X×X内存在鞍点，也就是：

能够得出：

（18）

对g：定义：

（19）

根据（20）

能够结合以上（18）、（19）、（20）三个公式，对于，得出：

（21）

根据以上最终证得X×X中的f鞍点为。

参考文献

[1]FC-度量空间中的匹配定理及其对抽象经济的应用[J].文开庭，李和睿.经济数学.2012（04）

[2]有限度量紧开值集值映射的R-KKM定理及其对不动点的应用[J].文开庭，李和睿.西南大學学报（自然科学版）.2011（10）

[3]非紧L-凸度量空间中的一般拟平衡问题组（英文）[J].文开庭.应用数学.2010（04）

[4]FC-度量空间中的R-KKM定理及其对变分不等式和不动点的应用[J].文开庭.应用泛函分析学报.2010（03）

[5]FC-度量空间中的R-KKM定理及其对抽象经济的应用[J].文开庭.西南师范大学学报（自然科学版）.2010（01）